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Determinación de la densidad de un cuerpo ´
geométrico...

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Medici´on indirecta: Determinaci´on de la densidad de un cuerpo geom´etrico ALARCON ADUVIRI NATANIEL RICARDO APAZA CASTRO CARLA AYLIN CABRERA ALANEZ DYLAN EMILIO TORREZ QUISPE LUZ DIANA FIS 122 LE Grupo 3,LABORATORIO DE FISICA I, INF FCPN UMSA 22 Marzo 2021

Resumen A trav´es de la medida de densidades de diferentes cuerpos, se intenta en este trabajo, el acercamiento al complejo y laborioso protocolo de la metodolog´ıa experimental. Los conceptos de la medida directa o indirecta, calibracion ´ y contrastacion ´ de aparatos, organizacion ´ y gesti o´ n de datos, rango de precision ´ y validez, son puestos de manifiesto mediante esta sencilla realizacion ´ pr´actica.

Abstract Through the measurement of the densities of different bodies, the approach to the complex and laborious protocol of the experimental methodology is attempted in this work. The concepts of direct or indirect measurement, device calibration and contrast, data organization and management, precision range and validity, are revealed through this simple practical implementation.

1

1.

Introducci´on

plicada por 100. La incertidumbre porcentual expresa el margen de error en 1. Mencionar los tipos de medi- porcentaje de la medicion. ´ ci´on que existen. 5. ¿Cu´al es la incertidumbre que R1. Medici o´ n directa, medicion ´ in- mas ´ afecta a las mediciones?. directa y medicion ´ reproducible. Esta R5. La incertidumbre porcentual ya ´ultima medicion ´ no tiene tanta relevanque la incertidumbre relativa es una cia ya que se obtiene siempre el mismo cantidad muy pequena, as´ı que se acosresultado si se logran efectuar comparatumbra dar opcionalmente la incerticiones entre la misma variable y el apadumbre porcentual ya que cuanto m´as rato para medir utilizado. baja sea la incertidumbre porcentual, 2. ¿Cu´ando se dice que una medim´as alta es la precision. ´ ci´on es indirecta?. 6. ¿Por qu´e es importante las meR2. Cuando se obtiene mediante c´alculos, formulas, a partir de otras me- diciones indirectas?. R6. Las mediciones indirectas midiciones directas. Esto se debe a que no den magnitudes diferentes y calcula la siempre se pueden calcular medidas de variables de una manera directa por su magnitud deseada. tamano u otros factores. 7. ¿Lo que indica el fabricante de 3. ¿Cu´al es la diferencia entre me- instrumentos influye a la hora de readici´on directa e indirecta?. lizar la propagaci´on de errores?. R3. Medici´on directa: Se obtiene R7. Si ya que el fabricante casi mediante el uso de un instrumento. siempre nos brinda el valor de la preMedici´on indirecta: Se obtiene cisi ´on final del instrumento. ormulas vinculando una o mediante f´ 8. ¿Ser´a posible extender la prom´as medidas directas. pagaci´on de errores a otros campos 4. ¿Citar los tipos de incertidumdel conocimiento?. bres que se conocen?. R8. Si ya que la propagacion ´ del R4. Incertidumbre absoluta: error es simplemente el proceso de deCuando el margen de error se reporalculo o ta en las mismas unidades que el valor terminar la incerteza de un c´ cualquier otra situacion ´ en otro campo. medido. 9. ¿Porque se dice que la densidad Incertidumbre relativa: Es una es una propiedad intensiva?. medida adimensional, es igual a la inR9. Porque es independiente del tacertidumbre absoluta dividida entre el mano de la muestra, puede ser que un valor medio. Incertidumbre porcentual: Es litro de agua tenga la misma densidad igual a la incertidumbre relativa multi- que un mililitro del mismo. 2

2.

Objetivos

2.1. Objetivos Generales Conocer la variable f´ısica de inter´es a partir de mediciones indirectas.

Figura 3.1. Muestra en la figura un disco psicom´etrico y homog´eneo.

2.2. Objetivo Espec´ıfico Expresar la densidad e incertidumbre al nivel de confianza del 5 %. Obtener el porcentaje de error entre la densidad experimental y la dada teoricamente. ´

Las desviaciones est´andar para el espesor, di´ametro y masa del disco son: q PN 2 i=1 [(ei −)] σN −1,e = (1) N −1 q PN 2 i=1 [(Di −)] (2) σN −1,D = N −1 q PN 2 i=1 [(Mi −)] (3) σN −1,M = N −1

A causa de los errores sistem´aticos en el proceso de medici o´ n, la incertidumbre del valor m´as probable para el espesor, on di´ametro y masa se expresan en funci´ 3. Marco Teorico ´ de las desviaciones est´andares dadas en La teor´ıa de pequenas ˜ muestras sur- las anteriores expresiones, decir: σN −1,e ge a partir de la teor´ıa de grandes E = t( α2 ,v) . √ (4) N muestras. Ambas teor´ıas tienen algo en σ (5) E = t( α2 ,v) . N√−1,D com´un dado que surgen de un univerN so de medidas. La teor´ıa de pequenas ˜ σ E = t( α2 ,v) . N√−1,M (6) N muestras o distribuci´ on estad´ıstica tEn las expresiones (4), (5) y (6) se student hace uso de dos conceptos como el nivel de confidencia deseada y los nota el estad´ıstico T-Student el cual se grados de libertad de la muestra. Con obtiene de una tabla de valores seg´un el dicha informacion ´ se puede conocer el nivel de confidencia deseado y los graon para emplearse pa- dos de libertad de la muestra. Para tal faster de correcci´ ra futuros cargos. Si bien el n´umero de efecto, se ubica en la fila de la tabla de mediciones a efectuarse deben ser sufi- valores, el nivel de confidencia indicacientemente grande (N¡30). Un disco de do; a continuacio´ n, en la primera cocierto radio, espesor y tal que se observa lumna de la tabla en cuestion ´ se sit´ua en la figura 3.1. el grado de libertad seg´un el c´alculo de 3

