Mathe Hausaufgaben 12 PDF

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Hausaufgaben- keine Lösung...

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Mathematik I f¨ ur Wirtschaftswissenschaften at Berlin Technische Universit¨ Institut f¨ ur Mathematik

WiSe 20/21 Dozent: Dr. Felix Hermann Assistent: Milan Mehner

¨ bungsblatt 12 U

¨ Ubungsaufgaben ¨ Ubungsaufgabe 12.1 (Lagrangemethode I) Bestimmen Sie mittels der Lagrangemethode die kritischen Stellen der folgenden Funktion f unter der gegeben Nebenbedingung: a) f (x 1, x 2 ) = x 1x 2 + 3x 2 , д(x 1, x 2 ) = x 1 + 3x 2 = 0; b) f (x 1, x 2 ) = x12 + 2x 22 , д(x 1, x 2 ) = 2x12 + x 2 − 5 = 0; c) f (x 1, x 2 ) = 3x 12 − 7x 2 , д(x 1, x 2 ) = x 12 + x 22 − 1 = 0; /2 /3 d) f : (0, ∞) × (0, ∞) → R, f (x 1, x 2 ) = 10x1 x 2 , д(x 1, x 2 ) = 2x 1 + 4x 2 − m = 0, m ∈ R. 1

1

1

¨ 12.1 Graphen zu Ubungsaufgabe 12.1 a)

12.1 a)

20 40 0 20 5

2

−20

0 −2

0

−2

0

−2

2

x1

−1

x2

0

0 1

x1

x2

2

12.1 d) (m = 4 und m = 8 (dashed))

12.1 c) (x 2 durch −x 2 ersetzen!)

20 10 0 2

−2

2 0 0

0

−1

0

x1

1

2 −2

x2

1

0 .5

1

1 .5

x1

2 0

x2

¨ Ubungsaufgabe 12.2 (Lagrangemethode II) Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrangemethode alle lokalen Extrema der Funktion f (x 1, x 2 ) := x 1 + x 2 unter der Nebenbedingung д(x 1, x 2) := x12 + x 22 − 1 = 0. ¨ Ubungsaufgabe 12.3 (Lagrangemethode III) Betrachten Sie die Funktion

f (x 1, x 2) := 4x 1 − 2x 21 − 2x22 auf der Menge

D := {(x 1, x 2) ∈ R2 : x12 + x 22 ≤ 25 }.

a) Untersuchen Sie die Funktion f auf lokale Extrema im Inneren von D . b) Bestimmen Sie mittels der Lagrange-Methode alle lokalen Extrema von f auf dem Rand von D , d.h. unter der Nebenbedingung x12 + x 22 = 25. c) Was k¨ onnen Sie anhand der Ergebnisse aus a) und b) ¨ uber globale Extrema von f auf D aussagen? (Sie d¨ urfen ohne Beweis verwenden, dass die Funktion auf der Menge D ein globales Maximum und ein globales Minimum besitzt.)

2

Hausaufgaben Die folgenden Hausaufgaben sind in Dreiergruppen zu erledigen und digital abzugeben. Die Abgabe muss bis zum 17.2.2021 um 10:00 Uhr durch Hochladen eines PDF-Dokuments auf der ISIS-Kursseite erfolgen. Korrektur und Bewertung der Hausaufgaben erfolgt ebenfalls auf der ISIS-Seite. Sofern Abgaben handschriftlich erstellt werden, muss der Scan oder die Fotografie in lesbarer Qualit¨at angefertigt werden und darf nicht gr¨ oßer als 5 MB sein. Achtung: Diese Hausaufgabe z¨ahlt nicht mehr f¨ur das Hausaufgabenkriterium. Deshalb gibt sie 0 onnen sie trotzdem abgeben um eine Fehlerkorrektur zu erhalten. Punkte. Sie k¨

Hausaufgabe 12.1 (Lagrangemethode IV)

(0 Punkte )

Gegeben ist die Funktion

f (x, y) = x 4 + y 4 + x 2y 2 auf der Menge

n o D = (x, y) ∈ R2 : x 2 + y 2 ≤ 1 . a) Welche Punkte von D sind innere Punkte, welche sind Randpunkte? Besitzt D Eckpunkte? Fertigen Sie eine Skizze von D an. Hinweis: Die Antwort m¨ ussen Sie nicht formal beweisen. b) Bestimmen Sie die lokalen Extrema im Inneren von D . c) Finden Sie nun die lokalen Extrema auf dem Rand von D . d) Was sind die globalen Exrema von f auf ganz D ? (Sie d¨urfen ohne Beweis verwenden, dass die Funktion auf der Menge D ein globales Maximum und ein globales Minimum besitzt.)

Gesamtpunktzahl: 0

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