Analysis-2 - Zusammenfassung Analysis 2 PDF

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4ei kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr Analysis 21 N ̈utzliches Wisseneix= cos(x) + i·sin(x)####### 1 Trigonometrische Funktionen1.1 sinh, cosh cosh 2 (x)−sinh 2 (x) = 1sinhx= 12 (ex−e−x) arsinhx:= ln( x+√ x 2 + 1)coshx= 12 (ex+e−x) arcoshx:=...

Description

4

F (x) 1 q+1 x q +√1 2 ax3

*

ei

Analysis 2

* k ann Spur en v on Katz en enth alte n ni alcle htAngaben üf r Hum or ohne alle r Gewehr gik er geeig net

Additionstheoreme cosh x + sinh x =p ex sinh(arcosh(x)) = x2 − 1 p cosh(arsinh(x)) = x2 + 1

Stammfunktionen ´ sinh x dx = cosh x + C ´ cosh x dx = sinh x + C

x

0

π/6

π/4

π/3

sin

0

cos

1

1 √ 2 1 √ 2

3 2 1 2

tan

0

1 2 √ 3 2 √ 3 3

√

√

1

Additionstheoreme

3

π/2

π

3 π 2

2π

1

0

−1

0

0

−1

0

1

∞

0

−∞

0

cos 2x = 2 cos2 x − 1 sin(x) = tan(x) cos(x)

e

x

sin(x)

cos(x)

sin(x)

cos(x)

− ln | cos(x)|

tan(x)

− sin(x) 1

ln | sin(x)| x arcsin(x) +

p

p

1−

1

sinh(x)

arcsin(x)

x2

  ln 1 + 2  1  x arccot(x) + ln 1 + 2 x arctan(x) −

arccos(x)

 2 x   2 x 

arctan(x) arccot(x)

cosh(x)

∞ P

cos2 (x) −1

cot(x)

1 − x2

q

n |q| 0 : Bε (x0 ) = x ∈ Rn  kx − x0 k < ε ⊆ D • Die Menge D heißt offen, falls D = D

• Randpunkt x0 ∈ Rn des Rands ∂D von D, falls ∀ε > 0 : Bε (x0 ) ∩ D 6= ∅ ∧ Bε (x0 ) ∩ DC 6= ∅ ⇒ ∂D = ∂DC • Abschluß D von D: D = D ∪ ∂D • Die Menge D ist abgeschlossen, falls ∂D ⊆ D • beschr¨ ankt, falls ∃µ ∈ R∀x ∈ D : kxk < µ • kompakt, falls D abgeschlossen und beschr¨ ankt ist.

⊤

·f =

i=0



∇2

∇⊤ ·(∇f)

Es gilt: Ist D ⊆ Rn offen, so ist DC abgeschlossen. R und ∅ sind offen und abgeschlossen.

∂xi

∂f

=

X

∂f2 ∂z ∂f3 ∂x ∂f1 ∂y

∂f

(x)



  (x)  (x)

∂xi xi

3.4 H¨ohere Partielle Ableitungen ∂j ∂i f (x) = fxi xj (x) C m (D) =

  m-mal stetig partiell diffbare Funktion auf D

Satz von Schwarz: f ∈ C 2 (D) ⇒ fxi xj (x) = fxj xi (x)

∀i, j

Mittelwertsatz (f : D ⊆ Rn → R, xy ∈ D x, y ⊆ D) ∃ξ ∈ x, y mit f (y) − f (x) = ∇f ⊤ (ξ)(y − x) Es gilt |f (y) − f (x)| ≤ c|y − x| mit c = maxk∇f (z )k

z ∈ x, y  ∂11 f (x) ... ∂1n f (x)   ˙: ˙:  Hessematrix: Hf (x) = ∇ f (x) =  ∂n1 f (x) ... ∂nn f (x) 

