MCUM1001(U2) - matematicas PDF

Preview

Summary

matematicas...

Description

7

Funciones

7.0.1. Definición de Función, Dominio y Recorrido Definición 7.1 (Función) Una función es una regla que establece una relación entre dos conjuntos de modo que cada elemento del primer conjunto se relaciona con un único elemento del segundo conjunto. El primer conjunto se conoce como dominio de la función y el conjunto de los elementos del segundo conjunto que están relacionados con algún elemento del dominio de la función se denomina recorrido. El segundo conjunto se denomina conjunto de llegada de f -

Lo anterior se puede representar a través de los siguientes esquemas

No es función

Si es función

No es función

Como notación, si A y B son conjuntos, una función entre A y B se denota por f : A→B Si a ∈ A, y b ∈ B es el valor del recorrido que está relacionado con a mediante f , entonces denotamos b = f (a). La expresión f (a) se lee f de a. El dominio de f se denota por Dom ( f ) y el recorrido de f se denota por Re c ( f ). Una función se puede expresar como un subconjunto del producto cartesiano de A y B, de modo que en ese subconjunto no existen dos pares ordenados con la misma abscisa y distinta ordenada.

52

Funciones

7.0.2. Ejemplos de Funciones Ejemplo 7.1 Considere U = {(2,3),(1,4).(0,3),(2,4)}. En este caso no es una función, puesto que los pares ordenados (2,3) y (2,4) tienen la misma abscisa y distinta ordenada. En tanto V = {(2,3),(1,4).(0,3),(3,4)} si es una función.

Ejemplo 7.2 Considere un conjunto A no vacío. Se define la función f : A → A como f (a) = a. Esta función se conoce como Identidad de A y se denota f = I .

En este curso trabajaremos con funciones cuyo dominio y recorrido son subconjuntos de R. Estas funciones usualmente se definen mediante fórmulas en términos de una variable que por convención será la letra x . Ejemplo 7.3 Considere la función f (x) =

p

x. Determine su dominio y recorrido.

Solución: Esta función está definida para valores no negativos de x. Por lo tanto, su dominio es el conjunto [0,∞[. Además, su recorrido es también dicho conjunto pues la raíz cuadrada de un número real no negativo es también un número no negativo. Ejemplo 7.4 Considere la función f (x) =

p

x 2 − 9. Determine su dominio y recorrido.

Solución: En este caso, la función está definida para todos los valores de x donde el radicando es no negativo. Esto es equivalente a resolver la inecuación x2 − 9 ≥ 0 (x + 3)(x − 3) ≥ 0 La tabla de valores críticos es la siguiente: −∞

x +3 x −3 Sp

Por lo tanto, Dom( f ) =] −∞,−3] ∪ [3, ∞[.

−3

− −

+

3 + −

−

∞

+ +

+

Para determinar el recorrido, suponemos que y ∈ Rec( f ). Entonces y debe ser no negativo y

Funciones

53

y=

p

x2 − 9

y2 = x2 − 9

La expresión

p

y2 + 9 = x2 q y 2 + 9 = ±x

y 2 + 9 está bien definida para todo y no negativo, por lo tanto Re c( f ) = [0, ∞[.

Ejemplo 7.5 Considere f (x) = |x|, donde |x| denota el valor absoluto de x ∈ R. Su dominio es R y su recorrido es [0, ∞[.

Ejemplo 7.6 Considere la función f (x) =

2x+5 . x−3

Determine su dominio y recorrido

Solución: En este caso, el dominio de la función es el conjunto de los valores de x donde el denominador no se anula. Se puede ver que tal denominador se anula si x − 3 = 0, o equivalentemente x = 3. Por lo tanto, Dom( f ) = R\{3}. Para determinar el recorrido, sea y ∈ Re c( f ). Entonces existe x ∈ Dom( f ) tal que

2x + 5 =y x −3 2x + 5 = y(x − 3) 2x + 5 = y x − 3y 3y + 5 = y x − 2x 3y + 5 = x(y − 2) 3y + 5 =x y −2

La última expresión nos dice que y debe ser distinto de 2. Por lo tanto Re c( f ) = R\{2}.

