MCUM1001(U3) - matematicas PDF

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8 8.1

Lógica

Lógica

La lógica es la rama del conocimiento que a través de diferentes métodos y reglas y la utilización del razonamiento, permite establecer la validez de alguna sentencia u oración. La base de trabajo en la lógica son las proposiciones, que se pueden representar a través de variables como p, q, r , e t c .

8.1.1. Definición de Proposición Definición 8.1 (Proposición) Una proposición es una sentencia u oración declarativa la cual posee un valor de verdad definido, es decir una proposición es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.

Ejemplo 8.1 La sentencia 4+3 = 7 es una proposición verdadera, ya que en el sistema numérico decimal efectivamente “cuatro más tres es siete”

Ejemplo 8.2 La oración

“Un cubo posee seis caras” es una proposición. El valor de verdad de esta proposición es verdadero.

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Ejemplo 8.3 La oración

“¿Visitó el campus virtual del curso de matemáticas esta semana?” no es una proposición. La sentencia no es declarativa sino interrogativa.

8.1.2. Definición de Negación Definición 8.2 (Negación) La negación de una proposición es una nueva proposición que posee un valor de verdad opuesto a la proposición original. Si p es una proposición,p¯o ∼ p son las formas de representar la negación de p .

Ejemplo 8.4 Dada la proposición p:“Un cubo posee seis caras” su negación es: p:“Un ¯ cubo no posee seis caras” la proposición p es verdadera y su negaciónp¯es falsa.

Las proposiciones simples o sus negaciones se pueden combinar a través de los conectivos, lo que permite formar nuevas proposicones denominadas proposiciones conpuestas. La sentencia “El rio está sucio, entonces Juan no se bañará en el rio”, está compuesta de dos proposiciones simples combinadas por el conectivo “entonces”

8.1.3. Definición de Conectivos Definición 8.3 (Conectivos) Los conectivos lógicos son símbolos que permiten combinar proposiciones simples, formando unas nuevas proposiciones denominadas proposiciones compuestas.

Los conectivos más usuales son: a) Conjunción (∧) b) Disyunción inclusiva (∨) c) Disyunción exclusiva (∨)

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d) Condicional (⇒) e) Bicondicional (⇔)

8.1.4. Definición de Conjunción Definición 8.4 (Conjunción) La conjunción es la proposición compuesta (p ∧ q), que se lee “p y q”. La característica que define a la conjunción es que su valor de verdad será verdadera, sólo en el caso que ambas proposiciones simples que la componen sean verdaderas. Lo anterior se puede resumir en la tabla

p

q

p ∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Cuadro 8.1: Tabla de Conjunción

De la tabla se puede observar que si alguna de las proposiciones simples que componen a la conjunción es falsa, la proposición compuesta es falsa.

Ejemplo 8.5 Si la proposición p :“El auto está en buenas condiciones”, es una proposición falsa y la proposición q :“Pedro saldrá de vacaciones”, es una proposición verdadera, se tiene que la proposición compuesta “El auto está en buenas condiciones y Pedro saldrá de vacaciones” se puede expresar en lenguaje simbólico por (p ∧ q) y su valor de verdad es falso.

8.1.5. Definición de Disyunción Inclusiva Definición 8.5 (Disyunción Inclusiva) La disyunción inclusiva es la proposición compuesta (p ∨ q ), que se lee “ p o q”. La característica que define a la disyunción inclusiva es que su valor de verdad será falso, sólo en el caso que ambas proposiciones simples que la componen sean falsas. Lo anterior se puede resumir en la tabla

Lógica

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p

q

p ∨q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Cuadro 8.2: Tabla de Disyunción Inclusiva

De la tabla se puede observar que si alguna de las proposiciones simples que componen a la disyunción es verdadera, la proposición compuesta es verdadera.

Ejemplo 8.6 Si la proposición p :“El día está nublado”, es una proposición falsa y la proposición q :“María subirá a la cordillera a esquiar”, es una proposición verdadera, se tiene que la proposición compuesta “El día está nublado o María subirá a la cordillera a esquiar” se puede expresar en lenguaje simbólico por (p ∨ q) y su valor de verdad es verdadero.

