mekanika teknik E.P,POPOV versi SI.pdf PDF

Preview

Summary

knik {Mechanics of Materials) EDISI KEDUA (Versi SI) .- - 0 ov Professor of Civil Engineering University of California, Berk eley Teks dalam kerjasama dengan : Associate Rese4rch Scientist Lockheed Missiles & Space Ccmpany Sunny vale, Dllifornia Soal-soal dengan bantuan: I A ssociate, T. Y. Lin...

Description

knik {Mechanics of Materials) EDISI KEDUA (Versi SI)

.-

-

0

ov

Professor of Civil Engineering University of California, Berk eley

Teks dalam kerjasama dengan :

Associate Rese4rch Scientist Lockheed Missiles & Space Ccmpany Sunny vale, Dllifornia

Soal-soal dengan bantuan: I

A ssociate, T. Y. Lin International, Inc. San Francisco, California

Alih Bahasa:

M Se. Universitas Krisnadwipayana

Jl. H. Baping Raya No. lOO Ciracas, Jakarta 13740 (Anggota

IKAPn

l'NI\ 1!: 11~1TI OF

< \UFOR\ I\

IJI~ H ... F:I

E'

Cf'li:.LEC& Of t:NC1S££1US"C

D'£PAt\TM£NTOf CIVIL F..N3nf, d1< rollbn • kh TI1~ ~rncr1c:m Sorwtv lnr Jr,lln • nml 1>1Jil'fl.:.tl~ 1 fl'~llrl" Bah:m ull'lt '' ' V9r kJI \llll'rtk:ll t1 n an utllll ~ S I M 1-380-1974 I ntuk ball: n)a. l:tbel n~gka1 taklor konvcrst OJrt satuan lngs:cm k dala11 SI 1~ lap31 dalam h.tlarnan bcbkant buku m

TEGANGAN- BE BAN AKSIAL

7

:

\

Gambar 1.3 Status tegangan yang paling umum yang bekeTja pada sebuah elemen

uraikan ke dalam dua komponen yang sejajar dengan sekumpulan sumbu tertentu. Tanda huruf pada a menunjukkan arah tegangan normal sepanjang sumbu tertentu, di mana tegangan itu sendiri bekerja pada bidang yang tegaklurus pada sumbu yang sama. Tanda huruf yang pertama dari T menunjukkan tegangan geser pada bidang yang tegak. lurus pada sumbu tertentu, sedang tanda huruf yang kedua menentukan arah tegangan geser. Ku bus kecil takberhingga seperti yang terlihat dalam Gambar 1·3, dapat digunakan sebagai dasar untuk perumusan eksak dari persoalan mekanika bahan. Metoda untuk mempelajari sebuah kubus seperti itu (yang menyangkut penulisan suatu persamaan da· lam keseimbangannya dan memastikan bahwa kubus tersebut setelah mengalami deformasi akibat gaya-gaya yang bckerja terhadapnya, akan sama secara geometris dengan kubu s-kubus kersebut disebut "pengujian lelah" (fatigue tests) sedang kurva yang sesuai disebut diagram S-N (stress-number atau tegangan-jumlah). Seperti dapat dilihat dari Gambar 1-15, pada tegangan yang lebih kecil bahan tersebut dapat bertahan terhadap bertambahnya jumlah siklus pemakaian beban. Untuk beberapa bahan, apalagi baja, kurva S-N tersebut pada dasarnya horisontal untuk tegangan rendah. Ini berarti bahwa pada tegangan rendah sua tu penegangan bolak-balik dalam jumlah yang tidak berhingga terjadi sebelum benda tersebut pecah. Keterbatasan tegangan waktu terjadinya hal ini disebut batas ketahanan (endurance limit) dari bahan. Batasan ini, yang tergantung pada tegangan, diukur dalam satuan newton per meter kuadrat, yaitu dalam MPa. Perhatian harus diberikan dalam menanggapi diagram S-N, khususnya mengenai daerah tegangan terpakai. Pada beberapa pengujian dilakukan tegangan bolak-balik yang lengkap (tarik dan tekan); yang lainnya adalah membuat pembebanan terpakai berubahubah dalam cara yang berbeda, seperti dari pembebanan tarik kepada tidak ada pembebanan dan kembali kepada tarik kembali. Sebagian besar dari pengujian pematahan yang dilakukan pada contoh adalah pelenturan.

