Matris determinant PDF

Preview

Summary

MAtris determinant özeti...

Description

LİNEER CEBİR 4- A + (-A) = (-A) + A = 0 ( A

MATRİSLER

= ⎡⎣a ij ⎤⎦mxn ise

−A = ⎡⎣ −a ij ⎤⎦ mxn dir.) Tanım: i = 1, 2, …. , m ve j = 1, 2, …. , n için olmak üzere

⎡ a11 ⎢a ⎢ #21 ⎢ # ⎢ ⎢ a#i1 ⎢ # ⎢ ⎢⎣ am1

a12 a22

a1 j

" "

a2 j

# #

ai 2

# #

aij

"

# #

am2

" " "

# #

amj

"

"

a1n ⎤ a2n ⎥ ⎥ # # ⎥ ⎥ ain ⎥ # # ⎥ ⎥ amn ⎥⎦

Şeklindeki dikdörtgensel tabloya m x n tipinde bir matris denir ve kısaca

A = ⎡⎣a ij ⎤⎦

mxn

şeklinde

gösterilir. i ye satır indisi j ye sütun indisi, aij ye de matrisin i. satır, j. sütundaki elemanı denir. 1 satır ve n sütundan oluşan matrise satır matrisi; 1 sütun ve m satırdan oluşan matrise de sütun matrisi denir. Köşegen Matris: a11 , a22 , a33 , … ann elemanlarına asal köşegen elemanları denir. Asal köşegeni dışında kalan elemanları sıfır olan matrise köşegen matris denir. Karesel Matris: Bir matriste satır sayısı sütun sayısına eşitse bu matrise karesel matris denir. Sıfır Matrisi: Bir matrisin tüm satır ve sütunlarındaki elemanlar sıfır ise bu matrise sıfır matrisi denir ve 0 ile gösterilir. Birim Matris: Bir n x n tipindeki karesel matriste i ≠ j için aij = 0 ve i = j için aij = 1 ise bu matrise birim matris denir ve In ile gösterilir. Alt Matris: Bir matrisin bazı satır veya sütunları silindiğinde kalan matrise o matrisin alt matrisi denir. İki Matrisin Eşitliği:

A = ⎣⎡ a ij ⎦⎤ mxn , B = ⎡⎣ bij ⎤⎦ mxn

iki matris olsun ∀ (i,j) için aij = bij ise A ve B matrisleri eşittir denir ve A = B şeklinde gösterilir. Matrislerin Toplanması:

A = ⎣⎡ a ij ⎦⎤ mxn ,

B = ⎡⎣b ij ⎤⎦ mxn aynı tipten iki matris olsun A ile B nin toplamı

A + B = ⎡⎣a ij ⎤⎦

+ ⎡⎣b ij ⎤⎦ mxn = ⎡⎣a ij + bij ⎤⎦ mxn mxn

olarak tanımlanır. Teorem:A, B, C aynı tipten matrisler olmak üzere 1- A + B = B + A 2- (A + B) + C = A + (B + C) 3- A + 0 = 0 + A = A

A = ⎣⎡ a ij ⎦⎤

Matrislerin Skalarla Çarpımı:Bir matrisi

ile

λ

bir

skalarının

mxn

çarpımı

λ A = λ ⎡⎣ aij ⎤⎦ mxn = ⎡⎣λ aij ⎤⎦ mxn Olarak tanımlanır. Teorem:

Her

A = ⎡⎣a ij ⎤⎦ 1234-

mxn

,

λ, λ 1, λ 2

B = ⎡⎣b ij ⎤⎦

mxn

skalarları

ve

matrisi için

λ (A + B) = λA + λB (λ1 + λ2 ) A = λ1A + λ2A (λ1.λ2) A = λ1.(λ2A) 1.A = A

Matrislerin Çarpımı:

A = ⎣⎡a ij ⎦⎤

mxn

,

B = ⎡⎣ b ij ⎤⎦

nxp

gibi birincisini sütun sayısı ikincisinin satır sayısına eşit olan iki matris verilsin. A matrisinin i. satırı ile B matrisinin k. sütunundaki elemanlar karşılıklı olarak çarpılıp, bu çarpımlar toplanırsa, A.B matrisinin (ik). terimi elde edilir. Bu şekilde elde edilen mxp türündeki

C = [ cik ]mxp matrisine

A ile B matrisinin çarpımı denir.