54

Funciones

7.0.3. Ejercicios Propuestos Ejercicios 7.1 (Actividad individual)

Determine el dominio y recorrido de la función f (x ) =

p

x2 − x − 2

Ejercicios 7.2 (Actividad individual)

Determine el dominio y recorrido de la función f (x) =

8x − 5

7x − 3

Funciones

55

Ejercicios 7.3 (Actividad individual)

Determine el dominio de la siguiente función f (x) =

7.1

x2 + x + 4

x 2 − 12x + 32

Función Inyectiva

Definición 7.2 Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. Formalmente: ∀a,b ∈ Dom( f ), si f (a) = f (b) =⇒ a = b

Ejemplo 7.7 Demostrar que la función f (x) = 2x − 3 es inyectiva.

Solución: Dado a y b dos elementos del dominio, sus imágenes son:

x = a =⇒ f (a) = 2a − 3 x = b =⇒ f (b) = 2b − 3

56

Funciones

Si f (a) = f (b) =⇒ a = b. En efecto: 2a − 3 = 2b − 3 2a = 2b a=b

Por lo tanto, f (x) es función inyectiva.

Ejemplo 7.8 Demostrar que la función f (x) = x 2 − 2 no es inyectiva.

Solución: Dado a y b dos elementos del dominio, sus imágenes son:

x = a =⇒ f (a) = a 2 − 2 x = b =⇒ f (b) = b 2 − 2

Si f (a) = f (b) =⇒ a 6= b. En efecto: a2 − 2 = b2 − 2 a2 = b2 a2 − b2 = 0 (a + b)(a − b) = 0 a = ±b

Por lo tanto, f (x) no es inyectiva.

7.2

Ejercicios Propuestos de Funciones Inyectiva

Funciones

57

Ejercicios 7.4 (Actividad grupal)

Determinar si las siguientes funciones son inyectivas en su dominio:

1. f (x) = 2x + 5 2. f (x) =

p

(x − 1)

3. f (x) = e x 4. f (x) = x 2 − x + 2 5. f (x) = x 4 + x Solución:

58

Funciones

7.3

Función Sobreyectiva

Definición 7.3 Una función es sobreyectiva, cuando el codominio y el recorrido coinciden. Formalmente:

∀y ∈ C od ( f ),∃x ∈ Dom( f ) : f (x) = y

Obs. Las funciones reales son sobreyectivas cuando Re c( f ) = R, ya que, por definición, en ellas C od ( f ) = R

Ejemplo 7.9 Demostrar que la función f (x) = 3x − 2 es sobreyectiva.

Solución: El Codominio de la función son todos los reales por ser una función real, por lo que tenemos que mostrar que el recorrido de la función, también son todos los números reales. Para ello debemos encontrar la función inversa de f (x) = 3x − 2. Pasos para encontrar la función inversa:

1. Reemplazar f (x) por y =⇒ y = 3x − 2. 2. Despejar la variable x =⇒ x = (y − 2)/3 3. Reemplazar x por f (x)( − 1), e y por x =⇒ f (x)−1 = (x − 2)/3 Por lo tanto el recorrido de la función son todos los reales, lo que implica que la función f (x) = 3x − 2 es sobreyectiva. Ejemplo 7.10 Demostrar que la función f (x) = x 2 − 1 no es sobreyectiva.

Solución:

Funciones

59

El Codominio de la función son todos los reales por ser una función real, por lo que tenemos que mostrar que el recorrido de la función, no son todos los números reales. Para ello debemos encontrar la función inversa de f (x) = x 2 − 1. 1. Reemplazar f (x) por y =⇒ y = x 2 − 1. p 2. Despejar la variable x =⇒ x = ± (y + 1).

p 3. Reemplazar x por f (x)( − 1), e y por x =⇒ f (x)−1 = ± (x + 1).

El recorrido de la función son todos los valores con la cual x + 1 ≥ 0, por lo que, al despejar la variable x, resulta x ≥ −1, por lo tanto el recorrido de la función es: [−1, +∞). Por lo tanto la función f (x) = x 2 − 1 no es sobreyectiva, ya que: C od( f ) 6= Rec( f ).

60

Funciones

7.4

Ejercicios Propuestos de Funciones Sobreyectiva

Ejercicios 7.5 (Actividad grupal)

Determinar si las siguientes funciones son sobreyectivas:

1. f (x) = 2x + 2 2. f (x) = x − 1 p 3. f (x) = 3x 4. f (x) = x 2 − 4x + 2 Solución:

7.5

Función Biyectiva

Definición 7.4 Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Formalmente: ∀y ∈ C od ( f ),∃!x ∈ Dom( f ) : f (x) = y

Por lo tanto, para saber si una función e biyectiva, hay que mostrar que es inyectiva y también sobreyectiva.