* Zambrow, J.L., dan Fontana, M.G., "Mechanical Properties, including Fatigue, of Aircraft Alloys at Very Low Temperatures," Trans. ASM, 1949, vol. 41, hal. 498.

24

MEKANIKA TEKNIK

Pada beberapa kasus ada hal lain yang memerlukan perhatian. Seperti bahan yang sedang diproduksi, mereka sering dirol, dipencet dan dipalu. Pada pengecoran, bahanbahan akan mendingin secara tidak merata. Proses ini menyebabkan tegangan dalam yang tinggi yang disebut tegangan residu (residual stresses). Pada kasus-kasus yang disajikan dalam buku ini bahan-bahan tersebut dianggap seluruhnya bebas dari tegangantegangan yang demikian. Fakta-fakta yang dikemukakan di atas, ditambah dengan kemustahilan menerangkan tegangan secara teliti dalam bangunan dan mesin yang rumit, mengharuskan pengurangan hesar tegangan dibandingkan terhadap kekuatan ultimat bahan di dalam suatu pengujian statis. Misalnya, baja biasa akan menahan suatu tegangan ultimat dari tarikan 400 MPa atau lebih. Bagaimana pun, ia berdeformasi agak secara tiba-tiba dan sama sekali pada tingkat tegangan sekitar 250 MPa, sedang tegangan ijin sekitar 150 MPa digunakan untuk pekerjaan bangunan. Tegangan ijin ini selanjutnya berkurang kira-kira 80 MPa untuk bagian-bagian yang diberi pembebanan bolak-balik yang disebabkan oleh karakteristik lellih (fatigue) dari bahan tersebut. Sifat-sifat leiah (fatigue) dari bahan-bahan adalah penting sekali dalam perlengkapan mekanis. Banyak kegagalan bagian-bagian mesin yang bila dicari penyebabnya berhubungan dengan mengabaikan pandangan yang penting ini. (Lihat juga Pasal 2-11 ). Perusahaan-perusahaan besar, seperti juga penguasa-penguasa kota dan negara, menetapkan atau menyarankan* tegangan-tegangan ijin untuk bahan-bahan yang berbeda, tergantung dari pemakaian. Sering tegangan demikian disebut tegangan karet. t Karena menurut Persamaan 1·-1 , tegangan dikalikan luas sama dengan gaya, maka tegangan ijin dan tegangan ultimat dapat diubah dalam bentuk gaya atau beban yang diijinkan dan ultimat yang dapat ditahan oleh sebuah batang. Suatu perbandingan (ratio) yang penting dapat dibuat :

beban ultimat suatu batang beban ijin suatu batang Perbandingan ini disebut faktor keamanan (factor of safety) dan harus selalu lebih besar dari satu. Meskipun tidak biasa dipakai, mungkin sebutan yang paling baik untuk perbandingan ini adalah faktor ketidak-tahuan (factor of ignorance). Faktor ini identik dengan perbandingan antara tegangan ultimat dengan tegangan ijin batang tarik. Untuk batang-batang dengan tegangan yang lebih rumit, definisi yang lama dapat kita sertakan, meskipun yang kita gunakan sebenarnya adalah perbandingan tegangan. Dari pembali.asan yang berikut akan jelas terlihat bahwa keduanya tidaklah sinonim karena tegangan tidak selalu berbanding linier dengan beban.