2

Die Hessematrix ist symmetrisch, falls f ∈ C 2 (D) T2,f,x 0 (x) = f (x 0 )+

3.1 Folgen, Grenzwerte, Stetigkeit im R

n

    Eine Folge X (k) ist eine Abbildung X (k) : N0 → Rn , k 7→ x(k)

Die Folge konvergiert, falls lim kx − x(k) k = 0 k→∞

Folge konvergiert, falls sie komponentenweise konvergiert! n

F¨ur f : D ⊆ R → R bedeutet   Grenzwert: lim f (x) = c ⇔ f X (k) → x0 → c x→x0

Stetigkeit:

∀x ∈ Rn :

lim f (x) = f (x0 )

x→x0

Satz von Max. und Min.: Ist f (x) stetig und D kompakt, so ∃xmax , xmin ∈ D∀x ∈ D : f (xmin ) ≤ f (x) ≤ f (xmax )

3.2 Differentiation von Skalarfeldern - Gradient   ∂ f (x)  ∂x1     ∇f (x) = grad f (x) =  ˙:   ∂ f (x) ∂x

Richtungsableitung: ∂v f (x) = h∇f (x), vi

Analysis 1 von Lukas Kompatscher ([email protected])

 ∂f 1  ∂x1 J f (x) =   ˙:

∂fm ∂x1

...

˙:

...



  ∇f1⊤   =  ˙:     ∂fm ⊤ ∇fm ∂x ∂f1 ∂xn

∈ Rm×n

n

Rechenregeln f¨ur die Jacobimatrix: f, g : D ⊆ Rn → Rm part. diffbar: Linearit¨ at: J αf+β g = αJf + βJg

⊤ Produkt: J ⊤ = g⊤ Jf + f ⊤ Jg (∇f ⊤ g = J f g + J⊤ g f) f g   Komposition: J g◦f (x) = J g f (x) · J f (x)

Umkehrfunktion: J − (f (x)) = J f (x)−1 f 1

• f (v + w) = f (v) + f (w)

kvk = 1

g

h := g ◦ f : Rn → R   ∇h(x) = g′ f (x) · ∇f (x)

3.5 Jacobimatrix = Fundamentalmatrix

f : V → W heißt linear, falls

Gradientenregeln: f, g : D ⊆ Rn → R sind partiell diffbar: Linearit¨ at: ∇(λf + µg)(x) = λ∇f (x) + µ∇g(x) Produkt: ∇(f g)(x) = g(x)∇f (x) + f (x)∇g(x)  ·   f = 12 g(x)∇f (x) − f (x)∇g(x) Quotient: ∇ g Kettenregeln: f : Rn → R ∧ g : R → R

+∇f (x 0 )⊤ (x − x 0 )+ (Tangentialebene) (Schmiegequadrik) + 21 (x − x 0 )⊤ H f (x0 )(x − x 0 ) P 1 P ∂ ∂ f (a)(x − T3,f,a (x) = f (a) + ∂i f (a)(xi − ai ) + 2 i j i P 1 ∂i ∂j ∂k f (a)(xi − ai )(xj − aj )(xk − ak ) ai )(xj − aj ) + 6

3.6 Lineare Abbildungen

n

s : [a, b] → [0, L(γ)], t 7→ s(t) .   • γ ˜(t) = γ s−1 (t) k˜ γ (t)k = 1∀t d2 γ k 2k ds

Ein Skalarfeld ordnet jedem Vektor eines Vektorraums einen Wert zu. f : D ⊆ Rn → R, (x1 , . . . , xn ) 7→ f (x1 , . . . , xn ) Teilmengen von Rn : D = [a1 , b1 ] × ... × [an , bn ] Offene Kugelmenge vom Radius r: Br (x0 ) Topologische Be griffe ur f¨ D ⊆ Rn

=e

n=0 Exponentialreihe

γn (t)

1.3 Quadratische Gleichung

Operator

z

2 Kurven

1.2 log

3.3 Differentialoperatoren

x

a ln(a)