Funciones

7.6

61

Ejercicios Propuestos de Funciones Biyectiva

Ejercicios 7.6 (Actividad grupal)

Determinar si son o no, biyectiva las siguientes funciones:

1. f (x) = 2. f (x) =

p 3 p

(x + 2)

x +2 3

3. f (x) = x2x 2 +1 2

4. f (x) = x2x 2 +1 Solución:

62

Funciones

7.7

Álgebra de Funciones

7.7.1. Operaciones con Funciones Sean f : A → R y g : A → R, con A = Dom( f ) = Dom(g ) ⊂ R. Se definen las siguientes operaciones entre f y g 1. Suma de f y g ( f + g )(x) = f (x) + g (x ) 2. Resta de f y g ( f − g )(x) = f (x) − g (x ) 3. Producto de f y g ( f · g )(x) = f (x) · g (x ) 4. Cociente entre f y g (si g (x) 6= 0) µ ¶ f f (x) (x) = g (x) g 5. Ponderación de f por un escalar k ∈ R (k f )(x) = k f (x ) Ejemplo 7.11 Considere f (x) = x 2 + 2x − 3, g (x) = 3x 2 − 11x + 20. Determine f + g , g − 2f , f · g . Solución: Primero calculamos f + g ( f + g )(x) = f (x) + g (x ) = x 2 + 2x − 3 + 3x 2 − 11x + 20 = 4x 2 − 9x + 17 Ahora calculamos g − 2f , previamente calculando 2f 2f (x) = 2(x 2 + 2x − 3) = 2x 2 + 4x − 6 (g − 2f )(x) = g (x) − 2f (x)

Funciones

63

= 3x 2 − 11x + 20 − (2x 2 + 4x − 6) = 3x 2 − 11x + 20 − 2x 2 − 4x + 6 = x 2 − 15x + 26 Finalmente calculamos f · g ( f · g )(x) = f (x) · g (x ) = (x 2 + 2x − 3)(3x 2 − 11x + 20) = 3x 4 − 11x 3 + 20x 2 + 6x 3 − 22x 2 + 40x − 9x 2 + 33x − 60 = 3x 4 − 5x 3 − 11x 2 + 7x − 60 Ejemplo 7.12 Sea f (x) = x + 1, g (x) =

p

f

x. Calcule g .

Solución:

f (x) f (x) = g g (x) x +1 = p x x 1 =p + p x x =

p

1 x+ p

x

64

Funciones

7.7.2. Problemas Propuestos de Operaciones con funciones Ejercicios 7.7 (Actividad individual)

Considere f (x) = 2x + 1, g (x) = −x + 2, h(x) = x 2 + 3x − 7. Determine 1. f · g − h 2.

3h 7 f +4g

Ejercicios 7.8 (Actividad individual) x+1 Considere las funciones f (x) = x+2 , g (x) =

1. f + g 2.

f g

x−1 . x−2

Calcule

Funciones

7.8

65

Monotonía de Funciones

Definición 7.5 (Monotonía de Funciones) Sea f : A → R una función con A ⊂ R 1. Decimos que f es creciente si para todo x, y en A tales que x < y, f (x) < f (y ). 2. Decimos que f es decreciente si para todo x, y en A tales que x < y, f (x) > f (y ) 3. Decimos que f es constante si para todo x, y en A tales que x 6= y, f (x) = f (y ).

Ejemplo 7.13 La función f (x) = x 2 es decreciente en ] −∞,0[ y creciente en ]0, ∞[.

Ejemplo 7.14 Sea f una función cuyo gráfico está dado por

Determine los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

Solución: La función es creciente en los intervalos ] − 1,1[ ; ]2, +∞[ y es decreciente en ] −∞,−1[ ; ]1,2[

66

Funciones

7.9

Paridad de Funciones

Definición 7.6 (Paridad de Funciones) Sea f : A → R una función con A ⊂ R 1. Se dice que f es par si para todo x ∈ A se cumple que −x ∈ A y f (−x) = f (x ). 2. Se dice que f es impar si para todo x ∈ A se cumple que −x ∈ A y f (−x) = −f (x ).