* Misalnya, lihatlah Manual American Institute of Steel Construction, Building Co~struction Code of any large city, ANC-5 Strength of Aircraft Elements yang diterbitkan oleh Komite Sipil Angkatan Darat-Laut tentang Kriteria Desain Pesawat Terbang, dan seterusnya. t Kata sifat fiber (karet) dalam pengertian di atas dipakai untuk dua alasan. Banyak eksperimen yang asli terbuat dari kayu yang memilikf karakteristik karet. Juga pada beberapa perincian yang menyusul, konsep suatu filamen dan karet yang kontinu, dalam sebuah bagian struktur merupakan sebuah alat yang lebih baik untuk memvisualisasikan tindakannya.

TEGANGAN- BEBAN AKSIAL

25

Pada industri pesawat terbang, istilah faktor keamanan digantikan oleh yang lain yang didefinisikan sebagai beban ultimat beban disain

-1

dan dinamakan sebagai batas keamanan (margin of safety). Pada penggunaan yang normal, ini kembali pula kepada beban ultimat - 1 tegangan maksimum akibat beban disain Suatu pendekatan yang lain ialah menentukan beban* runtuh ultimat sebuah bangunan kemudian membagi dengan faktor beban (load factor) yang dipilih sesuai untuk mendapatkan beban ijin atau beban kerja. Sebaliknya, hila beban kerja telah ditentukan, maka bagian-bagian struktur berpotongan sedemikian rupa hingga beban ultimat bangunan sama dengan perkalian beban kerja dengan faktor beban. Dua konsep disain tegangan ijin dan disain beban ultimat memberikan hasil yang sama untuk sebuah batang tarik atau tekan yang sederhana ataupun untuk struktur yang lebih rumit di mana kegagalan dapat didefinisikan dengan suatu kriteria kekenyalan. Tetapi disain yang sangat berlainan dapat diperoleh dalam banyak kasus di mana sifat bahan yang bukan kenyal ikut diperhitungkan sedang kriteria kegagalan merupakan deformasi · plastis yang berlebihan.

1-8 DISAIN BA TANG DENGAN BEBAN AKSIAL DAN PASAK

Disain batang-batang untuk gaya aksial adalah agak sederhana. Dari Persamaan 1-1 luas yang dibutuhkan sebuah batang adalah

A

p

(1-la)

aijin

Dalam semua soal statis tertentu gaya aksial P ditentukan dari statika sedang penggunaan yang dikehendaki dari bahan tersebut menentukan tegangan ijin. Untuk batang tarik, luas A yang dihitung adalah luas penampang total batang yang diperlukan. Untuk blok tekan yang pendek, Persamaan 1-la dapat pula digunakan, tetapi untuk batang-batang yang ramping, usaha untuk menggunakan persanzaan di atas tidak dapat dilakukan sebP 1unz pembahasan tentang kolnnz (Bab. 13). Kesederhanaan Persamaan 1-1 a tidak a'da hubungannya dengan kepentingannya. Sejumlah besar soal-soal yang memerlukan penggunaannya ban yak terjadi dalam praktek. Soal-soal berikut menggambarkan beberapa penggunaan Persamaan 1-1 a serta juga untuk memperoleh tinjauan tambahan dalam statika.

* Lihat Pasal12-10 untuk

perincian lcbih lanjut.

26

MEKANIKA TEKNIK

CONTOH 1·4

Perkecil ukuran hatang AB dalam Contoh 1-3 dengan menggunakan hahan yang lehih haik seperti haja chroma-vanadium. Tegangan ultimat dari haja ini kira-kira 825 MPa. Gunakanlah faktor keamanan 272. PENYELESAIAN

825/2,5 = 330 MPa. Dari Contoh 1-3 gaya dalam hatang AB: rA. = +11 ,2 kN. Luas yang dihutuhkan: Anet = (11 ,2)/{330.000) = 0,000034 m 2 = 34 mm 2 Amhillah: panjang dan lehar hatang sehagai 6 mm x 6 mm. Luas yang diperoleh adalah 6 x 6 = 36 mm 2 , hingga sedikit melehihi luas yang diperlukan di atas. Banyak ukuran-ukuran lain dari hatang yang dapat kita amhil untuk contoh ini. Dengan dipilihnya luas penampang tersehut, maka tegangan sesungguhnya atau tegangan kerja herada di hawah tegangan ijin: aaktual = {11 ,2)/(36 x 10-6) = 311 MPa. Faktor ke387 a rata-rata

