PENGANTAR PENGANTAR PENGANTAR PENGANTAR FISIKA MATEMATIK FISIKA MATEMATIK FISIKA MATEMATIK FISIKA MATEMATIK PDF

Preview

Summary

z P (a, b, c) r θ c O y φ a b x PRAKATA Saat ini buku yang membahas topik Pengantar Fisika Matematik masih jarang dijumpai. Padahal, topik tersebut merupakan salah satu topik penting dalam menggunakan matematika untuk menyelesaikan problem-problem fisika. Buku ini ditulis dengan maksud untuk menamba...

Description

z

P (a, b, c) r

θ O

c y

φ a b

x

PRAKATA Saat ini buku yang membahas topik Pengantar Fisika Matematik masih jarang dijumpai. Padahal, topik tersebut merupakan salah satu topik penting dalam menggunakan matematika untuk menyelesaikan problem-problem fisika. Buku ini ditulis dengan maksud untuk menambah perbendaharaan literatur dalam bidang ilmu fisika, khususnya tentang Fisika Matematik. Bahan buku ini sebagian diambil dari pengalaman kami dalam mengampu matakuliah Pengantar Fisika Matematik di Jurusan Fisika FMIPA UGM, ditambah dari sejumlah buku teks penting berbahasa asing. Meski demikian, buku ini tidak saja terbatas hanya pada pengguna di Jurusan Fisika FMIPA UGM saja, namun dapat pula sebagai salah satu referensi mahasiswa dan dosen bagi matakuliah sejenis di Perguruan Tinggi lain. Buku ini sangat penting bagi mahasiswa tahun pertama sebagai dasar-dasar matematika untuk mempelajari fisika. Bagi khalayak umum, buku ini juga dapat menjadi referensi mengingat tingkat kesulitannya disesuaikan dengan tingkat kesulitan bagi mahasiswa tahun pertama. Penyajian buku ini dimulai dari pembahasan bilangan kompleks yang merupakan perluasan dari konsep bilangan real. Selanjutnya ditelaah aljabar vektor, matriks, determinan dan persamaan linear. Pada bab empat disajikan limit, fungsi dan turunan, diteruskan dengan bab lima tentang integral. Pada bab enam diberikan konsep turunan parsial. Pada setiap bab, cukup banyak diberikan contoh soal serta soal latihan itu sendiri. Banyaknya contoh soal yang disajikan akan memudahkan pembaca lebih memahami konsep setiap bab. Kami menyarankan agar soal-soal latihan yang terdapat pada akhir setiap Bab dicoba untuk diselesaikan, agar pemahaman tentang isi buku ini dapat lebih sempurna. Melalui kesempatan ini, kami ingin mengucapkan terima kasih kepada segenap pihak yang tidak dapat disebutkan namanya satu persatu. Selanjutnya, meski telah disiapkan cukup lama, kami menyadari bahwa buku ini masih memiliki banyak kekurangan. Barangkali pula di sana sini masih terdapat salah i

tulis dan ketik. Karena itu kami dengan tangan terbuka sangat mengharap masukan positif dari para pembaca, dalam rangka penyempurnaan buku ini. Akhirnya kami berharap, semoga buku ini dapat bermanfaat bagi pengembangan fisika di masa depan.

Yogyakarta, Mei 2011 Rinto Anugraha NQZ

ii

DAFTAR ISI PRAKATA

i

DAFTAR ISI

iii

BAB I

1 4 10 14 22 22 23 26 28

BILANGAN KOMPLEKS Beberapa Sifat Aljabar Bilangan Kompleks Perkalian dan Pemangkatan, Rumus de Moivre dan Euler Rumus Binomium Newton Penerapan Bilangan Kompleks Mekanika Osilator Selaras Teredam Masalah Kelistrikan Optika

BAB II ALJABAR VEKTOR Sifat-Sifat Skalar dan Vektor Besar Vektor Sifat-Sifat Ruang Vektor Penjumlahan Vektor Perkalian Antara Vektor Perkalian Skalar Perkalian Vektor/Silang Delta dan Epsilon Kronecker Garis dan Bidang Bebas dan Gayut Linear

32 32 33 33 34 36 36 40 42 48 54

BAB III MATRIKS, DETERMINAN DAN PERSAMAAN LINEAR Operasi Matriks Rotasi Sumbu-sumbu Koordinat Determinan Rumus Cramer

59 60 63 65 70

BAB IV LIMIT, FUNGSI DAN TURUNAN Fungsi Macam−macam Fungsi Kontinu Limit Fungsi Sifat−sifat Limit Fungsi Turunan Fungsi Deret Taylor dan Deret MacLaurin Penerapan Turunan