− cos(x)

Stammfunktionen ´ 1.6 Reihen x cos(x) dx = cos(x) + x sin(x) ´ x sin(x) dx = sin(x) − x cos(x) ∞ P 1 ´   sin2 (x) dx = 12 x − sin(x) cos(x) n=1 n → ∞   ´ x + sin(x) cos(x) Harmonische Reihe cos2 (x) dx = 1 2 ´ 1 cos2 (x) cos(x) sin(x) = − 2

cos(x − π2 ) = sin x sin(x + π2 ) = cos x sin 2x = 2 sin x cos x

a √ ax 1 x x

e

x arccos(x) −

sin2 (x) + cos2 (x) = 1

1.1.2 sin, cos

2

a

ln(a)

  p arsinh x := ln x + x2 + 1   p arcosh x := ln x + x2 − 1

sinh x = 12 (ex − e−x ) cosh x = 1 (ex + e−x ) 2

ax

x

ax

3 Skalarfelder

q−1

qx

ln(ax)

e

cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1

1.1.1 sinh, cosh

√

x

1.1 Trigonometrische Funktionen

f (x)

q

x

3 x ln(ax) − x

1 N¨ utzliches Wissen eix = cos(x) + i · sin(x)

′

f (x)

f : Rn → R ∧ g : R → Rn h := f ◦ g : R → R   . h′ (x) = ∇f g(x) T · g(t)

• f (λv) = λf (v)

• Tipp: Pr¨ufe ob f (0) = 0    Kern von f : ker(f ) = v ∈ V  f (v) = 0 ist UVR von V    Bild von f : Bild(f ) = f (v)  v ∈ V ist UVR von W    ∗ n  Dualraum V = f : R → R f = lin.   Injektiv (aus f (x) = f (y) → x = y)), falls ker(f ) = 0 Surjektiv Alle Werte im Zielraum werden angenommen.

4 Taylorpolynom f¨ur Skalarfelder Ist f : D ⊂ Rn → R ein (m + 1)-mal stetig partiell differenur alle a ∈ D und zierbar Skalarfeld, D offen und konvex, so gilt f¨

Stand: 23.7.2017

h ∈ Rn mit a + h ∈ D die Approximation durch das Taylorpolynom : 1 1 m Tm (a; a + h) = g(0) + g′ (0) + ′′ g (0) + · · · + m! g (0) 2 (Teilen durch n! nicht vergessen!) g : [0, 1] → R ist definiert als g(t) = f (a + th) Die Ableitungen von g an der Stelle 0 k¨ onnen wie folgt bestimmt werden: • g(0) = f (a) • g′ (0) = ∇f (a)⊤ h =

Pn

• g′′ (0) = h⊤ Hf (a)h = • g′′′ (0) = • ...

Pn

i,j,k=1

i=1

∂xi f (a)hi

Pn

5.2 Transformation eines Vektorfeldes f (x, y, z)

7 Matrizen

˜ f (r, ϕ, z) bzw. f˜(r, θ, ϕ) durch ersetzen von x, y und z durch die entsprechenden Eintr¨ age des Transformationsvektors.

7.1 Determinante von A ∈ Kn×n : det(A) = |A|

˜ ˆ (r, ϕ, z) bzgl. { er , eϕ , ez } :fˆ= S −1 · f Zylinder: f z

det

5.3 Operatoren in anderen Koordinaten (Detailliert in der Formelsammlung im Anhang)

7.2 Eigenwerte, Eigenvektoren

−1

Kugel: fˆ(r, θ, ϕ) bzgl. { er , eθ , eϕ } : fˆ = S k

∂xj ∂xi f (a)hi hj

i,j =1

div ∆

4.1 Das Restglied - die Taylorformel

m!

g

(m+1)

(ξ)

Transformationsvektoren. (Um einen Vektor in anderen Koordinaten darzustellen)