\

A

2)575 a rata-rata

= 1)027 a rata-rata

(c)

(d)

Gambar 2-16 Distribusi tegangan di sekitar gaya terpusat.

kita perhatikan bahwa puncak yang tinggi dari tegangan normal pada suatu irisan yang dekat letaknya dengan gaya terpakai.*·Perhatikan pula bagairnana cepatnya puncak ini merata menjadi suatu distribusi tegangan yang hampir sama pada irisan bawah dengan lebar batang tersebut. Gambaran ini dikenal sebagai azas Saint Venant dari penyebaran cepat tegangan yang terlokalisasikan. Azas ini menyatakan, bahwa efek gaya atau tegangan yang bekerja pada suatu luas yang kecil, boleh diperlakukan sebagai suatu sistem yang setara secara statis pada jarak selebar atau setebal benda, hingga menyebabkan distribusi tegangan dapat mengikuti hukum yang sederhana. Karena itu Persamaan 1-1 hampir dapat berlaku pada jarak selebar bagian bangunan dari titik tangkap sua tu gaya teljJusat. Perhatikan pula bahwa pada setiap tingkat di mana tegangan tersebut di. selidiki secara teliti, tegangan rata-rata masih bisa ditentukan dengan penggunaan Persamaan 1-1. Ha! ini disertai pula dengan syarat persamaan-persamaan statika yang harus selalu dipenuhi. Tidaklah menjadi soal bagaimana ketidakteraturan distribusi tegangan tersebut pada suatu irisan tertentu dari suatu batang, tetapi integral a dA terhadap seluruh luas haruslah sama dengan gaya terpakai. Karena besarnya kesukaran yang harus diatasi dalam menyelesaikan tegangan puncak ("peak") atau lokal tersebut di atas maka dalam praktek dikembangkanlah suatu skema yang tepat. Skema ini secara sederhana terdiri dari perhitungan tegangan dengan persamaan-persamaan elementer (seperti Persamaan 1-1 atau 1-2) dan kemudian mengalikan tegangan yang telah dihitung dengan sebuah angka yang disebut faktor konsentrasi tegangan (stress concentration factor). Pada pelajaran ini angka ini dilambangkan dengan K. Harga faktor kosentrasi tegangan ini hanya tergantung kepada perbandingan geometris dari bagian bangunan. Faktor-faktor ini dapat diperoleh pada literatur teknik dalam pelbagai tabel dan grafikt sebagai suatu fungsi parameter geometris dari bagianbagian bangunan. Dengan menggunakan skema ini, Persamaan 1-1 dapat ditulis sekarang

-* Pada suatu bahan kenyal

murni, tegangan berada pada jarak yang tidak berhingga dari gaya yang

terpusat.

t R.J. Roark and W.C. Young, Formuflls for Stress and Strain (5th ed.). New York: McGraw-Hill, 1975.

REGANGAN -

HUKUM HOOKE- MASALAH-MASALAH BEBAN AKSIAL

57

sebagai berikut :

p

Umax

= KA

(2-11)

di mana K adalah faktor konsentrasi tega~gan. Dari Gambar 2-16( d), pada kedalaman di bawah puncak sebesar seperempat lebar bagian konstruksi tersebut, K = 2,575. Karena itu Umax = 2,575 Urata-rata ,.

3,0 2,8

\

2,6 2,4

\

') -,'")

\

K 2,0 1,8

0

iE E

Liskukuh

Lubang melingkar.

"' ........

.............

'\... ........._

0,1

Lubang melingkar

1---

1,6 1,4 1,2 1,0

.t -- ID ~ - •

+iT(9D~ '\.

d

-r---

Lis kukuh

0,2

0,3

1----

0,4

0,5 rd

0,6

0,7

0,8

Gambar 2-17 Faktor konsentrasi tegangan untuk batang-batang rata di dalam tarik.

