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Matrices semejantes y Diagonalización

(Sección 8.3-pág 578 de Grossman 7° edición 2012)

Definición 8.3.1: Se dice que las matrices nxn, A y B son semejantes o similares si existe una matriz C invertible tal que  =  . Observación 1: es inmediato que si A es semejante a B entonces B es semejante a A. -1 -1 En efecto, despejando A y designando E = C , resulta que A = E B E . Observación 2: Notar que la igualdad de la definición es equivalente a  =  que se obtiene multiplicando a izquierda por C. Esta ecuación se toma con frecuencia como una definición alternativa de semejanza o similaridad y es de gran utilidad práctica pues evita el cálculo de la inversa. Definición 8.3.2: Diremos que la matriz A de tamaño nxn es diagonalizable si existe una matriz diagonal D que sea semejante a A. EJEMPLO 1: Semejanza de matrices que representan a una transformación lineal.   + 6  . Sabemos que la matriz estándar Sea la transformación lineal T: R2 → R 2 definida por    =  3 + 4 1 6 de T es A =   y que sus columnas son las imágenes por T de los vectores i y j que constituyen la 3 4 base estándar o canónica de R2. 1 2 Si ahora usamos la base  =   ,   para hallar otra matriz asociada a la misma transformación lineal 1 −1 −2 0 T, resulta que obtendremos la siguiente representación matricial para T,  =  . Lo cual es una 0 7 ventaja respecto de A ya que D es una matriz DIAGONAL. En efecto, si calculamos las imágenes por T de los vectores de la base  y expresamos los resultados como combinación lineal de los vectores de  , tenemos que −2 2    = −4 = −2  2  + 0 1,entonces elvector de coordenadas   2  =   0 −1 1 −1 2 −1 7 1 0 y    =   = 0  2  + 7 1 , entonces el vector de coordenadas  1 =  . 1 1 7 1 −1 7

Por lo tanto la matriz asociada a T respecto de la base “nueva” B, es la matriz diagonal  que tiene por 0 −2 columnas los vectores   y  . 7 0 −2 0 2 1 ! 1 6 2 1  y si =  Por otra parte podemos verificar que   0 7 3 4 −1 1 −1 1 comparamos esta última igualdad con la de la Definición 8.3.1, podemos afirmar que las matrices 1 6 −& '  "  son semejantes. Además, por ser   %    semejante a una matriz diagonal, diremos ' ( # $ 3 4  " es diagonalizable (de acuerdo a la Definición 8.3.2). que  # $ IMPORTANTE: Notemos además que los elementos de la diagonal principal de D son los valores propios de 1 2 A , -2 y 7, correspondientes a los vectores propios linealmente independientes,   y  , que son las −1 1 columnas de la matriz la matriz invertible C que satisface -1CAC= D. Estos resultados se incluyen en el Teorema 8.3.2 que se enuncia más adelante.

Matrices semejantes y Diagonalización

(Sección 8.3-pág 578 de Grossman 7° edición 2012)

EJEMPLO 2: Obtención de una matriz semejante o similar a otra. 1 2 Dada una matriz cuadrada cualquiera, por ejemplo A =   . Para hallar una matriz “cualquiera” 3 4 semejante a A (es decir no necesariamente una D diagonal) basta con tomar una matriz invertible ! 1 2 1 1 −2 −4 1 1 y luego hallar  = *! 1 1  = cualquiera, por ejemplo C =  +* =    . 0 1 3 4 0 1 0 1 3 7 1 2 −2 −4 son semejantes o similares. De esta manera resulta que + =   y = 3 7 3 4 -------------------------------------------------------------PROPIEDADES DE LAS MATRICES SEMEJANTES:

Aprovechemos el Ejemplo 2 para notar que las matrices A y B tienen la misma traza (la traza es la suma de los elementos de la diagonal principal). En efecto, tr(A) = 1+4 = 5 = -2+7 = tr(B). También tienen el mismo determinante, det(A) = 1(4) – 3 (2) = -2 = (-2)7 – 3 (-4) = det(B). Esto puede demostrarse para todo par de matrices semejantes A y B: TEOREMA 8.3.1 “ampliado” de pág 579 Si A y B son matrices nxn semejantes, entonces (i) (ii)

det(A) = det(B) tr(A) = tr(B)

(iii)

det(A – λI) = det(B – λI ), esto es, A y B tienen el mismo polinomio característico y por lo tanto, tienen los mismos valores propios.