81 81 84 92 92 94 98 101

BAB V INTEGRAL Integral sebagai Inversi Penurunan (Anti Derivatif) Rumus-Rumus Integral Dasar dan Metode Pengintegralan

106 106 106

iii

Pengintegralan Parsial Substitusi Variabel Metode Pecahan Parsial Integral Tertentu (Integral Riemann Penerapan Integral Tertentu Mencari Luas di bawah Benda Putar Volume Benda Putar Menentukan Panjang Busur Kurva Fungsi Gamma Fungsi Beta

108 108 109 113 116 116 117 118 120 125

BAB VI FUNGSI VARIABEL BANYAK : TURUNAN PARSIAL Turunan Parsial Diferensial Total Dalil Rantai Diferensial Implisit Pengubahan Variabel Transformasi Legendre Ekstremum Fungsi Dua Variabel

132 132 134 138 139 144 147 150

DAFTAR PUSTAKA

155

iv

Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________

1

BAB I BILANGAN KOMPLEKS Konsep bilangan kompleks muncul untuk mengakomodasi nilai akar suatu bilangan negatif. Ditinjau persamaan kuadrat dalam z berikut :

az 2 + bz + c = 0 dengan a, b dan c variabel bebas. Penyelesaian persamaan kuadrat di atas adalah z1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac . 2a

Jika diskriminan D = b 2 − 4ac bernilai negatif, maka dua nilai z mengandung akar bilangan negatif. Karena itulah didefinisikan nilai

− 1 = i, sehingga i 2 = −1 . Selanjutnya − 16 = 4i ,

− 3 = i 3 , i3 = −i

adalah bilangan imaginer, tetapi i2 = −1,

− 2 − 8 = i 2 .i 8 = −4

adalah bilangan real. Untuk contoh persamaan kuadrat berikut :

z 2 − 2z + 2 = 0 maka akar-akar penyelesaiannya adalah :

z=

2 ± 4 − 8 2 ± 2i = =1± i . 2 2

Istilah bilangan kompleks digunakan untuk menunjukkan set bilangan real, imaginer atau gabungan keduanya, seperti 1 ± i . Maka i + 5, 17i, 4 mewakili contoh-contoh bilangan kompleks. Bilangan kompleks dirumuskan sebagai

z = x + iy

_______________________________________________________________________________

Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________

2

yang merupakan gabungan bilangan real x dan bilangan imaginer iy. Besaran x, y dan

x 2 + y 2 berturut-turut dinamakan bagian real, bagian imaginer dan modulus

bilangan kompleks z yang dituliskan sebagai x = Re(z ) y = Im(z ) dan

z = x2 + y 2 . Dengan konsep tersebut, orang dapat menyatakan bentuk-bentuk seperti sin i, exp(iπ), ln(i +1) dalam bentuk bilangan kompleks x +iy. Sebuah bilangan kompleks seperti 5 + 3i adalah jumlah dari dua suku. Suku real (tidak mengandung i) disebut bagian real dari bilangan kompleks. Koefisien i dalam suku yang lain disebut bagian imaginer dari bilangan kompleks. Dalam bilangan 5 + 3i, 5 adalah bagian real, sementara 3 adalah bagian imaginer. Penting untuk dicatat bahwa bagian imaginer dari suatu bilangan kompleks, bukan imaginer tetapi real. Salah satu dari bagian real atau bagian imeginer dari suatu bilangan kompleks dapat bernilai nol. Jika bagian real bernilai nol, bilangan kompleks tersebut murni imaginer. Bagian real yang nol dapat diabaikan, sehingga misalnya 0 + 5i cukup ditulis 5i. Jika bagian imaginer dari bilangan kompleks tersebut lenyap, maka bilangan kompleks tersebut murni real. Sehingga misalnya, 7 + 0i cukup ditulis dengan 7. Dalam aljabar, sebuah bilangan kompleks biasanya ditulis sebagai suatu jumlahan, seperti 5 + 3i. Bentuk ini dapat pula ditulis dalam bentuk (5, 3). Jadi kalau kita ingin menjumlahkan antara dua buah bilangan kompleks, misalnya 5 + 3i dengan 4 + 2i, kita dapat menuliskannya dalam bentuk (5 + 3i) + (4 + 2i) = 9 + 5i atau dalam bentuk (5, 3) + (4, 2) = (9, 5). Ketika kita mengenal konsep ini, mungkin timbul pertanyaan, apakah arti fisis dari sin i , ln(1 + i ) dan sebagainya. Akan kita lihat nanti bahwa bilangan kompleks memainkan peran dalam sains, selain tentu saja matematika. _______________________________________________________________________________

Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________

3

Dalam fisika, konsep bilangan kompleks sangat penting untuk dipelajari. Dalam mekanika kuantum, muncul konsep ini, misalnya untuk menentukan kaedah komutasi antara operator koordinat dan momentum. Kaedah komutasi yang terkenal dalam mekanika kuantum antara kedua operator tersebut dituliskan sebagai [ xˆ, pˆ x ] = iℏ . Dalam pembahasan mekanika, kita juga dapat mengimplementasikan konsep bilangan kompleks, misalnya penyajian vektor posisi partikel dalam dua dimensi, dimana posisi x dan y berturut-turut merupakan bagian real dan imaginer dari vektor posisi z. Selengkapnya hal ini akan disinggung dalam pasal penerapan bilangan kompleks dalam fisika. Bilangan kompleks z dapat disajikan sebagai suatu titik pada bidang Argand berkoordinat Cartesan dengan sumbu X dan sumbu Y berturut-turut sebagai sumbu real dan imaginer (Gb. 1). Anak panah dari titik O ke titik z disebut fasor. Panjang fasor (r) menampilkan besar / modulus z . Fase bilangan kompleks z adalah sudut antara sumbu real (sumbu X) dengan fasor yang dilambangkan dengan φ . Dari Gb. 1.1 tampak bahwa y

r

y

φ

O

x x

Gb. 1.1 Bidang Argand x = r cos φ y = r sin φ dan

φ = arctan ( y / x) sehingga _______________________________________________________________________________

Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________

4

z = r (cos φ + i sin φ ) .

Contoh soal : Nyatakan bentuk z = 2 + 2i 3 dalam koordinat polar.

Jawab : x = 2, y = 2 3 sehingga r = 4 + 12 = 4 dan

φ = arctan(2 3 / 2) = π / 3 sehingga

z = 4[cos(π / 3) + i sin(π / 3)] . Contoh soal : Tuliskan z = −1 −i dalam bentuk polar

Jawab : Disini kita memiliki x = −1, y = −1 sehingga r =

2 . Terdapat tak terhingga

banyaknya nilai θ yaitu

θ=

5π + 2 nπ 4

dengan n adalah sembarang bilangan bulat. Nilai sudut θ = 5π / 4 seringkali disebut sudut utama dari bilangan kompleks z = −1 −i. Jadi z dapat dituliskan sebagai

z = −1 − i = 2 [cos(5π / 4 + 2πn ) + i sin (5π / 4 + 2πn )] =

2 (cos 5π / 4 + i sin 5π / 4 ) = 2 exp(5iπ / 4) .

Bentuk di atas dapat pula ditulis sebagai

z = 2 (cos 2250 + i sin 2250 ) .

1.

Beberapa sifat aljabar bilangan kompleks

1.

Dua bilangan kompleks dikatakan sama :

z1 = z 2 _______________________________________________________________________________

Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________

5

jika dan hanya jika keduanya memiliki bagian real yang sama :

Re ( z1 ) = Re ( z 2 ) , demikian pula dengan bagian imaginernya :

Im ( z1 ) = Im ( z 2 ) . 2.

Penjumlahan dua bilangan kompleks z1 = x1 + iy1 dan z 2 = x2 + iy 2 juga menghasilkan bentuk bilangan kompleks

z = z1 + z 2 = ( x1 + x2 ) + i( y1 + y 2 ) . Demikian pula untuk pengurangan berlaku

z = z1 − z 2 = ( x1 − x2 ) + i( y1 − y 2 ) . 3.

Penjumlahan bilangan kompleks memenuhi kaedah ketaksamaan segitiga yaitu z1 − z 2

4.

≤

z1 + z 2

≤

z1 + z 2

Himpunan C bilangan kompleks membentuk suatu grup terhadap penjumlahan, karena : a.

Himpunan tersebut bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan, yaitu untuk setiap pasangan z1 , z 2 ∈C maka z = z1 + z 2 ∈C .

b.

Bersifat asosiatif terhadap kaedah penjumlahan yaitu ( z1 + z 2 ) + z 3 = z1 + ( z 2 + z 3 ) = z1 + z 2 + z3

c.

Terdapat unsur netral yaitu 0 ∈ C yang memenuhi z+0=0+z=z

d.