Zylinder

Kugel

x 

y

z

⊤

 r · cos(ϕ)   r · sin(ϕ) z   r · cos(ϕ) sin(θ)    r · sin(ϕ) sin(θ) r · cos(θ)

Transformationsmatrix  Sz cos(ϕ) h i  er eϕ ez = sin(ϕ) 0

Transformationsmatrix  Sk cos(ϕ) sin(θ) i h  er eθ eϕ = sin(ϕ) sin(θ) cos(θ) fkart = S k · fkug

1 ∂ (r · f ) + 1 ∂ (f ) + ∂ (f ) z ϕ z r r ϕ r r 1 ∂ (r · f ) + 12 ∂ϕϕ f + ∂zz f r rr r

div

1 r2

... werden als Nullstellenmenge   einer expl. Funktion f angegeben. (x, y) ∈ R2  f (x, y ) = 0 mit y = g(x) ∈ R

6.1 Satz ¨uber implizite Funktionen:

• f ∈ C 1 (D) • ∃(x0 , y 0 ) ∈ D mit f (x0 , y 0 ) = 0

0 ≤ ϕ < 2π

• fy (x0 , y 0 ) 6= 0

0≤θ≤π

⇒ ∃I ⊆ D : I = (x0 − ǫ, x0 + ǫ), J ⊆ R : J = (y 0 − δ, y 0 + δ) mit: 

−1 fzyl = Sz · fkart

cos(ϕ) cos(θ) sin(ϕ) cos(θ) − sin(θ)

 − sin(ϕ)  cos(ϕ)  0

−1 · f fkug = Sk kart

Die Spalten entsprechen den orthonormalen Basisvektoren im jeweiligen Koordinatensystem. ⇒ Trafo-Matrizen orthogonal: S −1 = S ⊤

5.1 Transformation eines Skalarfeldes f (x, y, z) f˜(r, ϕ, z) bzw. f˜(r, θ, ϕ) erh¨ alt man durch ersetzen von x, y und z durch die entsprechenden Eintr¨ age des Transformationsvektors.

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L(x, λ) = f (x) + λg(x) – Regularit¨ atsbedingung: ∇g(x) 6= 0 ∀x ∈ Ω – Kandidaten:

∇L(x, λ) = 0 ⇒

(

∇f (x) + λ∇g(x) = 0 g(x) = 0

– Vergleiche die Funktionswerte der Kandidaten →Entscheidung uber ¨ Extrema (auch Rand betrachten)

• die algebraischen mit den geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte ¨ubereinstimmen

PS: Lagrange bestiehlt kleine Kinder!!!!

• Es gilt: det A = det B

8.3 Lineare Ausgleichsrechnung (Polynom)

Bedingungen f¨ur Diagonalisierbarkeit : allt in Linearfaktoren • Das charakteristische Polynom χA zerf¨ χA (t) = (λ1 − t)k1 (λ2 − t)k2 . . . (λr − t)kr

• Die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte stimmen mit den geometrischen ¨ uberein ki = dim Vλ i

• Jede symmetrische Matrix A ∈ Rn×n ist diagonalisierbar   λ1 0 0 D = B −1 AB   h i D =0 λ2 0 B = EV 1 , EV 2 , ... 0 0 λ3 M (f ) = M ( id ) · M (f ) · M ( id ) B B B E3 E 3 E3 E3 B B = (E3 b1 , E3 b2 , E3 b3 ) = (v1 , v2 , v3 )