Demostraciones: SI! (i) Como A y B son semejantes, existe C invertible tal que  = *! +* , entonces det/0 = det/* !+* 0 = det/*!0 det/+0 det/*0 = 

!

123/40

det/+0 det/*0 = det/+0.

(ii) Acá se usa la siguiente propiedad de la traza de matrices: Todo producto de matrices cuadradas y su conmutado, tienen la misma traza. Entonces tendremos que, ! 0 =  56/+/**! 00 = 56/+70 = 56/+0 56/0 = 56/*!+* 0 = 56/*!/+*00 == 56//+*0*

(iii) Para demostrar la igualdad de los polinomios característicos, partimos del polinomio característico de la matriz B y luego reemplazamos B, det8– λI< = det8* ! +*– =>< = det8* !+* − =>< =

= det8* !+* −  =>< = det/* !/+ − λ I0*0 = det/*!0det/+ − λI 0 det/*0 = 123/40 det/+ − λI 0 det/*0 =  det/+ − λI0 !

---------------------------------------------------------------------------------------------

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ADVERTENCIA: Notar que NO VALE EL RECÍPROCO DE ESTE TEOREMA (es decir, si los determinantes o trazas o los autovalores fueran iguales, NO se puede decir que las matrices sean semejantes). Sin embargo, de las propiedades (i) y (ii) resultan muy útiles para la práctica sus contrarrecíprocos, esto es: * Si det(A) ≠ det (B) entonces A y B no son semejantes. * Si tr(A) ≠ tr(B) entonces A y B no son semejantes. EJEMPLO 3 Decidir si son semejantes. 2 −1 1 2  yB =   a) A =    0 3 3 0 Como det(A) = 3 = det (B) no podemos decir si son o no semejantes, pues no vale el recíproco de (i). Pero como tr(A) = 1+3 ≠ 2+0 = tr(B) entonces concluimos que A y B NO son semejantes. 3 0 3 0  yB =   b) A =    1 3 0 3 En este caso, como tr(A) = 6 = tr(B), det(A) = 9 = det(B) y también ambas tienen el mismo autovalor 3 de multiplicidad algebraica 2, para decidir si son semejantes debemos ver si se cumple la Definición 8.3.1 (alternativa), es decir, ver si existe una matriz invertible a bque satisfaga la ecuación matricial C B = A C : C=   c d 3a Como AC =  a + 3c

3b 3a 3b  yCB =   . b + 3d 3c 3d

Igualando los elementos

correspondientes resulta que a = b = 0, con lo cual la matriz C tiene un renglón de ceros y entonces no es invertible. Por lo tanto A y B no son semejantes. --------------------------------------------------Otra propiedad: Si Anxn es semejante a Bnxn y B es semejante a Cnxn entonces A es semejante a C. Demo: Como A es semejante a B, existe P invertible tal que A = -1PBP. Y como B es semejante a C, existe Q invertible, tal que podemos reemplazar B = Q-1CQ y dado que P-1 Q-1 = (QP)-1 , resulta que A es semejante a C ya que existe (QP) invertible tal que A= (QP)-1 C(QP). Observación: Esta propiedad nos permite concluir que si dos matrices nxn diagonalizables tienen los mismos valores propios entonces SÍ son semejantes (ya que una misma matriz diagonal será semejante a ambas, es decir A semejante a D y D semejante a B implica que A es semejante a B. 5 0 5 0  son semejantes pues B es la matriz diagonal D semejante a A Por ejemplo: + =    =  0 0 2 0 ------------------------------------------------------------Otros teoremas cuyos enunciados (sin demostración) son importantes tener “muy en claro”, ya que establecen los procedimientos a seguir para decidir si una matriz es diagonalizable o, en otras palabras o contexto, para decidir si una transformación lineal admite una representación matricial diagonal, son los siguientes:

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TEO 8.3.2 (pág580): Una matriz Anxn es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios linealmente independientes, lo cual ocurre cuando para cada valor propio, la multiplicidad geométrica es igual a la 0 λ ! ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ K multiplicidad algebraica. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A es  =  F 0 ⋯ λJ -1 donde λ1 , λ2 , … , λn son los valores propios de A (no necesariamente distintos). Además D = CAC siendo C la matriz cuyas columnas son los n vectores propios linealmente independientes correspondientes a cada valor propio. Corolario (pág 582): Si Anxn tiene n valores propios diferentes entonces es diagonalizable. ADVERTENCIA: No es válido el teorema contrario!!! es decir, si una matriz A no tiene todos sus valores propios distintos (o sea, tiene por lo menos un autovalor con multiplicidad algebraica mayor que 1) es FALSO concluir que A no es diagonalizable, pues si para “esos” autovalores de multiplicidad algebraica mayor que uno, éstas coinciden con sus correspondientes multiplicidades geométricas, la matriz es diagonalizable. Veamos el siguiente ejemplo: EJEMPLO 4: Matriz diagonalizable

 0 Mostrar que la transformación lineal T: R3R3 definida por  LN = F 0 K tiene una representación M 3 + M matricial diagonal D y verificar que ésta es semejante a la matriz estándar de T. Solución:

Debemos comparar las multiplicidades algebraicas y geométricas para cada uno de los valores 0 0 0 propios de la matriz estándar asociada a T, + = F 0 0 0K. Entonces procedemos 3 0 1 Paso 1) Hallamos los valores propios de A y sus multiplicidades algebraicas −λ 0 0 det/+ − O7 0 =  P0 −λ 0 P =  λQ/1 − λ0 = 0 3 0 1−λ Entonces λ = 0 es valor propio de A de multiplicidad algebraica 2 y, multiplicidad algebraica 1.

λ=1 es otro valor propio de A de

ADVERTENCIA: En ningún caso, a esta altura del desarrollo de un ejercicio, con multiplicidad algébrica mayor que 1, se puede concluir que la matriz dada no sea diagonalizable! Más aún, en este ejemplo debemos mostrar que SÍ lo es!! Paso 2) Hallamos los vectores propios linealmente independiente para cada valor de λ: 0 0 00 Para λ = 0 el sistema homogéneo es F0 0 0P 0K cuya solución satisface 3x+z = 0, por lo cual z = -3x con 3 0 10 x libre. Además la variable y también es LIBRE (ojo: NO ES CERO!)

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Por lo tanto utilizando la notación para espacio propio

RS

= TUV WF

geométrica del valor propio 0 es 2, coincidiendo con la algebraica.