Desde el punto de las gráficas de las funciones, se dice que una función es par cuando su gráfico es simétrico con respecto al eje y y es impar cuando la gráfica de la función es simétrica con respecto al origen. Un ejemplo de función par es

y una impar

7.9.1. Ejercicios Resueltos de Paridad de Funciones Ejemplo 7.15 Determine si la función f (x) = 5x 2 + 2 es par, impar o no tiene paridad.

Funciones

67

Solución: Observamos que f (−x ) = 5(−x )2 + 2 = 5x 2 + 2 Como f (−x) = f (x), para todo x, entonces f es una función par. Ejemplo 7.16 Determine si la función f definida por f (x) = x 3 − 2x es par o impar. Solución: Se tiene que −f (−x) = −[(−x)3 − 2(−x)] = x 3 − 2x = f (x) por lo tanto, la función es impar. Ejemplo 7.17 Determine si la función f (x) = x 4 − 2x es par, impar o no tiene paridad. Solución: Determinamos f (−x) = (−x)4 − 2(−x) = x 4 + 2x. Se ve que f (−x) 6= f (x), por ello, f es no una función par. Por otra parte, f (−x) = x 4 + 2x = −(−x 4 − 2x). Se ve que f (−x) 6= −f (x), por ello, f es no una función impar. Por lo tanto, f no tiene paridad.

7.9.2. Ejercicios Propuestos de Paridad de Funciones Ejercicios 7.9

Determine si las siguientes funciones son pares, impares o no tienen paridad. 1. f (x) =

x2 − 1

x2 + 5

2. f (x) = x 5 − 8x 3 + 11x 3. f (x) =

x(x + 1) x3 + 2

68

Funciones

7.10

Puntos de Intersección

Definición 7.7 (Intersección ejes Coordenados) Sea f una función real, se obtiene el punto de intersección con el eje y por (0, f (0)), y de la ecuación f (x) = 0, se obtienen las coordenadas x de los puntos de intersección con el eje de la abscisas.

7.10.1. Ejercicios Resueltos de Puntos de Intersección Ejemplo 7.18 2

x −4 Determine los puntos de intersección de la función f (x) = x+3 , para x 6= −3, con los ejes coordenados

Solución: Para el punto de intersección con el eje y, se tiene que f (0) =

02 − 4 0+3

=−

4 3

¢ ¡ por lo tanto, el punto es 0,−34 . Para determinar los punto de intersección con el eje x, se tiene que x2 − 4 = 0 =⇒ x 2 − 4 = 0 x +3

las soluciones de la ecuación son x = −2 y x = 2, por lo tanto, las coordenadas de los puntos son (−2,0) y (2,0).

7.11

Ejemplos Especiales de Funciones

7.11.1. Función Lineal Definición 7.8 (Función Lineal) Se define la función lineal por f (x) = ax + b,con a, b constantes reales.

Su gráfico es del tipo

Funciones

69

si a > 0 y

si a < 0.

Es decir, la función lineal será creciente si a > 0 y será decreciente si a < 0.

7.11.2. Ejercicios Resueltos de Funciones Lineales

Ejemplo 7.19 Elaborar la gráfica de la función f (x) = 2x + 6

Solución: La intersección con el eje y, se obtiene por f (0) = 2 · 0 + 6 = 6 y la intersección con el eje x por 2x + 6 = 0 =⇒ x = −3 es decir, los puntos de intersección son (0,6) y (-3,0). La gráfica de la función es

70

Funciones

Dominio y recorrido de la función es el conjunto de números reales. Como a = 2 > 0 la función es creciente en todo su dominio.

7.11.3. Función Cuadrática Definición 7.9 (Función cuadrática) La función cuadrática es del tipo f (x) = ax 2 + bx + c, con a, b, c constantes reales tales que a 6= 0, y x ∈ R. La gráfica de una función cuadrática es de la forma

si a > 0 y

Funciones

71

si a < 0. Para la función cuadrática general f (x) = ax2 + bx + c, se debe reescribir del al forma f (x) = a(x − h)2 + k donde el punto (h,k)(Vértice) será las coordenadas del mínimo de la función, si a > 0, o el máximo de la función, si a < 0. Al comparar las dos formas de escribir las funciones, se puede determinar que h = −2ab.