Untuk setiap z ∈ C terdapat inversinya terhadap kaedah penjumlahan (disebut −z) sedemikian sehingga berlaku −z ∈ C dan z + (−z) = z − z = 0

5.

Karena berlaku z1 + z 2 = z 2 + z1 maka grup tersebut bersifat komutatif (Abelan) terhadap penjumlahan. Didefinisikan konjugat kompleks untuk bilangan kompleks z = x + iy

dengan lambang z* = x − iy sehingga _______________________________________________________________________________

Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________

6

Re z* = Re z ,

Im z* = − Im z ,

x = Re z = 12 ( z + z*), dan

y = Im z = 2i ( z * − z ) Konjugat kompleks ini dapat langsung diperoleh dengan menukar tanda +i menjadi −i. Sebagai contoh konjugat kompleks dari 2 + 3i adalah 2 − 3i. Konjugat kompleks ini merupakan pencerminan bilangan kompleks terhadap sumbu x.

Menyederhanakan ke bentuk x + iy Sembarang bilangan kompleks dapat ditulis dalam bentuk x + iy. Untuk menjumlahkan, mengurangi dan mengalikan bilangan kompleks, perlu diingat bahwa mereka mengikuti aturan aljabar biasa serta i 2 = −1 . Contoh : (1 + i ) 2 = 1 + 2i + i 2 = 2i . Untuk membagi sebuah bilangan kompleks dengan lainnya, caranya masingmasing pembilang dan penyebut dikalikan dengan kompleks konjugat penyebut sehingga penyebut menjadi real.

Contoh : 2 + i 2 + i 3 + i 5 + 5i 1 1 = + i. = = 3−i 3−i 3+i 10 2 2 Terkadang lebih mudah menghitung ketika disajikan dalam bentuk polar.

Contoh : Tuliskan bentuk 1 2(cos 20 0 + i sin 20 0 ) dalam bentuk x + iy . Jawab : Karena 20 0 = 0,349 radian maka _______________________________________________________________________________

Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________

7

1 2(cos 20 + i sin 20 ) 0

0

=

1 1 = = 0,5e −0,349i = 0 , 349 i 2(cos 0,349 + i sin 0,349) 2e

0,5[cos 0,349 − i sin 0,349] = 0,47 − 0,17i.

Contoh soal : Tunjukkan z1 = 1 + i 3 dan z 2 = 2 − 2i 3 memenuhi kaedah ketidaksamaan

segitiga.

Jawab : z1 = 1 + 3 = 2 , z 2 = 4 + 12 = 4 , z1 + z 2 = 3 − i 3 , dan z1 + z 2 = 9 + 3 = 2 3 sehingga 2 − 4 = 2 < 2 3 ω 02 , diperoleh dua penyelesaian yang saling bebas. Penyelesaian

umumnya berbentuk x = c1eα1t + c2eα 2 t

β 2 > ω 02 .

Penyelesaian ini dinamakan teredam lewat (overdamped). Penyelesaian di atas akan unik jika koordinat dan kecepatan partikel pada suatu t tertentu diketahui, yang dapat diambil untuk t = 0. Jadi tetapan c1 dan c2 dapat ditentukan melalui persamaan-persamaan x0 = c1 + c2 dan v0 = α1c1 + α 2c2 . II.

Jika β 2 = ω 02 , maka

α1 = α 2 = − β yang menghasilkan penyelesaian yang berbentuk eksponensial, yaitu

x1 = exp(− β t ) _______________________________________________________________________________

Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________

25

Penyelesaian yang lain adalah

x2 = t exp(− β t ) sehingga penyelesaian umum untuk kasus β 2 = ω 02 adalah

x = (c1 + c2t ) exp(− β t ) . Penyelesaian di atas dinamakan dengan teredam kritis (critical damped). III.

Adapun untuk redaman yang kecil, sehingga β 2 < ω 02 , bentuk didalam akar

menjadi bernilai negatif, sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk

α1 = − β + iω1 dan

α 2 = − β − iω1 dengan

ω1 = ω 02 − β 2 . Penyelesaian umum untuk kasus ini adalah

x = exp(− β t )(c1 exp(iω1t ) + c2 exp(−iω1t ) ) . Bentuk di atas dapat diolah menjadi

x = exp(− β t )(a1 sin(ω1t ) + a2 cos(ω1t ) ) dengan

a1 = i (c1 − c2 ) dan

a2 = c1 + c2 . Karena x real, c1 dan c2 adalah bilangan kompleks yang dihubungkan melalui persamaan

c2 * = c1 . Tetapan a1 dan a2 bernilai real. Bentuk lain penyelesaian di atas adalah

x = A exp(− β t ) cos(ω1t − δ ) dengan tetapan A dan δ diberikan oleh A = a12 + a22 _______________________________________________________________________________

Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________

26

dan tan δ =

a1 . a2

Penyelesaian di atas dinamakan teredam meluruh.

