Metode Biseksi (Metode Bagi Dua) PDF

Preview

Summary

Metode Biseksi (Metode Bagi Dua) Metode biseksi termasuk metode tertutup, sehingga diperlukan 2 titik awal sebagai interval yang mengapit akar yang akan dicari. Sebelum lebih lanjut membahas mengenai metode biseksi, teorema nilai antara yang menjadi ide dasar dalam iterasi metode biseksiue Teorema 2...

Description

Metode Biseksi (Metode Bagi Dua)

Metode biseksi termasuk metode tertutup, sehingga diperlukan 2 titik awal sebagai interval yang mengapit akar yang akan dicari. Sebelum lebih lanjut membahas mengenai metode biseksi, teorema nilai antara yang menjadi ide dasar dalam iterasi metode biseksiue

Teorema 2.2.1 Jika

adalah fungsi kontinu pada interval tertutup berlainan tanda sedemikian sehingga

terdapat satu

sehingga berlaku

, dengan

dan

, maka paling tidak .

Sebagai ilustrasi perhatikan beberapa gambar di bawah ini.

(b)

(a)

Gambar 2.7 Grafik dengan f (a). f (b)  0

Dari Gambar 2.2 dapat disimpulkan bahwa jika f (a). f (b)  0 , maka jumlah akar ganjil, paling tidak satu buah. Sedangkan jika f (a). f (b)  0 , maka jumlah akar genap atau tidak akar. Hal ini dapat dilihat pada gambar berikut.

(a)

(b)

(c)

(d)

Gambar 2.8 Grafik dengan f (a). f (b)  0

Misalkan f (x) suatu fungsi kontinu dengan akar r . r adalah akar sebenarnya dan nilai r belum diketahui. Untuk menerapkan metode Biseksi, mula-mula ditentukan dua buah titik, misalkan a dan b, yang nilai fungsinya berlainan tanda sedemikian sehingga f (a). f (b)  0 . Berdasarkan Teorema 2.1.1, maka terdapat paling tidak satu akar pada interval (a, b) . Mula-mula ditetapkan titik c sebagai titik tengah dari interval a, b , yaitu c 

ab . Dengan demikian, 2

terbentuk dua subinterval, yaitu [a, c] dan [c, b] . Jika f (c)  0 , maka c adalah akar dari f (x) . Jika f (c)  0 , maka diambil salah satu dari kedua subinterval yang terbentuk. Subinterval yang diambil untuk iterasi berikutnya adalah subinterval yang memuat akar, sehingga terdapat dua kemungkinan. (a) f (a). f (c)  0 , artinya akar berada pada interval a, c

(b) f (b). f (c)  0 , artinya akar berada pada interval c, b Untuk iterasi berikutnya, interval yang dipilih dinamakan sebagai a dan b yang baru. Jadi pada kasus (a), titik c menjadi titik b dan pada kasus (b), titik c menjadi titik a. Perhatikan ilustrasi berikut.

10

5

0

-5

-10 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Gambar 2.9 Iterasi Metode Biseksi

Untuk memudahkan penjelasan, digunakan indeks untuk menamakan titik yang dihitung. Pada interval awal mula-mula dinamakan [a0 , b0 ] dengan titik tengahnya c0 

a0  b0 . Pada 2

proses selanjutnya, interval yang memuat akar dinamakan a1 ,b1  dan titik tengahnya c1  . Secara umum pada iterasi ke-k akan diperoleh interval ak , bk  dan titik tengahnya

a1  b1 2

ck 

ak  bk , k  0,1,2,... 2

(2.1)

Agar iterasi tidak berjalan terus menerus, maka diperlukan kriteria berhentinya iterasi. Pada metode Biseksi, iterasi akan berhenti apabila bk  ak   , dengan  (eps) merupakan batas error atau nilai ketelitian yang ditentukan.  Algoritma Metode Biseksi

Input:

fungsi yang dicari akarnya , titik awal eps error (nilai ketelitian) Output: akar-akar dari fungsi Langkah-langkah: 1. Hitung 2. Hitung

dan

3. Jika maka jika tidak 4. Jika maka akar = c, selesai 5. kembali ke langkah 1

Contoh. Gunakan metode Biseksi untuk mencari akar dari persamaan x 1  e x

dengan interval awal [1,1.4] dan nilai ketelitian   0.02 . Penyelesaian: Persamaan dapat diubah menjadi x  1  e x  0 , sehingga dapat dimisalkan f ( x)  x  1  e x . Diketahui: a=1 b = 1,4

f ( x)  x  1  e  x

  0.02 Iterasi 1 1. Hitung f (b)  f 1,4  1,4  1  e 1, 4  0,153403036 2. Hitung c 

a  b 1  1,4   1,2 2 2

dan f (c)  f 1,2  1,2  1  e 1, 2  0,101194211 3. Jika f (b). f (c)  0       0 maka a  c 4. Jika (b  a)  eps  1,4  1  0,4  0,02 5. kembali ke langkah 1

Diketahui: a = 1,2 b = 1,4

Iterasi 2 1. Hitung f (b)  f 1,4  1,4  1  e 1, 4  0,153403036 2. Hitung c 

a  b 1,2  1,4   1,3 2 2

dan f (c)  f 1,3  1,3  1  e 1,3  0,027468206 3. Jika f (b). f (c)          0 maka b  c 4. Jika (b  a)  eps  1,4  1,2  0,2  0,02 5. kembali ke langkah 1

Diketahui: a = 1,2 b = 1,3

Table 2.1 k

ak

bk

0

1.0000

1.4000

1

1.2000

2 3

ck

f (bk )

f (c k )

1.2000

0.1534

-0.1000

1.4000

1.3000

0.1534

0.0270

1.2000

1.3000

1.2500

0.0275

-0.0370

1.2500

1.3000

1.2750

0.0275

-0.0044

4

1.2750

1.3000

1.2875

0.0275

0.0115

5

1.2750

1.2875

f (bk ). f (ck )

0 0 0 0 0

action

ac bc ac ac bc

bk  ak 0.4000 0.2000 0.1000 0.0500 0.0250 0.0125

Dari tabel di atas terlihat bahwa iterasi berhenti pada iterasi ke-5, yaitu pada saat b5  a5  0.0125  0.02   . Dengan demikian, akar hampiran dari persamaan x 1  e x adalah r  1.2875 ....