7.11.4. Ejercicios Resueltos de Función Cuadrática Ejemplo 7.20 Considere la función cuadrática dada por f (x) = x 2 + 4x + 3, elabore su gráfica. Solución: Al realizar una completación de cuadrado, se tiene que f (x ) = (x 2 + 4x + d ) + 3 − d se agrega un cero de forma conveniente para realizar la completación de cuadrado. Para este caso d = 4, es decir f (x ) = (x 2 + 4x + 4) + 3 − 4 al factorizar f (x) = (x + 2)2 − 1 por lo tanto, (h,k) = (−2,−1). La intersección de la función con el eje y , se obtiene por f (0) = 02 + 4 · 0 + 3 = 3 =⇒ (0,3) con el eje x x 2 + 4x + 3 = 0 =⇒ (x + 1)(x + 3) = 0 es decir, los puntos de interseccion con el eje x son (−1,0) y (−3,0). La gráficad de la función es

72

Funciones

7.11.5. Función Raíz Definición 7.10 (Función Raíz) Se define la función raíz por f (x) =

La gráfica de la función f (x) =

p

p

x, para x > 0

x , es de la forma

y se pueden definir los casos

p f (x ) = −x (1)

p f (x ) = − x (2)

p f (x ) = − −x (3)

p Para un caso más general de la forma f (x) = a x − h + k, se tiene que si a > 0 tiene la gráfica es de la forma inicial y si a < 0

es de la forma del caso (2), además para a > 0 se tiene que el dominio será el intervalo [h,+∞[ y su recorrido el intervalo [k,+∞[.

7.11.6. Ejercicios Resueltos de Función Raíz Ejemplo 7.21 p Elaborar la gráfica de la función f (x) = 3 − 4 − x, indicando su dominio, recorrido, monotonía y su inversa sobre el dominio y recorrido determinados.

Solución: Si x está en el dominio de la función, cumple con 4 − x ≥ 0 =⇒ x ≤ 4 el dominio es el intevalo ] −∞,4]. Para el recorrido se tiene que el intervalo es ] −∞,3]. La intersección con el eje y se obtiene por p f (0) = 3 − 4 − 0 = 1

Funciones

73

el punto es (0,1). La intersección con el eje x se obtiene de la ecuación p 3 − 4 − x = 0 =⇒ x = −5 las coordenadas del punto son (−5,0). La gráfica de la función es (según modelo (3))

La función es creciente en todo su dominio. Si f :] −∞,4] →] − ∞,3], la función es biyectiva y su inversa es p y = 3− 4−x p

4 − x = 3 − y =⇒ x = 4 − (3 − y)2

por lo tanto, f −1 :] − ∞,3] → [4. +∞[ definida por f −1 (x) = 4 − (x − 3)2 . Ejemplo 7.22 Elaborar la gráfica de la función f (x) = dominio y recorrido determinados.

p

1 − x + 2, indicando su dominio, recorrido, monotonía y su inversa sobre el

Solución: Si x está en el dominio de la función, cumple con 1 − x ≥ 0 =⇒ x ≤ 1 el dominio es el intevalo ] −∞,1]. Para el recorrido se tiene que el intervalo es ]2, +∞]. La intersección con el eje y se obtiene por p f (0) = 1 − 0 + 2 = 3 el punto es (0,3). La intersección con el eje x se obtiene de la ecuación p

1 − x + 2 = 0 =⇒

p

1 − x = −2

es decir, la gráfica no intersecta al eje x. La gráfica de la función es (según modelo (1))

74

Funciones

La función es decreciente en todo su dominio. Si f :] −∞,1] → [2,+∞[, la función es biyectiva y su inversa es y= p

p

1−x +2

1 − x = y − 2 =⇒ x = 1 − (y − 2)2

por lo tanto, f −1 : [2,+∞[→] − ∞,1] definida por f −1 (x) = 1 − (x − 2)2 .

7.11.7. Función Valor Absoluto Definición 7.11 (Función Valor Absoluto) La función valor absoluto básica es f (x) = a|x|, con a una costante real y x ∈ R.

La gráfica de la función es

si a > 0 y

Funciones

75

si a < 0. La función valor absoluto se puede definir por intervalos o por partes, utilizando la función lineal, de forma que ( −x si x 0.

7.11.8. Ejercicios Resueltos de Función Valor Absoluto Ejemplo 7.23 Elaborar la gráfica de la función f (x) = 2 −|x − 1|, indicando sus intersecciones con los ejes coordenados, dominio, recorrido e intervalos de crecimiento.

Solución: Dado que para x −1 = 0 se obtiene que x = 1, entonces h = 1. Además f (1) = 2, por lo tanto, (h,k) = (1,2). La intersección con el eje y se obtiene por f (0) = ...