Man betrachtet eine Funktion b = f (t) = x0 + x1 t + . . . + xn tn mit unbekannten Koeffizienten x0 , x 1 , . . . xn . Es sind m Paare (bi , ti ) ur den gegeben und sucht den Vektor x = (x0 , x1 , . . . , xn )T , f¨ ri (x) = bi − x0 − x1 t − . . . − xn tn minimal sind. Aufgabe: Minimiere

m P

(bi − x0 − x1 t − . . . − xn tn )2

i=1

⇔ Minimiere kr(x)k2 mit r(x) = b − Ax     1 t1 t12 ··· t1n b1 1 t2 t22 ··· t2n    b      2 A=   . . , b =  . . . .  ˙:  . . . .  . . . . .  bm 2 ··· tn 1 tm tm m Man erh¨ alt Minimum durch L¨ osen der Normalengleichung T

T

A Ax = A b

7.4 Definitheit

• I × J ⊆ D in fy (x, y) 6= 0∀(x, y ) ∈ I × y

8.4 Lineare Ausgleichsrechnung (aus HM)

• ∃1 Funktion g(x) mit f (x, g(x)) = 0 (”g wird implizit defniert”)

Gegeben: n St u¨tzstellen (t1 , y 1 ), . . . , (tn , ty ). Gesucht: Ausgleichsfunktion f = f (x) = λ1 f1 + · · · + λr fr zu gegebenen f1 , . . . , fr   f1 (t1 ) ... fr (t1 )   . .    1. b = (y 1 , . . . , y n )⊤ A = . .   . .

Eine sym. Matrix A = A ⊤ ∈ Rn×n heißt pos. definit ⇔ ∀v ∈ Rn \ 0 : v⊤ Av ≷ 0 ⇔ Alle EW λ ≷ 0 neg. pos. semi definit ⇔ ∀v ∈ Rn : v⊤ Av R 0 ⇔ Alle EW λ R 0 neg. −f (x,g(x)) −f (x,y) • g′ (x) = f x(x,g(x)) = f x(x,y) ∀x ∈ I indefinit ⇔ ∃v, w ∈ Rn : v⊤ Av < 0 ∧ w⊤ Aw > 0 ⇔ y y ∃λ1 > 0 ∧ λ2 < 0 ⊤ sind reel. λ ∈ R selbst wenn EV v ∈ C! f (x,g (x))+2fxy (x,g(x))·g ′ (x)+fyy (x,g(x))·(g ′ (x))2Alle EW von A = A Q P g′′ (x) = − xx ¨ Uberpr¨ ufung mit det A = λi SpA = λi fy (x,g(x))

0  0 1

• Lagrange-Funktion Nebenbedingung g(x) = 0

• sie die gleichen Eigenwerte besitzen

7.3 Diagonalmatrix

• D ist offen

0 ≤ ϕ < 2π

• NB g(x) = 0 ist nach einer Variable aufl¨osbar. → Setze xi in f (x) ein → Bestimme EW

¨ Ahnlichkeit von Matrizen: Matrizen A und B sind ahnlich, wenn ¨

∂ f ∂rr (r 2 f ) + 2 1 2 ∂ϕϕ (sin θf) + 2 1 r sin θ r sin θ θθ

= Sattelpunkt = keine Aussage

Es seien f, g : Ω ⊂ Rn 7→ R

Av = λv mit v EV von A

1 ∂ )⊤ (∂r , r1∂ϕ , r sin θ θ 1 1 1 ∂r (r 2 f r ) + r sin ∂ (sin θf θ ) ∂ (f ϕ ) + r sin θ θ θ ϕ r2

= lok. Max. = lok. Min.

ufe Rand • globale Extreme → pr¨

Eigenvektoren: EigA (λi ) = ker(A − λi 1) = vi → dim(EigA (λi )) = geo(λi ) ∀i : 1 ≤ geo(λi ) ≤ alg(λi )

Es gelte: f : D ∈ R2 → R → implizite Gleichung f (x, y ) = 0 Bedinungen f¨ ur die Existenz von y = g(x):

− sin(ϕ) cos(ϕ) 0

fkart = S z · fzyl

(∂r , r1∂ϕ , ∂z )⊤

⇒ x0 ⇒ x0 ⇒ x0 ⇒ x0

8.2 Extremwerte von f (x) mit Nebenbedingung

Eigenwerte: det(A − λ1) = 0, Det-Entwickl., Polynom-Div. ⇒ χA = (λ1 − χ)ν1 · ... · (λr − χ)νr νi = alg(λi )

