Pengantar Fisika Statistik untuk Mahasiswa PDF

Preview

Summary

Pengantar Fisika Statistik untuk Mahasiswa (Dilengkapi contoh soal) Dr.Eng. Mikrajuddin Abdullah, M.Si. Program Studi Fisika- FMIPA Institut Teknologi Bandung 2007 Untuk istriku Ati, dan anak-anakku Nisa, Fathan, dan Ardi Kata Pengantar Buku ini disusun untuk membantu mahasiswa memahami fisika stati...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Pengantar Fisika Statistik untuk Mahasiswa Salma Afwanisa

Related papers Pengant ar Fisika St at ist ik - Mikrajuddin Sulist iyawat i Dewi Kiniasih

Cat at an Kuliah Fisika St at ist ik Sit i Nur Khot imah Fisika St at ist ik unt uk Mahasiswa MIPA prima fit ra

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

Pengantar Fisika Statistik untuk Mahasiswa (Dilengkapi contoh soal)

Dr.Eng. Mikrajuddin Abdullah, M.Si.

Program Studi Fisika- FMIPA Institut Teknologi Bandung 2007

Untuk istriku Ati, dan anak-anakku Nisa, Fathan, dan Ardi

Kata Pengantar

Buku ini disusun untuk membantu mahasiswa memahami fisika statistik lebih mudah. Uraian diberikan serinci mungkin, tahap demi tahap, sehingga mahasiwa dapat mengikutinya dengan mudah. Mata kuliah Fisika Statistik sampai sekarang masih menjadi momok bagi sebagaian besar mahasiswa. Ketidaktersediaan buku yang menjelaskan materi secara rinci tampaknya menjadi salah satu penyebab terjadinya “bottle neck” keterlambatan kelulusan mahasiswa akibat gagal dalam menyelesaikan mata kuliah tersebut. Buku ini hanya membahas dasar-dasar Fisika Statistik untuk memberikan bekal yang memadai bagi mahasiswa untuk memamahi fisika statistik lanjut. Masih banyak kekurangan yang muncul di sana-sini. Oleh karena kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat diharapkan untuk menyempurnakan isi buku ini. Penulis sangat berterima kasih kepada rekan-rekan sesama dosen di Program Studi Fisika-FMIPA ITB atas dukungan yang sangat membatu penulis menyelesaikan buku ini. Terima kasih kepada para mahasiswa doktor di Program Studi Fisika (Imam Taufiq, Fourier Dzar Eljabbar Latief, dan Estevanus K. Huliselan) yang telah membantu mengumpulkan soal-soal yang sangat berguna untuk melengkapi isi buku ini. Terima kasih pula kepada para mahasiswa bimbingan penulis yang banyak membantu dalam banyak hal. Bandung Juli 2007

Mikrajuddin Abdullah

i

Daftar Isi

Bab 1 Pendahuluan

1

Bab 2 Statistik Maxwell-Boltzmann

4

2.1 Konfigurasi penyusunan sistem klasik

4

2.2 Konfigurasi dengan probabilitas maksimum

13

2.3 Harga rata-rata

16

2.4 Benarkan peluang konfigurasi maksimum sangat besar

19

Bab 3 Ruang Fasa

22

3.1 Definisi ruang fasa

22

3.2 Elemen volum ruang fasa

23

3.3 Energi kinetik

24

3.4 N system dalam ruang fasa

25

3.5 Menghitung jumlah keadaan

27

3.6 Menentukan ns

30

3.7 Volum elemen ruang fasa dinyatakan dalam momentum dan laju Bab 4 Menentukan Parameter Ststistik 4.1 Menentukan parameter β