8.1.6. Definición de Disyunción Exclusiva Definición 8.6 (Disyunción Exclusiva) La disyunción exclusiva es la proposición compuesta (p∨q), que se lee “o p o q”. La característica que define a la disyunción exclusiva es que su valor de verdad será verdadero, si una y sólo una de las proposiciones simples que la componen es verdadera. Lo anterior se puede resumir en la tabla

p

q

p ∨q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Cuadro 8.3: Tabla de Disyunción Exclusiva

De la tabla se puede observar que si las proposiciones simples que componen a la disyunción exclusiva tienen valor de verdad distintos, la proposición compuesta es verdadera.

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Ejemplo 8.7 Si la proposición p :“El estadio estará abierto”, es una proposición verdadera y la proposición q :“José jugará el partido de fútbol el domingo”, es una proposición falsa, se tiene que la proposición compuesta “O el estadio estará abierto o José jugará el partido de fútbol el domingo” se puede expresar en lenguaje simbólico por (p∨q) y su valor de verdad es verdadero.

8.1.7. Definición de Condicional Definición 8.7 (Condicional) La condicional es la proposición compuesta (p ⇒ q), que se lee “si p entonces q”, donde la proposición p se llama antecedente y la proposición q consecuente. La característica que define a la condicional es que su valor de verdad será falso, sólo si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Lo anterior se puede resumir en la tabla

p

q

p⇒q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Cuadro 8.4: Tabla de la Condicional

De la tabla se puede observar que si el antecedente es falso, la proposición compuesta es verdadera. Ejemplo 8.8 Si la proposición p :“4+5=8”, es una proposición falsa y la proposición q :“5-2=3”, es una proposición verdadera, se tiene que la proposición compuesta “Si 4 + 5 = 8, entonces 5 − 2 = 3” se puede expresar en lenguaje simbólico por (p ⇒ q) y su valor de verdad es verdadero.

8.1.8. Definición de Bicondicional Definición 8.8 (Bicondicional) La bicondicional es la proposición compuesta (p ⇔ q), que se lee “p si y sólo si q”. La característica que define a la bicondicional es que su valor de verdad será verdadero, sólo si el valor de verdad de las proposiciones simples que la componen son iguales. Lo anterior se puede resumir en la tabla

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p

q

p⇔q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Cuadro 8.5: Tabla de la Bicondicional

De la tabla se puede observar que se puede decir que es la negación de la proposición disyunción exclusiva.

Ejemplo 8.9 Dadas las proposiciones p : “2 · 3 − 5 < 0" y q : “5 − 2 ∈ N", se tiene que la proposición compuesta “2 · 3 − 5 < 0, si y sólo si 5 − 2 ∈ N" se puede expresar en lenguaje simbólico por (p ⇔ q) y su valor de verdad es falso.

Si se tiene una proposición compuesta escrita en leguaje simbólico, es posible establecer su valor de verdad en los diferentes casos posibles que se podrían tener. Esto se puede resumir en una “tabla de verdad”, que se elabora tomando en cuenta todas las combinaciones posibles de verdadero y falsa de las proposiciones que la componen. Si n ∈ N es el número de proposiciones simples distintas que se tienen, 2n será la cantidad total de casos posibles para elaborar la tabla de verdad.

8.1.9. Ejemplos Resueltos de Tablas de Verdad Ejemplo 8.10 Construya la tabla de verdad para la proposición compuesta (p ∧ q) ⇒ p

Solución: La tabla de verdad queda de la forma p (1)

q

p ∧q (2)

(2) ⇒ (1)

V V F F

V F V F

V F F F

V V V V

Ejemplo 8.11 ¯ ⇒ (q ∧ r ), determine sus posibles valores de verdad. Dada la proposición (p ∨q)