6 Implizite Funktionen g

5 Koordinatensysteme



∇ ∆

Es gibt eine Zwischenstelle ξ ∈ (0, 1) mit: R m+1 (a; a + h) =

i=1

Kugelkoordinaten

R m+1 (a; a + h) = f (x) − Tm (a, a + h) ˆ 1 1 m (m+1) (1 − t) g (t)dt = m! 0

1

· f˜

Zylinderkoordinaten ∇

∂xi ∂xj ∂xk f (a)hi hj hk

0!

! A B = det = det(A) · det(D) C D 0 D Hat A 2 linear abh¨ang. Zeilen/Spalten ⇒ |A| = 0 n P (−1)i+j · aij · |A ij | Entwicklung. n. iter Zeile: |A| = A

 neg. definit     pos. definit  indefinit    • Falls Hf (x 0 ) semidefinit

6.2 Satz ¨uber implizite Funktionen (allgemein) f : Rk+m → Rm stetig diffbar, z 0 = (x0 , y 0 ) ∈ Rk+m x0 ∈ Rk , y 0 ∈ Rm mit f (z 0 ) = 0 Falls Jf,y

=

(

∂fi(z ) 0 ) i=1...mj=k+1...k +m ∂xj

ist invertierbar

(det Jf,y (z 0 ) 6= 0) Dann: ∃ offende Menge I in J mit g : I → J mit f (x, g(x)) = 0

6.3 Satz von der Umkehrabbildung D ⊆ Rn offen, f : D → Rn ∈ C 1 (D).X0 ∈ D mit Jf (x0 ) ist invertierbar. Dann: ∃U Umgebung von x0 mit f |U : U → f (U ) ist bijektiv. Die Umkehrfunktion (f |u )−1 ist stetig diffbar und es gilt: J(f |U )−1 (f (x)) = (Jf (x))−1 ∀x ∈ U

ur 2 × 2-Matrix: A = Nur f¨ Definitheit indefinit pos. semidef.

Eigenwerte pos. und neg. λ≥0

! b d

a c

det A = ad − bc det A < 0 det A = 0

SpA ≥ 0

λ≤0 λ>0

det A = 0 det A > 0

SpA ≤ 0 SpA > 0

neg. definit

λ 0

SpA < 0

8 Extremwerte von Skalarfeldern f (x) 8.1 Extremewerte ohne NB

Analysis 1 von Lukas Kompatscher ([email protected])

fr (tn )

9 Kurvenintegral 9.1 Skalares Kurvenintegral von Skalarfeld f (x) entlang einer Kurve γ(t) mit x, γ ∈ Rn ˆ γ

f ds :=

ˆb a

  . f γ(t) · kγ(t)kdt

Im Fall n = 2 gibt   x 0 : ∇f (x 0 ) = 0

...

x = (λ1 , . . . , λr )⊤

3. f = f (x) = λ1 f1 + · · · + λr fr

SpA = a + d

neg. semidef. pos. definit

are Punkte): • Suche Kandidaten (station¨

f1 (tn )

2. L¨ ose A ⊤ Ax = A ⊤ b

´

f ds den Fl¨ acheninhalt unter f entlang der Spur

γ

von γ an. L(γ) ist das skalares Kurvenintegral ¨uber f = 1

Stand: 23.7.2017

Anmerkung: Ist (x, y , z) die Masse- oder Ladungsdichte eines Drahtes so ist die Gesamtmasse M : b  ´ ´  . t)kdt f ds =  γ(t) · kγ( γ

a

Der Schwerpunkt S = (S1 , S2 , S3 ) ist: Si =

1 M (γ)

·

´

γ

xi  ds

10.2.1 Fluss durch Kurve Fluss von v von (in Durchlaufrichtung gesehen) links nach rechts. ˆ ˆ 0 1! v dn = v· ω T (x) ds ω −1 0

