Metode Matematik untuk Teknik dan Sains 2 PDF

Preview

Summary

K.T. Tang Metode Matematik untuk Teknik dan Sains 2 Analisis Vektor, Persamaan Diferensial Biasa dan Transformasi Laplace Pengantar ii Daftar Isi Pengantar i I Analisis Vektor 1 1 Vektor 3 1.1 Vektor Terikat dan Vektor Bebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Operasi Vektor . . . . . . ...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Metode Matematik untuk Teknik dan Sains 2 Muhammad Andyk Maulana

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

Buku Pelengkap FISIKA MAT EMAT IKA PPs Fisika Unnes 2015

Met ode Mat emat ik unt uk Teknik dan Sains 3 Muhammad Andyk Maulana Buku Teori Relat ivit as dan Kosmologi Dr. Eng. Rint o Anugraha, M.Sc. Arip Nurahman

K.T. Tang

Metode Matematik untuk Teknik dan Sains 2 Analisis Vektor, Persamaan Diferensial Biasa dan Transformasi Laplace

Pengantar

ii

Daftar Isi Pengantar

I

i

Analisis Vektor

1 Vektor

1 3

1.1

Vektor Terikat dan Vektor Bebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Operasi Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Perkalian Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Vektor Satuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Penjumlahan dan Pengurangan . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.4

Perkalian Titik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.5

Komponen Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.6

Perkalian Silang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.7

Perkalian Rangkap Tiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Garis dan Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.3.1

Garis Lurus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.3.2

Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.3

1.4

2 Kalkulus Vektor 2.1

35

Turunan Waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1.1

36

Kecepatan dan Percepatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

DAFTAR ISI 2.1.2

Vektor Kecepatan Sudut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2

Turunan dalam Kerangka Acuan non Inersial . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3

Teori Ruang Lengkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.4

Operator Gradien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.4.1

Gradien Fungsi Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.4.2

Interpretasi Geometrik dari Gradien . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.4.3

Integral Garis sebagai Vektor Gradien . . . . . . . . . . . . . .

56

Divergensi Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.5.1

Fluks Medan Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.5.2

Teorema Divergensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.5.3

Persamaan Kontinuitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Curl Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

2.6.1

Teorema Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Operasi Diferensial Vektor Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

2.7.1

Aturan Perkalian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

2.7.2

Turunan Kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Teorema Integral Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

2.8.1

Teorema Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

2.8.2

Integral Lainnya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

Klasifikasi Medan Vektor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

2.9.1

Medan Irrotasional dan Potensial Skalar . . . . . . . . . . . . .

88

2.9.2

Medan Solenoidal dan Potensial Vektor . . . . . . . . . . . . .

91

2.10 Teori Medan Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

2.10.1 Fungsi Koordinat Relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

2 b 2.10.2 Divergensi R/|R| sebagai Fungsi Delta . . . . . . . . . . . . .

97

2.10.3 Teorema Helmholtz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10.4 Persamaan Poisson dan Laplace

100

. . . . . . . . . . . . . . . . .

103

2.10.5 Teorema Keunikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

2.11 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

DAFTAR ISI

v

3 Koordinat Lengkung 3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

111

Koordinat Silinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

3.1.1

Operasi Diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

3.1.2

Elemen Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

Koordinat Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

3.2.1

Operasi Diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

3.2.2

Elemen Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

Sistem Koordinat Lengkung Umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

3.3.1

Permukaan Koordinat dan Kurva Koordinat

. . . . . . . . . .

128

3.3.2

Operasi Diferensial dalam Sistem Koordinat Lengkung . . . . .

131

Koordinat Eliptikal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

3.4.1

Permukaan Koordinat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

3.4.2

Hubungan dengan Koordinat Persegi . . . . . . . . . . . . . . .

139

3.4.3

Koordinat Bola Prolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

Integral Lipat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

3.5.1

Jacobian untuk Integral Lipat Dua . . . . . . . . . . . . . . . .

142

3.5.2

Jacobian untuk Integral Lipat Tiga . . . . . . . . . . . . . . . .