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Solución: Al tener tres proposiciones simples distintas (p, q y r ), el número de casos que se deben analizar son 23 = 8. Las tres primeras columnas de la tabla son las proposiciones simples que la componen y para obtener todos los casos posibles en la primera columna se completan con la mitad de los casos posibles con verdaderos y la otra mitad falso. La siguiente columna, se completan todos los casos con la mitad de verdaderos y falsos utilizados en la columna anterior. Las siguientes que sean necesarias se realizan siguiendo el mismo esquema. Esto entrega la siguiente tabla p

q

r

q¯

¯ (p ∨q) (1)

(q ∧ r ) (2)

(1) ⇒ (2)

V V V V

V V F F

V F V F

F F V V

V V V V

V F F F

V F F F

F F F F

V V F F

V F V F

F F V V

F F V V

V F F F

V V F F

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Solución:

Lógica

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8.1.10. Ejercicios Propuestos de Tablas de Verdad Ejercicios 8.1 (Actividad individual)

¯ ∧ p], Dada la proposición p¯⇒ [(p ∨ q) ¯ determine sus posibles valores de verdad.

Solución:

Ejercicios 8.2 (Actividad individual)

¯ determine sus posibles valores de verdad. Dada la proposición (p¯∨ q) ⇒ (p ⇒ q),

Solución:

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Ejercicios 8.3 (Actividad individual)

¯ ⇔ (p¯ ∨ q), ¯ determine sus posibles valores de verdad. Dada la proposición (q ⇒ (p ∧q)

Solución:

Ejercicios 8.4 (Actividad individual)

Dada la proposición (p¯∧ q )) ⇔ (q ∨r ), determine sus posibles valores de verdad.

Solución:

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8.1.11. Definición de Tautología, Contradicción y Contingencia Definición 8.9 (Tautología) Una proposición se dice que es una tautología, si su valor de verdad es siempre verdadero, independiente del valor de verdad de las proposiciones que la componen.

Definición 8.10 (Contradicción) Una proposición se dice que es una contradicción, si su valor de verdad es siempre falso, independiente del valor de verdad de las proposiciones que la componen.

Definición 8.11 (Contingencia) Una proposición se dice que es una contingencia, si su valor de verdad depende del valor de verdad de las proposiciones que la componen.

8.1.12. Ejercicios Resueltos de Tautología, Contradicción y Contingencia Ejemplo 8.12 Construya la tabla de verdad de la proposición (p ∧ q) ⇒r ¯, y diga si es Tautología, Contradicción, o Contingencia.

Solución:

p

Es una Contingencia.

q

r

r¯ (1)

p ∧q

(2) ⇒ (1)

(2)

V V V V F F F

V V F F V V F

V F V F V F V

F V F V F V F

V V F F F F F

F V V V V V V

F

F

F

V

F

V

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Ejemplo 8.13 Sean p y q dos proposiciones, se define la proposición compuesta, (p ∧ q) ⇒ (p ∧ q) Determine, a través de una tabla de verdad, si la proposición es una tautología, contradicción o contingencia.

Solución:

p

q

p

q

p ∧q

p ∧q

p ∧q

(1) ⇒ (2)

V V F

V F V

F F V

F V F

(1) F F V

F V F

(2) V F V

V V V

F

F

V

V

F

F

V

V

por lo tanto, es una tautología.

Ejemplo 8.14 Sean p y q dos proposiciones, se define la proposición compuesta, ¯ ∧ (p ∧ q) (p ⇒ q) Determine, a través de una tabla de verdad, si la proposición es una tautología, contradicción o contingencia.