01

−3

1KX 0 K , F0

y la multiplicidad

En este momento, SÍ podemos asegurar que A es diagonalizable (no hace falta hallar un vector propio li para el valor propio 1, pues sabemos que existe). Sin embargo como se nos pide verificar que la matriz diagonal es semejante a A, procedemos a hallar el vector propio que falta, para obtener la matriz C invertible que diagonaliza a A. −1 0 0 0 1 0 00 Para λ = 1 el sistema homogéneo es F 0 −1 0P0K cuya forma escalonada reducida es F0 1 0P0K 0 0 00 3 0 00 0 cuya solución satisface x = 0 e y = 0 siendo z la variable libre. Entonces !R= TUV WF0KX y la multiplicidad 1 geométrica del valor propio 1 es 1. 1 0 0 Ahora, sí tenemos la base de vectores propios de R3 que conforman la matriz C=F 0 1 0K y podemos −3 0 1 verificar (haciendo el producto matricial) que: 1 0 0 ! 0 0 0 1 0 0 0 0 0  =  F 0 0 0K =  F 0 1 0K F0 0 0K F 0 1 0K 0 0 1 3 0 1 −3 0 1 −3 0 1 En otras palabras, podemos decir que la matriz estándar de T es diagonalizable. -------------------------------------------------------EJEMPLO 5: Matriz no diagonalizable. Y Z 0 Si a es un escalar cualquiera y b.c ≠ 0, la matriz triangular superior + = 0F Y [ K tiene como único 0 0 Y valor propio a λ= a , cuya multiplicidad algebraica es 3. Al resolver el correspondiente sistema homogéneo para hallar los vectores propios, se obtiene aE= gen 1 WF0KX con lo cual la multiplicidad geométrica de a es 1 ≠ 3 = mult.algebraica de a . 0 Por lo cual, A NO es diagonalizable. ---------------------------------------------------------APLICACONES de sistemas propios (I) Cálculo de grandes potencias de una matriz nxn: esta es una aplicación “inmediata” de los conceptos vistos en este capítulo al álgebra lineal. TEOREMA (propuesto como ejercicio) Si A es diagonalizable y D es la matriz diagonal semejante a A, entonces para cualquier entero n, AJ = CD JC! .

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Demo: SÍ! ! Por ser A diagonalizable, existe C invertible tal que D = * +* , donde D es una matriz diagonal. Entonces ] despejando A y elevando ambos miembros a la potencia n, tenemos que + =  /** !0] = ! ! ! ! ! ! /** 0/** 0/** 0* … . . * /** 0/** 0 = */*!*0/* ! *0/*! *0 … . . /*!*0/*!*0*!0 = *] * ! Observación: Este teorema proporciona una forma sencilla y “económica” para calcular grandes potencias de una matriz diagonalizable efectuando sólo 2 productos matriciales. 2 1_S EJEMPLO 5: Utilizar valores y vectores propios para calcular   . 1 2 Resolución: Primero necesitamos determinar la matriz diagonal D (de valores propios) y la matriz C (de vectores propios) 2 1 . Entonces resolvemos: que diagonaliza a la matriz dada  1 2 det(A – λ I ) = 0 que produce las raíces λ = 3 y 1. −1 1 un vector propio correspondiente a λ = 3, es   y para λ = 1, es   . 1 1

2 1 _S 1 −1 3 _S Entonces   =  1 2 1 1 0

! 0  1 −1  = ! 3_S + 1 3 _S − 1 Q 3 _S − 1 3 _S + 1 1_S 1 1

-----------------------(II) Otras aplicaciones “futuras” que no se pedirán en exámenes de esta asignatura: II.1) Identificación y representación gráfica de una ecuación completa de 2do grado. 2

Para identificar y graficar el lugar geométrico que representa en Runa ecuación del tipo Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 se deben calcular los valores y vectores propios de la matriz simétrica P = A B/2  para luego identificar y graficar en el sistema cartesiano rotado x´y´ el lugar geométrico B/2 C correspondiente a la ecuación de 2do grado incompleta O!´ Q + O Q ´Q + b´ + U´ + c = 0 donde λ1 y λ2 son los valores propios de la matriz P y /b U 0 = / R 0d siendo d la matriz 2x2 ortogonal cuyas columnas son los vectores propios ortonormales de P (correspondientes a 1λy λ2 ) que a su vez son los versores del sistema rotado x´y´. Este procedimiento también se aplica para identificar y graficar en 3R, para la matriz P 3x3 simétrica correspondiente. II.2) Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de orden n y resolución de Sistemas de EDO de 1er orden (contenidos de la materia “Análisis Matemático II” de 2° año): Por ejemplo,

fgh f jh e /50 = YU ie ieQ ! + +U

donde ie ! y ie Q son los vectores propios para λ1 y λ2 , es la

expresión para la solución general de un sistema de EDO e´/50 = +e/50 donde A la correspondiente 2x2 es matriz de coeficientes de dicho sistema, cuando A es diagonalizable. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Elaborado por Adriana Frausin Octubre 2016...