v = n−1 la, interpolacion ´ de ambos valores da el valor de correccion ´ a ser utilizado para el c´alculo de la incertidumbre. Conocidos los valores m´as probables y sus respectivas incertidumbres, el resultado correcto para la expresi´ on de resultados algebraicos si el caso fuese de mediciones directas, seria:

La dependencia funcional de la denametro, essidad con las variables de di´ pesor y masa esta dad por: ρ = ρ(D, e, M)(13) De forma que el valor m´as probable de la densidad en funcion ´ de las variables mencionadas es: < ρ >= ρ(< D >, < e >, < M > )(14)

e =< e > ±./E(7) D =< D > ±ED (8)

Combinando la incertidumbre del valor m´as probable de la densidad se M =< M > ±EM (9) calcula a partir de la siguiente expresio´ n: Los resultados algebraicos obteniq ∂ dos son importantes para la medicion ´ · E < M >)2 + E = ( ∂ indirecta de la densidad de una moneda ( ∂ · E)2 + ( ∂ · E)2 (16) ∂ u cualquier otro objeto geom´etrico sea ∂ regular o irregular. En ese entendido, reEvaluando las derivadas parciales on de densidad pacurrimos a la definici ´ por separado de la expresi´on (16) y (15) ra un cuerpo geom´etrico sim´etrico y ho- se tiene: mog´eneo como: ∂ ∂ [ 4· = ∂ π·2 · ] = ∂ 4 (10) ρ= M π·2 · V La expresi´on (10) contiene el volumen de un disco circular macizo. En t´erminos del di´ametro el disco circular viene dado por: V =

π 4

· D2 · e(11)

∂ ∂

∂ 4· = ∂ [ π· 2 · ] =

∂ ∂

=

4· π·3 ·

∂ [ 4· ∂ π·2 · ] 4· π·2 ·2

=

Sustituyendo las expresiones (17), (18) y (19) en la (16) se obtiene: Introduciendo la expresi´on (11) en la (10) se obtiene: E = q 4·E 4··E 2 >·E 2 ( π·2 · )2 + (− 4· ±E(21)

4.

Marco Experimental

La figura 4.2.1 muestra la imagen del Tornillo Microm´etrico.

4.1. Introducc´ıon Para la presente experiencia se emplea un Tornillo Micrometrico, balanza digital, un . . . . . . apellidos de la A a la M, consideran la esfera; apellidos de la N a la Z, consideran el disco s´olido. Se procede a medir de manera directa las dimensiones f´ısicas del cuerpo geom´etrico en cuestion. ´ Despu´es, en la balanza digital se determina la masa del cuerpo geom´etrico. Los instrumentos utilizados se muestran en la figura 4.1.1.

Figura 4.1.1 Se observa en la figura una balanza digital y un Tornillo Microm´etrico. 5

1.- Colocamos la pieza a medir sobre los topes. 2.- Desplazamos el tambor y el nonio hasta ajustarse al tamano ˜ de la pieza. Bloqueamos el seguro. 3.- Tomamos la parte de la regla en mil´ımetros mirando el nonio sobre la l´ınea fija, en el ejemplo 9,5 mm. 4.- Tomamos la parte de precisi´on de la medicio´ n, mirando la l´ınea del nonio que coincide con la l´ınea central, en el ejemplo 0,21mm. 5.- La medida ser´a la suma de los anteriores 9,71 mm La forma de obtener la medida usando y la balanza digital:

Figura 4.2.2 Se oberva una balanza digital

de mediciones y al dise n˜ o de experimentos (2da Ed.) Mexico: PrenticeHall Hispanoamericana

e 1.- Se comprueba que la balanza est´ a cero. Para ello, se acciona el bot´ on de encendido y se espera unos segundos. 2.- Se a n˜ ade el objeto que se va a pesar y se deposita en el platillo. El valor que aparece en la balanza es la masa de la sustancia (g). No 1.2.3.4.-

E mm D mm 6,13 15,26 6,14 15,46 6,2 15,2 6,16 15,41

3. D.C Baird (1995). Experimentacion: ´ Una instrucci o´ n a la teor´ıa de mediciones y al diseno de experimentos (2da Ed.) M´exico: PrenticeHall Hispanoamericana. 4. Alvarez, A.C. y Huayta, E.C (2008). Medidas y Errores (3ra Ed.) La Paz - Bolivia Catacora 5. L´opez D´ıaz A. J.M´etodos experimentales para el laboratorio de ´ F´ısica. T´orculo Edicions.

La tabla 4.2.1 muestra los valores obtenidos

5.

2. Alvarez, A. C. y Huayta, E. C. (2008). Medidas y Errores (3ra Ed.) La Paz - Bolivia: Catacora.

Bibliograf´ıa

6. Dpto. de F´ısica de la Materia Condensada. C´alculo de errores en las medidas. Universidad del Pa´ıs Vasco. Leioa (Vizcaya).

1. D.C. Baird (1995). Experimentaci o´ n: Una introduccion ´ a la teor´ıa

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