Solución:

por lo tanto, es una contradicción.

p ∧q

p ∧q

F

¯ (p ⇒ q) (1) V

V

(2) F

F

V F V

F F F

F F F

V V V

F F F

p

q

p

q

V

V

F

V F F

F V F

F V V

(1) ∧ (2)

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8.1.13. Ejercicios Propuestos de Tautología, Contradicción y Contingencia Ejercicios 8.5 (Actividad grupal)

Clasifique si la proposición (p¯∧ q¯) ∧ (p ∨ q ) es una tautología, contradicción o contingencia. Solución:

Ejercicios 8.6 (Actividad grupal)

¯ ∧ p] es una tautología, contradicción o contingencia. Clasifique si la proposición p ⇒ [(p¯⇒ q) Solución:

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Ejercicios 8.7 (Actividad grupal)

¯ es una tautología, contradicción o contingencia. Clasifique si la proposición [(q ∨r¯) ∧ q] ⇒ (p ∧ q) Solución:

Ejercicios 8.8 (Actividad grupal)

¯ ⇔ [(q ∧ p) ¯ ∨ r ] es una tautología, contradicción o contingencia. Clasifique si la proposición (p ⇒q) Solución:

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Solución:

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8.1.14. Leyes Lógicas Sean p, q y r proposiciones, se tiene que (p ∨ p) ⇔ p (p ∧ p) ⇔ p p¯¯ ⇔ p

Ley de Idempotencia

[(p ∨ q) ∨ r ] ⇔ [p ∨ (q ∨ r )] [(p ∧ q) ∧ r ] ⇔ [p ∧ (q ∧ r )]

Doble Negación Ley de Asociación

(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)

Ley Conmutativa

[p ∨ (q ∧ r )] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r )] [p ∧ (q ∨ r )] ⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r )] [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p [p ∧ (p ∨ q)] ⇔ p

Ley de Distribución Ley de Absorción Ley de De Morgan

¯ [(p ∨ q)] ⇔ (p¯ ∧ q) ¯ [(p ∧ q) ⇔ (p¯ ∨ q) además, se pueden demostrar las tautologías • (p ⇒ q) ⇔ (p¯ ∨ q) • (p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

8.1.15. Ejercicios Resueltos de Leyes Lógicas Ejemplo 8.15 Se sabe que la proposición (r ⇔ p) ¯ ∨ [r¯ ⇒ (p ∨ s)] ¯ es falsa. Determine los valores de verdad de las proposiciones p, r y s .

Solución: Si (r ⇔ p) ¯ ∨ [ r¯ ⇒ (p ∨ s)] ¯ es Falsa. Entonces, 1. (r ⇔ p) ¯ ≡F 2. [ r¯ ⇒ (p ∨ s)] ¯ ≡ F. De 2. se deduce que: r¯ = V , por lo tanto r = F . Además, (p ∨ s) ¯ = F , por consiguiente, p = F y s¯ = F , es decir s = V . En conclusión,

p = F, r = F, s =V

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Ejemplo 8.16 Se sabe que la proposición [(p ⇔ q) ∧p] ¯ ⇒ (q ∧ p) ¯ es falsa. Determine los valores de verdad de p y q .

Solución: Por ser una implicación, si es falsa significa que el antecedente [(p ⇔ q) ∧p]¯ es verdadero y el consecuente (q ∧p) ¯ es falso. Por tanto, tomando el antecedente, [(p ⇔ q) ∧p] ¯ = V . En consecuencia, (p ⇔ q) = V, p¯ = V luego, p =F Al sustituir (F ⇔ q) = V se tiene que q = F . Ejemplo 8.17 Sean p y q dos proposiciones, se define la proposición compuesta, [(p ∧ q) ⇒ (p ∧ q)] ⇒ p . Determine, utilizando las leyes lógicas, si la proposición es una tautología, contradicción o contingencia.

Solución: Al simplificar, se obtiene que [(p ∧ q)) ⇒ (p ∧ q)] ⇒ p ≡ [(p ∧ q) ∨ (p ∨ q)] ⇒ p ≡ [(p ∨ q ) ∨ (p ∨ q )] ⇒ p ≡ [(p ∨ p) ∨ (q ∨ q)] ⇒ p ≡ [V ∨V ] ⇒ p ≡V ∨p ≡F ∨p ≡p Por lo tanto, es una contingencia, ya que si p = F entonces la proposición compuesta original es Verdadera, y si p = V entonces la proposición compuesta original es Falsa.