c ij = a i1.b 1 j + a i 2.b 2 j +

n

" + a in.b nj = ∑ a ik.b kj k= 1

dir. Özelikler 1 – (A.B).C = A.(B.C) 2 – A(B + C) = AB +AC 3 – AB ve BA çarpımları mümkün ise AB = BA olması gerekmez. 4 – AB = 0 ise A veya B matrislerinin birinin 0 olması gerekmez. 5 – AB = AC ise B = C olması gerekmez. Bir Matrisin Tersi: A nxn tipinde bir matris olsun. A.B = B.A = In olacak şekilde bir B matrisi varsa, B ye A nın çarpmaya göre tersi denir ve A-1 ile gösterilir.

⎡ a b⎤ A =⎢ ⎥ kare matrisinin, çarpma ⎣c d ⎦ 1 ⎡ d − b⎤ −1 işlemine göre tersi A = ⎢ a ⎦⎥ ad − bc ⎣ − c Bir

dır. A karesel matrisinin çarpma işlemine göre tersinin olabilmesi için ad – bc ≠ 0 olmalıdır. Teorem: Bir matrisin tersi varsa tektir. Teorem: Bir A matrisin tersi varsa

(A ) −1

−1

=A

dır.

Teorem: A ve B matrislerinin tersleri varsa ve A.B ile B-1.A-1 tanımlı ise (A.B)-1 = B-1.A-1 dır.

Sonuç: A, B, C aşağıdaki işlemlerde tanımlı olacak biçimde üç matris ise 12-

1 1 1 1 ( A.B.C)− = C− .B− .A−

(A ) n

−1

= (A

)

−1 n

1-

( A + B)

2-

(A )

T T

=A +B T

T

=A

4-

( kA ) = kAT T ( A.B) = BT .AT

5-

(A )

Tanım: 123-

T

−1

= ( A−1 )

T

(A

tersi

olan

karesel matris) A nxn tipinde bir karesel matris olsun AT = A ise A ya simetrik matris, AT = - A ise A ya anti simetrik matris. AT = A-1 ise A ya ortogonal matris denir.

DETERMİNANTLAR Tanım: 1x1 tipindeki karesel matrislerin kümesi M1 ise ∀ [a] ∈ M1 için det : M1 → R , det [a] = a olarak tanımlanır. Tanım: 2x2 tipindeki karesel matrislerin kümesi M2 ise

⎡ a b⎤ A =⎢ ⎥ ∈M 2 için det : M 2 → R için ⎣ c d⎦ ⎡ a b⎤ det A = det ⎢ ⎥ = ad − bc ⎣ c d⎦ olarak tanımlanır. Tanım: 3x3 tipindeki karesel matrislerin kümesi M3 ise

⎡ a1 A = ⎢⎢ a 2 ⎣⎢ a 3

b1 b2 b3

⎡ a1 det A = det ⎢⎢ a2 ⎣⎢ a3

c1 ⎤ c 2 ⎥⎥ ∈ M 3 için det : M 3 → R için c 3 ⎦⎥ b1 b2 b3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

a1 b1 c1 a2 b2 c2

T

3-

⎡ a1 A = ⎢ a2 ⎢ ⎢⎣ a3

dir.

Bir Matrisin Transpozu: Bir A matrisinin satırlarının sütun, sütunlarının satır yapılmasıyla elde edilen matrise A matrisinin transpozu (devriği) denir ve AT (Ad) ile gösterilir. Teorem: k bir skaler ve A, B matrisleri mxn türünden matrisler olsun; T

olarak tanımlanır. Sarrus Kuralı: Bu kural yalnızca 3x3 tipindeki matrislerde geçerlidir.

c1 ⎤ c2 ⎥⎥ c3 ⎦⎥

= a1 b 2 c3 + a 2 b3c1 + a 3 b1c2 − a 1b 3c 2 − a 2 b1c3 − a 3b 2 c1

b1 b2 b3

c1 ⎤ c2 ⎥ ⎥ c3 ⎥⎦

ise det A değeri,

-a3b2c1 -a1b3c2 -a2b1c3

+ a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2

Şemasına göre det A = a 1b 2c 3 + a 2b 3c 1+ a 3b 1c 2 − (a 1b 3c 2+ a 2b 1c 3+ a 3b 2c 1) dir. Minörler: Determinantta bir elemanın ait olduğu satır ve sütun silinerek elde edilen determinanta bu elemanın minörü denir. aij nin minörü Mij olarak gösterilir. Eş Çarpan (Kofaktör): Bir determinantta satır numarası i ve sütun numarası j olan elemanı seçelim. Bu elemanın minörünün (-1) i + j ile çarpımına seçtiğimiz elemanın eş çarpanı denir. aij nin kofaktörü Aij ile gösterilir