9.2 vektorielles Kurvenintegral angs der Kurve γ mit x, v, γ ∈ Rn von einem Vektorfeld v(x) l¨ ˆ

v · ds :=

ˆb a

10.3 Gebietsintegrale ¨ uber Normalbereiche f : B ⊆ R2 → R stetig

  . v γ(t) ⊤ · γ(t) dt

10.3.1 Fl¨ achenintegrale im R2

F¨ ur beide Integrale gilt: ´∀λ, µ ∈ R, ∀f, g ´ ´ λf + µg ds = λf ds + µg ds γ γ ´ γP ´ P f ds Ist γ = γi so gilt: f ds =

γ

f ds = (−)

¨

γi

γ

´

Typ I BI regul¨arer Bereich n o BI = x ∈ R2 |a ≤ x1 ≤ b; g(x1 ) ≤ x2 ≤ h(x1 ) f dF =

ˆ h(x ) 1

x1 =a x2 =g(x1 )

B

f ds

´

ˆ b

Typ II BII regul¨arer Bereich n o BII = x ∈ R2 |c ≤ x2 ≤ d; l(x2 ) ≤ x1 ≤ r(x2 )

→ g′′ (42) > 9000 (over 9000)

9.3 Integrabilit¨ atsbedingung (Gradientenfeld)

¨

⇒ Kurve muss einfach zusammenh¨angend sein. (Man muss die Kurve auf einen Punkt zusammenziehen k¨onnnen)

f dF = B

ˆ d

x2 =c

ˆ r(x ) 2

f (x1 , x2 ) dx1 dx2

x1 =l(x2 )

f : D ⊂ Rn 7→ Rn ist ein Gradientenfeld, wenn f (x) = ∇F (x)

10.3.2 Volumenintegrale im R3

⇔ Jf (x) = Jf (x)

V regul¨ arer Bereich V = {x ∈ R3 |a ≤ x1 ≤ b, u(x1 ) ≤ x2 ≤ o(x1 ), u′ (x1 , x2 ) ≤ x3 < o′ (x1 , x2 )}

bzw. ∂xi fj (x) = ∂xj fi (x)

Sonderf¨ alle: • n = 2:

∂v1 ∂y

=

∂v2 ∂x

˚

• n = 3: rot v = 0 ⇒ Integrabilit¨ atsbedinung ist erf¨ ullt.

f dV = V

′ ˆ 1 ) o (xˆ1 ,x2 ) ˆ b o(x

f (x1 , x2 , x3 ) dx3 dx2 dx1

10 Integralarten (HM3)

∂(u, w)

eu2 + h1 h2

F (B) =

∂(u, w)

eu3

#

¨

¨

ds dt

10.5.1 Parametrisierung Fl¨ache im Zweidimensionalen wird zuerst parametrisiert: (u, w) ∈ M 7→ φ(u, w) = x ∈ R3 Kreis mit Radius r : ! ! r cos(t) r cos(t) φ = x2 + y 2 ≤ r 2 ∂φ = n= r sin(t) r sin(t) 2 2 φ = x2 + yb2 ≤ 1 a

∂φ =

! a cos(t)

b sin(t) Eigenschaften der Parametrisierung φ(u, w)

a cos(t) b sin(t)

n=

B ⊆ Rn heißt regul¨arer Bereich, wenn • B abgeschlossen und einfach zusammenh¨angend • B l¨asst sich in endlich viele Normalbereiche zerlegen

10.0.2 Volumen und Oberfl¨ ache von Rotationsk¨ orpern um x-Achse p ´ ´ V = π ab f (x)2 dx O = 2π ab f (x) 1 + f ′ (x)2 dx

!

10.1 Skalares Kurveni...