Dua faktor konsentrasi tegangan penting lain dari batang yang rata berbeban aksial diperlihatkan dalam Gambar 2-17. * Faktor-faktor yang sesuai yang dapat dibaca dari grafik ini menampilkan suatu perbandingan dari tegangan puncak suatu tegangan'yang sesungguhnya pada irisan bagian struktur netto atau kecil, seperti yang terlihat dalam Gambar 2-18, dengan tegangan rata-rata dari irisan netto tersebut yang diberikan oleh Persamaan 1-1. Suatu konsentrasi tegangan yang sesungguhnya terjadi pula pada kaki

/ rf ma\

-----

I

/

-

L~~--------~­

rr rata-rata 1\ --

Grata-rata (a)

1\=

amax rT

rata-rata

(h)

Gambar 2-18 Pengertian faktor konsentrasi-tegangan K dalam bootuk tegangan.

*

M.M. Frocht, "Factors of Stress Concentration Photoclastically Determined," Trans. ASMF. 1935, volume 57, halaman A-67.

58

MEKANIKA TEKNIK

ulir sekrup, tergantung pada derajat yang tinggi terhadap ketajaman potongan. Untuk ulir sekrup yang biasa faktor konsentrasi tegangan berada di sekitar 2%. Pemakaian rlari Persamaan 2-11 tidak menghadapi kesukaran asal graflk atau tabel K yang tepat telah tersedia. CONTOH 2-6

Hitunglah tegangan maksimum pada batang AB pada ujung yang bercabang dua A dari Contoh 1-3. PENYELESAIAN

Perbandingan geometris jari-jari lubang = 2_ = 0 333 lebar efektif 15 '

Dari Gambar 2-17*: K ~ 2,18 untuk rfd = 0,333. Tegangan rata-rata dari Contoh 1-3. Grata-rata = P/Anetto = 74,7 MPa. Tegangan maksimum, Persamaan 2-11 Omax = Karata-mta = (2,18)(74,7) = 163 MPa. Jawaban ini menunjukkan bahwa sebenarnya kenaikan lokal yang besar pada tegangan terjadi pada lubang ini, yang merupakan suatu kenyataan yang berarti. Dalam meninjau faktor-faktor konsentrasi-tegangan dalam disain, kita haruslah mengingat bahwa penentuan faktor tersebut secara teoretis atau fotoelastis didasarkan pada penggunaan huklim Hooke. Bila bagian struktur secara .berangsur-angsur diberi tegangan di bawah batas ukuran bahan terse but, maka faktor-faktor tersebut di atas akan kehilangan artinya. Umpamanya, tinjaulah sebuah batang rata dari besi lunak, dengan ukuran yang terlihat pada Gambar 2-19, diberikan gaya P yang membesar secara berangsur-angsur. Distribusi tegangan secara geometris akan serupa dengan yang terlihat dalam Gambar 2-18 sampai Omax mencapai titik luluh (yield point) bahan. Tetapi selanjutnya dengan makin besarnya gaya terpakai, Omax tetap sama, di samping banyak deformasi yang dapat terjadi bila bahan tersebut memungkinkannya. Karena itu tegangan pada A tetap "dibekukan" pada harga yang sama. Meskipun demikian, untuk keseimbangan, tegangan yang bekerja pada luas efektif haruslah cukup kuat untuk melawan gaya P yang makin besar. Sebagai hasilnya, distribusi tegangan mulai terlihat seperti garis 1-1 yang terlihat dalam Gambar 2-19; kemudian seperti garis 1-2 dan akhir-

J-P (j

ma\ "'

Gambar 2-19 Si fat batang rata besi lunak bila mendapat tegangan di bawah titik luluh.

a pada titik luluh

* Scsungguhnya

konscntrasi tegangan tcrgantung kcpada kcadaan lubang, apakah kosong, atau bcrisi

huul a tau pasak. IJ•I'"'' huku ini Titik Luluh sama d antara dua potongan A dan B pada sebuah poros, maka rotasi semua elemen harus dijumlahkan. Jadi pernyataan umum untuk sudut pelintir pada suatu irisan dari sebuah poros dari bahan elastis linier adalah (3-8) Momen puntir Tx dan momen inersia kutub fpx dapat berubah-ubah sepanjang sebuah poros. Arah dari sudut pelintir if> berimpit dengan arah dari momen puntir terpakai T.