4.2 Bagaimana kenergantungan β pada suhu? 4.3 Menentukan β dari energi rata-rata 4.4 Menentukan parameter α

Bab 5 Statistik Bose-Einstein 5.1. Sifat dasar boson

31 33 33 37 40 43 46 46

ii

5.2 Konfigurasi boson

47

5.3 Konfigurasi maksimum

51

5.4 Parameter α untuk foton dan fonon

55

Bab 6 Statistik Fermi-Dirac

56

Bab 7 Rapat Keadaan Sistem Kuantum

64

7.1 Ketidakpastian Heisenberg

64

7.2 Koordinat spasial satu dimensi

65

7.3 Koordinat spasial dua dimensi

67

7.4 Koordinat spasial tiga dimensi

70

Bab 8 Beberapa Besaran Gas

74

8.1 Laju dengan peluang maksimum

74

8.2 Laju rata-rata

76

8.3 Laju root mean square

78

8.4 Distribusi partikel dalam besaran lain

80

Bab 9 Aplikasi Statistik Maxwell-Boltzmann

85

9.1 Pelebaran spectrum akibat efek Doppler

85

9.2 Atom magnetic dalam medan magnet

90

9.3 Dipol listrik

94

9.4 Momen magnetic dengan tiga arah orientasi

96

9.5 Momen magnetic dengan arah orientasi sembarang

97

9.6 Vibrasi kisi dalam kristal

102

9.7 Hopping

106

9.8 Persamaan difusi Einstein

112

9.9 Prinsip ekipartisi energi

114

iii

Bab 10 Aplikasi Statistik Bose-Einstein

119

10.1 Radiasi benda hitam

119

10.2 Kapasitas kalor kristal

125

Bab 11 Aplikasi Distribusi Fermi Dirac

138

11.1 Fungsi distribusi Fermi-Dirac pada suhu 0 K

138

11.2 Distribusi Fermi-Dirac pada suhu T > 0 K

143

11.3 Integral yang mengandung fungsi Fermi-Dirac

143

11.4 Energi rata-rata electron

148

11.5 Kapitas kalor logam

151

11.6 Emisi termionik

154

Bab 12 Termodinamika Gas

159

12.1 Entropi

159

12.2 Fungsi partisi Boltzmann

161

12.3 Ungkapan energi dalam fungsi partisi

163

12.4 Energi bebas Helmholtz

164

12.5 Kapasitas kalor

165

12.6 Perhitungan fungsi partisi klasik

165

12.7 Entropi gas semiklasik

167

12.8 Fungsi partisi total

168

12.9 Fungsi partisi gas semiklasik

170

12.10 Transfomasi dari penjumlahan ke integral

172

12.11 Suseptibilitas paramagnetic kuantum

174

12.12 Molekul diatomic

179

Bab 13 Enesembel Kanonik

190

iv

13.1 Ensembel

190

13.2 Jenis ensembel

193

13.3 Probabilitas

195

13.4 Sifat-sifat termodinamika

195

13.5 Energi bebas Helmhotlz

196

13.6 Ungkapan lain untuk entropy

199

13.7 Fungsi partisi total

200

13.8 Penerapan ensemble kanonik untuk gas tidak ideal

204

13.9 Persamaan keadaan

211

13.10 Fluktuasi energi

213

Bab 14 Soal dan Latihan Statistik Maxwell-Boltzmann

216

Bab 15 Soal dan Latihan Statistik Bose-Einstein

237

Bab 16 Soal dan Latihan Statistik Fermi-Dirac

266

Bab 17 Soal dan Latihan Entropi

292

Bab 18 Soal dan Latihan Gas Riil

322

Bab 19 Soal dan Latihan Sistem dengan Interaksi Lemah

340

Bab 20 Soal dan Latihan Ensembel Kanonik

376

v

Bab 1 Pendahuluan Persoalan yang sering muncul pada kuliah fisika statistik di perguruan tinggi adalah ketidaktersediaan buku referensi bahasa Indonesia yang memadai. Buku terbitan luar negeri yang biasa digunakan sebagai referensi umumnya tidak membahas topik secara detail. Hal ini sering menyulitkan mahasiswa memahami mata kuliah terssbut. Berathun-tahun kuliah ini diajarkan oleh dosen pada mahasiswa-mahasiswa fisika, persoalan yang sama selalu muncul. Bahkan mata kuliah tersebut menjadi salah sato “bottle neck” yang memperlambat kelulusan mahasiswa. Cara pemahaman