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Ejemplo 8.18 Sean p y q dos proposiciones, se define la proposición compuesta, ¯ ⇔ (q ⇒ p) [(p¯ ∧ q) ⇒ q] Determine, utilizando las leyes lógicas, si la proposición es una tautología, contradicción o contingencia.

Solución: Al simplificar se obtiene que ¯ ⇔ (q ⇒ p) [(p¯ ∧ q) ⇒ q] ¯ ⇔ (q¯ ∨ p) [( p¯ ∧ q) ∨ q] ¯ ∨ q] ¯ ⇔ (q¯ ∨ p) [(p ∨ q) ¯ ⇔ (q¯ ∨ p) [p ∨ ( q¯ ∨ q)] ¯ ⇔ ( q¯ ∨ p) (p ∨ q) ¯ ∨ p) ⇔ (q¯∨ p)] ≡ V [( q Por lo tanto, la proposición es una tautología.

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8.1.16. Ejercicios Propuestos de Leyes Lógicas Ejercicios 8.9 (Actividad grupal)

Se sabe que la proposición ¯ ⇒ [(r¯ ∧ p) ∨ s] (p ∧ q) es falsa. Determine los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s . Solución:

Ejercicios 8.10 (Actividad grupal)

Determine, a través de las leyes lógicas, si la proposición (p ¯ ∧ q) ∨ [(p¯ ∧ r ) ∧ p] es una tautología, contradicción o contingencia. Solución:

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Ejercicios 8.11 (Actividad grupal)

Determine, a través de las leyes lógicas, si la proposición ¯ ⇒ (p¯ ∧ q)] ¯ ∧p [(p ∨ q) es una tautología, contradicción o contingencia. Solución:

Ejercicios 8.12 (Actividad grupal)

Determine, a través de las leyes lógicas, si la proposición ¯ ( q¯ ⇒ p) ⇒ (p ∧ q) es una tautología, contradicción o contingencia. Solución:

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8.2

Cuantificadores

Si tomamos la sentencia “P (x) : x 2 − 9 = 0", por si sola no es una proposición. Si definimos el universo como el conjunto de números reales, P (x) es verdadera para los valores del conjunto {−3,3}. Por lo tanto, P (x) es una proposición para los valores de x dentro del universo que se utilice. Si el universo se define por, U = {x ∈ R/x > 0}, P (x ) es verdadera para x = 3, del universo U . Una forma que se pueden definir proposiciones, es utilizar la sentencia P (x) y algún cuantificador. Definición 8.12 (Cuantificador Universal) Dada la sentencia P (x), el enunciado ∀x,P (x) se lee “Para todo x,P (x)" (donde el símbolo ∀ se denomina cuantificador universal) y será verdadero siempre y cuando todos los valores del universo utilizado cumplan la sentencia P (x).

Definición 8.13 (Cuantificador Existencial) El símbolo ∃ se denomina cuantificador existencial y el enunciado ∃x,P (x) se lee “Existe x tal que P (x)" y será verdadero cuando exista algún valor del universo que cumpla P (x ).

Ejemplo 8.19 Dado el universo U = {−2,−1,0,1}, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones 1. (∀x ∈ U ,2x + 3 < 6)

4. (∃x ∈ U , x 2 − 1 = 0)

2. (∀x ∈ U ,2x + 3 < 5) 3. (∀x ∈ U , x 2 − 1 = 0)

5. (∃x ∈ U , x 2 − 9 = 0)

Solución:

1. Se tiene que Para x = −2, 2 · −2 + 3 = −1 < 6 Para x = −1, 2 · −1 + 3 = 1 < 6 Para x = 0, 2 · 0 + 1 = 3 < 6 Para x = 1, 2 · 1 + 1 = 5 < 6 la proposición es verdadera. 2. Dado que para x = 1, se tiene que 2 · 1 + 3 = 5 ≮ 5, la proposición es falsa. 3. Dado que para x = −2 se tiene que (−2)2 − 1 = 3 6= 0, la proposición es falsa.

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4. Como para x = 1 se tiene que (1)2 − 1 = 0, la proposición es verdadera. También existía la posibilidad de verificar c...