*

Pcmbahasan tcrdahulu dapat dilakukan dalam bcntuk sctiap -y, yang st'cara ccpat rncnjadi kl'dl hila mcndckati sumhu. Perhedaan hanya ditcmukan· dalam pcnurunan pengamhilan husur Hf) pada prak tertentu p dari pusat dan penggunaan Tp/11, scbagai pcngganti Tc/11' untuk r.

78

MEKANIKA TEKNIK

Persamaan 3-8 berlaku untuk kedua macam poros yang padat dan berlubang, mengikuti pengandaian yang digunakan dalam penurunan tersebut. Sudut cp diukur dalam radian. Perhatikanlah bahwa ada kesamaan yang besar antara Persamaan 3-8 dengan Persamaan 2-3 mengenai deformasi batang berbeban aksial. Kedua contoh soal berikut menunjukkan penggunaan dari Persamaan 3-8.

CONTOH 3-6

Hitunglah rotasi relatif dari irisan B-B terhadap irisan A -A dari poros padat yang terlihat dalam Gambar 3-9 bila suatu momen puntir konstan T diberikan sepanjang bahan lersebut. Momen inersia kutub dari luas penampang JP adalah konstan.

T Gambar 3-9

PENYELESAIAN

Dalam hal ini Tx

= T dan lpx = JP; jadi dari Persamaan 3-8 if>

J B

=

A

Tx dx I G ··~ px

lL 0

T dx I G P

=

T

TG p

lL 0

dx

TL

=

TG p

(3-9)

Persamaan 3-9 ini adalah suatu hubungan yang penting. la dapat digunakan untuk mendisain poros-poros mengenai kekakuan (stiffness) yaitu pembatasan besar pelintiran yang dapat terjadi di sepanjang poros. Pada penggunaan sepcrti itu, T, L dan G adalah besaran-besaran yang diketahui, sedang hasil Persamaan 3-9 akan memberikan harga JP. Ini akan menentukan ukuran poros yang dikehendaki (lihat Persamaan-persamaan 3-2 dan 3-4 ). Perhatikanlah bahwa persyaratan kekakuan JP merupakan parameter yang lebih penting dibandingkan dengan persyaratan kekuatan, Ipjc. Persamaan ini digunakan pada analisis gerak puntiran. Bentuk !PG adalah merupakan kekakuan puntir (torsional stiffness) dari poros tersebut. Penggunaan lain dari Persamaan 3-9 dapat ditemukan dalam laboratorium. Sebuah poros diberikan suatu momen puntir yang diketahui T, maka momen inersia kutub JP dapat dihitung berdasarkan ukuran contoh, sedang su~ut relatif rotasi cp dari dua bidang yang berjarak L dapat pula diukur. Kemudian dengan menggunakan Persamaan 3-9, maka modulus elastisitas geser dalam daerah elastisnya dapat pula dihitung yaitu

G = TL/Ipc/JDengan menggunakan Persamaan 3-9, perhatikanlah bahwa sudut cp harus dinyatakan dalam radian. Juga dengan mcngamati kesamaan antara Persamaan 3-9 dan 2-4, maka D. = PL/ AE, yang dahulunya diturunkan untuk batang-batang bcrbcban aksial.

PUNTIRAN

79

CONTOH 3-7

Perhatikanlah poros berjenjang yang terlihat pada Gambar 3-10, yang ditempelkan pada suatu dinding pada E dan tentukanlah ...