144

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

4 Transformasi Vektor dan Tensor Cartesian 4.1

4.2

153

Sifat-sifat Transformasi Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

4.1.1

Transformasi Vektor Posisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

4.1.2

Persamaan Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

4.1.3

Sudut Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

4.1.4

Sifat-sifat Matriks Rotasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

4.1.5

Definisi Vektor dan Skalar dalam Sifat Transformasi . . . . . .

163

Tensor Cartesian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

4.2.1

Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

4.2.2

Tensor Delta Kronecker dan Tensor Levi Civita . . . . . . . . .

169

4.2.3

Outer Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

vi

DAFTAR ISI

4.3

4.4

II

4.2.4

Kontraksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174

4.2.5

Konvensi Penjumlahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

4.2.6

Medan Vektor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

178

4.2.7

Aturan Pembagian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

4.2.8

Sifat Simetri Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182

4.2.9

Pseudotensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

Contoh Fisika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188

4.3.1

Tensor Momen Inersia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188

4.3.2

Tensor Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

4.3.3

Tensor Strain dan Hukum Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195

Persamaan Diferensial dan Transformasi Laplace

5 Persamaan Diferensial Biasa 5.1

201 203

Persamaan Diferensial Orde Satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

5.1.1

Persamaan dengan Variabel Separabel . . . . . . . . . . . . . .

204

5.1.2

Persamaan Tereduksikan dalam Jenis Separabel . . . . . . . . .

206

5.1.3

Persamaan Diferensial Eksak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207

5.1.4

Faktor Integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu . . . . . . . . . . . . . . . . .

212

5.2.1

Persamaan Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

214

5.3

Persamaan Diferensial Linier Orde Tinggi . . . . . . . . . . . . . . . .

215

5.4

Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Konstan . . . . . .

218

5.4.1

Persamaan Karakteristik dengan Akar Berbeda . . . . . . . . .

219

5.4.2

Persamaan Karakteristik dengan Akar Sama . . . . . . . . . .

219

5.4.3

Persamaan Diferensial dengan Akar Kompleks . . . . . . . . .

220

Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen dengan Koefisien Konstan

224

5.5.1

Metode Koefisien Tak Tentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

224

5.5.2

Penggunaan Eksponenial Kompleks . . . . . . . . . . . . . . .

231

5.2

5.5

DAFTAR ISI

vii

5.5.3

Persamaan Diferensial Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . .

232

5.5.4

Variasi Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

235

Getaran Mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

238

5.6.1

Getaran Bebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

238

5.6.2

Getaran Bebas dengan Redaman Viskos . . . . . . . . . . . . .

240

5.6.3

Getaran Bebas dengan Redaman Coloumb . . . . . . . . . . . .

244

5.6.4

Getaran Terpaksa tanpa Redaman . . . . . . . . . . . . . . . .

247

5.6.5

Getaran Terpaksa dengan Redaman Viskos . . . . . . . . . . .

249

Rangkaian Listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

252

5.7.1

Penghitungan Analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253

5.7.2

Solusi Kompleks dan Impedansi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

255

Sistem Persamaan Diferensial Linier Simultan . . . . . . . . . . . . . .

256

5.8.1

Reduksi Sistem menjadi Sebuah Persamaan . . . . . . . . . . .

257

5.8.2

Aturan Cramer untuk Persamaan Diferensial Simultan . . . . .

258

5.8.3

Persamaan Simultan sebagai Persoalan Nilai Eigen . . . . . . .

260

5.8.4

Transformasi Persamaan Orde n menjadi Sistem n Persamaan Orde Pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262

Osilator Tergandeng dan Moda Normal . . . . . . . . . . . . .

263

Metode Lain untuk Persamaan Diferensial . . . . . . . . . . . . . . . .

267

5.10 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

5.6

5.7

5.8

5.8.5 5.9

6 Transformasi Laplace 6.1

6.2

273

Definisi dan Sifat-sifat Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . .

273

6.1.1

Transformasi Laplace - Sebuah Operator Linier . . . . . . . . .

273

6.1.2

Transformasi Laplace untuk Turunan

. . . . . . . . . . . . . .