Masalah Kelistrikan Dalam teori arus listrik, jika VR adalah tegangan antara ujung-ujung hambatan R, dan I adalah arus yang mengalir pada hambatan tersebut maka berlaku hukum Ohm yang dirumuskan sebagai

VR = I R Selain itu, kaitan antara arus I dan tegangan VL pada sebuah induktansi L adalah VL = L

dI dt

sedangkan arus dan tegangan yang melalui sebuah kapasitor berkapasitansi C dihubungkan melalui persamaan dVC I = dt C

Ditinjau sebuah rangkaian seri dengan tegangan bolak-balik V dan arus bolak-balik I yang disa-jikan pada gambar di samping

ini. V dan I bervariasi terhadap waktu yang diberikan oleh persamaan I = I 0 sin ω t

Dengan I diberikan pada persamaan di atas, tegangan yang melalui R, L dan C adalah VR = RI 0 sin ω t VL = ωLI 0 cos ω t

dan VC = −

1 I 0 cos ω t ωC

sehingga tegangan total bernilai _______________________________________________________________________________

Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________

27

V = VR + VL + VC . Ada metode lain yang dapat digunakan untuk menelaah kasus di atas dengan menggunakan konsep bilangan kompleks. Bentuk persamaan arus yang bervariasi terhadap waktu dapat ditulis sebagai

I = I 0 e iω t dimana kuat arus secara fisis diberikan oleh bagian imaginer I dalam persamaan di atas. Jadi

VL = RI 0 e iω t VL = iωL I 0eiω t = iωL I VC =

1 I I 0 e iω t = iω C iω C

sehingga

  1   I . V = VR + VL + VC =  R + i ω L − C ω    Dari persamaan terakhir didefinisikan besaran impedansi (kompleks) sebagai

 1  . Z = R + i  ω L − ω C   Karena itu tegangan V dapat ditulis sebagai V = ZI yang mana penampilannya nampak seperti hukum Ohm. Besar Z dapat dicari dengan menentukan modulusnya sebagai

Z = R 2 + ( X L − X C )2 dengan

XL =ω L dan XC =

1 ωC

berturut-turut adalah reaktansi induktif dan reaktansi kapasitif. Nilai Z akan minimum jika _______________________________________________________________________________

Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________

28

X L = XC yang berarti

ω=

1 . LC

Keadaan ini disebut dengan keadaan resonansi. Pada keadaan ini bentuk Z tidak mengandung bagian kompleks.

Optika Dalam optik, orang sering menggabungkan sejumlah gelombang cahaya (yang dapat diwakili oleh fungsi sinus) Misalkan terdapat n gelombang yang dapat dituliskan sebagai sin(ωt ), sin(ωt + δ ), sin(ωt + 2δ ), ... , sin(ωt + (n − 1)δ ) Jika orang ingin menjumlahkan seluruh gelombang tersebut,langkah termudah adalah dengan menyatakan fungsi sinus tersebut, langkah termudah adalah dengan menyatakan fungsi sinus tersebut sebagai bagian imaginer dari suatu bilngan kompleks, sehingga n gelombang tersebut dapat dinyatakan sebagai bagian imaginer dari deret bilangan kompleks berikut :

eiωt + eiωt + δ + eiωt + 2δ + ... + eiωt + ( n −1)δ . Deret di atas adalah deret geometri dengan suku pertama eiωt dan rasio eiδ . Dengan menggunakan rumus jumlah untuk n suku pertama deret geometri :

a (1 − r n ) Sn = 1− r dengan a dan r berturut-turut suku pertama dan rasio deret, deret bilangan kompleks di atas dapat dinyatakan sebagai

eiωt (1 − einδ ) . 1 − e iδ Dengan menggunakan bentuk 1 − einδ = einδ / 2 (e −inδ / 2 − einδ / 2 ) = −2ieinδ / 2 sin(nδ / 2) dan 1 − eiδ = eiδ / 2 (e −iδ / 2 − eiδ / 2 ) = −2ieiδ / 2 sin(δ / 2) _______________________________________________________________________________

Bilangan Kompleks _________________________________________________________________________________________

29

maka jumlah deret di atas dapat dituliskan ei (ωt +[ n −1]δ / 2)

sin(nδ / 2) . sin(δ / ...