Aij = ( −1) .Mij dir. i +j

Teorem: A = [aij], n. mertebeden bir kare matris olsun ve bir i = 1, 2, ….., n için ⏐A⏐ determinantı, A nın i. satırındaki terimlerin kendileriyle ilgili eşçarpanlarıyla çarpımlarının toplamına eşittir; Yani, n

A = a i1 .Ai1 + ai 2 .Ai2 + " + ain .Ain = ∑ aik .Aik k= 1

olur. Determinant Fonksiyonunun Özelikleri 1. det AT = det A 2. Karesel bir A matrisinin bir satır veya sütunundaki elemanları 0 ise ⏐A⏐= 0 dır. 3. Bir A matrisinin iki satır veya sütunu kendi aralarında yer değiştirirse determinantın işareti değişir. 4. Bir determinant’da aynı numaralı saıtırlarla sütunlar yer değiştirdiği zaman determinantın değeri değişmez. 5. Karesel bir A matrisinin iki satır veya sütunu eşit ise ⏐A⏐= 0 dır.

6.

7.

8.

Karesel bir A matrisinin bir satır veya sütunu k gibi bir reel sayı ile çarpılarak bir B matrisi bulunursa B = k.⏐A⏐ olur. Bir determinantın bir satır veya sütununun k katı başka bir satır veya sütuna eklenirse determinantın değeri değişmez. Bir satırdaki (ya da sütundaki) elemanların başka bir satır (ya da sütundaki) elemanların eşçarpanlarıyla çarpımlarının toplamı 0 dır. (Örneğin 3x3 lük bir matris’de a11 A31 + a12 A32 + a13A33 = 0 dır.)

9.

Köşegenin altında ya da üstündeki elemanları 0 olan determinant köşegen elemanlarının çarpımına eşittir. 10. Bir determinantın her satırındaki her eleman, iki elemanın toplamından oluşuyorsa, bu determinant, iki dterminantın toplamı olarak yazılabilir.

a

b

c

a b c a b c d + x e + y f+ z = d e f + x y z g

h

k

g h k

g h k

11. ⏐A.B⏐ = ⏐A⏐.⏐B⏐ (Determinantlarda çarpma matrisler’de olduğu gibi yapılır.

Sonuç: A Bir Matrisin Eki: rının

−1

=A

−1

A = ⎣⎡a ij ⎦⎤

kofaktörleri

1 A

= nxn

Aij

olsun aij elemanla-

ler

olmak

üzere

T

⎡⎣ Aij ⎤⎦ mxn matrisine A matrisinin eki denir ve i A ile gösterilir. Bir Matrisin Tersi: Tersi olan matrislere regüler matrisler, tersi olmayan matrislere de singüler matrisler denir.

A −1 =

1 i .A A

MATRİSLER ÜZERİNDE ELEMANTER SATIR İŞLEMLERİ Satır Vektörleri: Elemanları reel sayılar olan mxn tipindeki bir matris

⎡ a 11 a 12 " ⎢a a 22 " ⎢ 21 # # ⎢ # # A=⎢ a a " i2 ⎢ i1# # ⎢ # # ⎢ ⎢⎣am1 am2 " aij ∈ R, 1 ≤ i ≤ m,

a 1n ⎤ a 2n ⎥ # ⎥ # # ⎥ # , aij " ain ⎥⎥ # # # ⎥ # ⎥ amj " amn ⎥⎦ 1≤ j ≤ n a1j " a2j "

olsun bu matrisin satır vektörlerini A1, A2, …. Am ile gösterirsek

A i = [ a i1 a i 2 " a in ] , 1 ≤ i ≤ n

demek olur ve o zaman A matrisini satır matrisler cinsinden

⎡ A1 ⎤ ⎢A ⎥ A= ⎢ 2 ⎥ ⎢# ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ Am ⎥⎦ yazabiliriz. Elemanter Satır İşlemleri: Bir mxn tipindeki