276

6.1.3

Substitusi: Pergeseran s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

277

6.1.4

Turunan sebuah Transformasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

278

6.1.5

Tabel Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

278

Solusi Persamaan Diferensial dengan Transformasi Laplace

. . . . . .

280

6.2.1

Invers Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

280

6.2.2

Menyelesaikan Persamaan Diferensial . . . . . . . . . . . . . . .

290

viii 6.3

DAFTAR ISI Transformasi Laplace Fungsi Impulsif dan Fungsi Tangga . . . . . . .

293

6.3.1

Fungsi Delta Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

293

6.3.2

Fungsi Tangga Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

296

6.4

Persamaan Diferensial dengan Fungsi Gaya Diskontinu . . . . . . . . .

299

6.5

Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

304

6.5.1

Integral Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

305

6.5.2

Teorema Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

306

Sifat-sifat Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309

6.6.1

Transformasi Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309

6.6.2

Integrasi Transformasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310

6.6.3

Penskalaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311

6.6.4

Transformasi Laplace Fungsi Periodik . . . . . . . . . . . . . .

312

6.6.5

Invers Transformasi Laplace Melibatkan Fungsi Periodik . . . .

314

6.6.6

Transformasi Laplace dan Fungsi Gamma . . . . . . . . . . . .

315

6.7

Ringkasan Operasi Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . .

316

6.8

Aplikasi Tambahan Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . .

318

6.8.1

Menghitung Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

318

6.8.2

Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel . . . . . . . .

321

6.8.3

Persamaan Integral dan Integrodiferensial . . . . . . . . . . . .

323

Inversi dengan Integral Kontur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

325

6.10 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328

6.6

6.9

Bagian I

Analisis Vektor

1

Vektor Vektor digunakan ketika besar dan arah dari beberapa besaran fisika diperlukan. Contoh besaran tersebut adalah kecepatan, percepatan, gaya, medan listrik dan magnetik. Sebuah besaran yang hanya ditandai oleh besarnya dikenal sebagai skalar. Massa dan suhu adalah contoh besaran skalar. Sebuah vektor ditandai oleh besar dan arah, tetapi tidak semua besaran yang memiliki besar dan arah adalah vektor. Misalnya, dalam mempelajari tentang kekuatan bahan, stress (tekanan) memiliki besar dan arah. Tetapi stress adalah tensor rank dua, yang akan kita pelajari pada bab selanjutnya. Vektor bisa dianalisis baik dengan geometri atau dengan aljabar. Pendekatan aljabar berpusat pada sifat-sifat transformasi vektor. Hal ini memungkinkan generalisasi dan mengarah ke analisis tensor. Oleh karena itu vektor fundamental dan penting dalam banyak persoalan matematika fisika. Namun, untuk alasan pedagogik kita akan mulai dengan vektor geometrik, karena lebih mudah untuk divisualisasikan. Selain itu, sebagian besar pembaca mungkin sudah memiliki beberapa pengetahuan tentang pendekatan analitik vektor secara grafik. Sebuah vektor biasanya ditunjukkan dengan huruf tebal, seperti V, atau panah → − di atas V . Walaupun ada cara lain untuk mengekspresikan vektor, apapun konvensi yang Anda pilih, sangat penting bahwa vektor dan skalar besaran yang dinyatakan oleh simbol yang berbeda. Vektor secara grafik diwakili oleh segmen garis berarah. Panjang segmen sebanding dengan besarnya kuantitas vektor dengan skala yang sesuai. Arah vektor ditandai dengan sebuah mata panah di salah satu ujung segmen, yang dikenal sebagai ujung vektor. Ujung lainnya disebut ekor. Besarnya vektor disebut norm vektor. Kita akan menjumpai, huruf V digunakan untuk menyatakan norm V. Kadang-kadang, norm V juga diwakili oleh |V| atau ||V||.

4

1. Vektor

Gambar 1.1: Vektor terikat yang merepresentasikan gaya yang bekerja pada balok tidak bisa dipindahkan sejajar dengan dirinya sendiri.

1.1

Vektor ...