⎡ A1 ⎢ ⎢ A2 ⎢# ⎢ ⎣⎢ Am

⎤ ⎥ ⎥ matrisinin satır vektörleri üzerinde bir ⎥ ⎥ ⎦⎥

elemanter işlem aşağıdakilerden biridir: 1. c ≠ 0 ∈ R olmak üzere Ai vektörü yerine c.Ai vektörünü alma işlemi Ai → cAi ile gösterilir. 2. i ≠ j ve c ∈ R olmak üzere Ai vektörü yerine Ai + c.Aj vektörünü alma işlemi Ai → Ai + cAj ile gösterilir. 3. i ≠ j olmak üzere Ai ve Aj vektörlerinin yerlerinin kendi aralarında değiştirme işlemleri Ai ↔ Aj ile gösterilir. Bu işlemlere matrislerde elemanter satır işlemleri denir ve herhangi bir ε ile gösterilir. Denk Matrisler: Satır vektörleriyle verilen iki matris

⎡A1 ⎤ ⎢A ⎥ 2 ⎥ A=⎢ ⎢# ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣A m ⎥⎦ ⎡ B1 ⎤ ⎢ ⎥ B2 B =⎢ ⎥ ⎢# ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ Bm ⎥⎦

ve

olsun. Sonlu sayıda elemanter satır işlemleriyle A dan B elde ediliyorsa A matrisi B matrisine denktir denir ve A ≈ B biçiminde yazılır. Teorem: mxn tipindeki matrisler kümesinde ≈ ile gösterilen denk bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. Bir Matrisin Rankı: Bir

A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ mxn ≠ 0 matrisi

verilsin bu matrisin terimlerinden meydana getirilebilecek bütün karesel alt matrislerden determinantı 0 dan farklı olanların mertebelerinin en büyüğüne A matrisinin rankı denir ve Rank(A) ile gösterilir.

Teorem:Denk matrislerin rankları birbirine eşittir. Bir Matrisin Tersinin Bulunuşu:

[A / In ] ≈ ⎣⎡ In / A −1 ⎤⎦

a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎥ ⎢x ⎥ " a2n ⎥ ⎢ 2⎥ # # ⎥ ⎢# ⎥ ⎥.X = ⎢ ⎥ = B = " ain ⎥ ⎢# ⎥ # ⎢# ⎥ # ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ " a mn ⎦⎥ ⎣⎢ x n ⎦⎥

"

a1 j "

"

a2 j # #

"

a ij # #

" a mj

⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢# ⎥ ⎢ ⎥ ⎢# ⎥ ⎢# ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ b n ⎦⎥

biçiminde yazabiliriz. Buradan X = A-1 . B çıkar

B)

Δ=

a11x1 + a12x2 + . . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . . + a2nxn = b2 ……………………………….. ……………………………….. an1x1 + an2x2 + . . . . + annxn = bn

a11 a12 " a 1n a 21 a 22 " a 2n #

#

"

#

≠0

a n1 a n 2 " a nn olmak üzere sistemin bir tek çözümü vardır. Bu çözüm şöyle bulunur;

x1 =

Δ1 Δ Δ , x2 = 2 , " x n = n Δ Δ Δ

dir. Burada;

b 1 a 12 " a 1n Δ1 =

b 2 a 22

" a 2n

# # " # b n a n 2 " a nn

a 11 b 1 " a 1n , Δ2 =

a 21 b 2 " a 2n # # " # a n1 b n " a nn

,"

biçimindedir. C) Elemanter İşlemler İşlemler Metodu: AX = B ile verilen bir lineer denklem sisteminde

[A / B]

[I n / X ] matrisi elde edilerek sistem

çözülür. Not: A(x1, y1) , B(x2 , y2) den geçen doğrunun

x denklemi x 1

oluşundan faydalanılır.

Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümlerini Bulma A) İnvers Metodu a11x1 + a12x2 + . . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . . + a2nxn = b2 ……………………………….. ……………………………….. an1x1 + an2x2 + . . . . + annxn = bn Böyle bir denklem sistemini matrisler yardımıyla

⎡ a11 a12 ⎢a a 22 ⎢ 21 # # # ⎢ # A=⎢ ai 2 ⎢ ai1# # ⎢ # # ⎢ ⎣⎢a m1 a m 2

matrisinden

x2

y 1 y1 1 = 0 dır. y2 1...