fisika statistik berbeda dengan mata kuliah fisika lain seperti gelombang, termodinamik, dan mekanika. Dalam fisika statistik kita akan bearangkat dari persoalan abstrak yang sebenarnya merupakan bahan kajian orang matematika seperti permutasi dan kombinasi. Fisika statistik dapat dipandang sebagai persoalan statistik matematik yang diberikan syarat batas fisis, sehingga persoalan matematika murni menjadi memiliki interpretasi fisis. Diperlukan abstraksi yang cukup tinggi untuk memahami persoalan tersebut. Dan tidak semua mahasiswa bisa melakukannya. Sebenarnya ketika kita berhadapan dengan kumpulan partikel-partikel gas, partikel atomik atau sub atomik lainnya, kita tidak bisa menghindari dari statistik. Sebab, jumlah partikel yang kita kaji sangat besar, yaitu ordenya lebih dari 1020 partikel. Tiap partikel memiliki enam variabel untuk mendeskripsikan dengan lengkap keadaan geraknya, yaitu tiga koordinat ruang dan tiga komponen momentum. Sangat tidak mungkin menjelaskan dinamika partikel tersebut satu per satu dengan jumlah partikel yang luar biasa banyak, meskipun menggunakan semua komputer yang ada di dunia saat ini. Pendekatan yang diberikan oleh fisika statistik adalah melihat sifat rata-rata dari partikel-paerikel tersebut tanpa kita harus melihat partikel secara individual. Karena berangkat dari peroslan statistik matematis, mahasiswa sering mengalami kesulitan memulai memahami fisika statistik. Buku-buku yang tersedia sekarang kurang memberikan penjelasan yang mendetil sehingga tidak memberikan bantuan yang cukup berarti kepada para mahasiswa untuk memahami konsep-konsep tersebut. Dari tahun ke tahun mahasiswa tetap mengalami kesulitan memahami mata kuliah ini, karena cara analisis yang berbeda dengan mata kuliah fisika lainnya.

1

Tujuan penulisan buku ini adalah memberikan penjelasan yang lebih rinci kepada mahasiswa tentang penurunan persamaan-persamaan fisika statistik beserta beberapa aplikasinya. Rumus-rumus diturunkan secara lengkap dengan penjelasan yang rinci pula dengan harapan mahasiswa dapat memahami lebih jelas. Sampai saat ini kita kesulitan menemukan referensi yang memberikan penjelasan yang lebih rinci tentang penurunan persamaan-persmaan tersebut. Mahasiswa terpaksa harus melakukan usaha yang luar biasa untuk memahami konsep-konsep tersebut dan tidak jarang banyak yang apatis. Karena materi buku ini hanya diperuntukkan bagi kuliah satu semester, maka hanya dasar-dasar statistik yang dapat menjadi modal awal bagi mahasiswa untuk mempelajari fisika statistik lanjut yang diberikan. Topik utama yang dibahas meliputi penutunan fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann, Bose-einstein, dan Fermi Dirac. Contoh aplikasi sederhana ke tiga macam statsitik tersebut juga diberikan. Konsep ruang fasa dan kerapatan keadan dalam ruang fasa klasik serta ruang fasa kuantum juga diberikan, karena keduanya digunakan untuk menghitung besaran-besaran termodinamika. Agar mahasiswa memiliki pemahaman awal tentang ensembel, maka salah satu jenis ensembel dibahas di sini, yaitu ensembel kanonik. Pada langkah penurunan distribusi Maxwell-Boltzmann, Bose-Einsetin, dan Fermi-Dirac, modal statistik yang dibutuhkan hanya permutasi. Oleh karena itu topik yang membahas panjang lebar tentang permutasi dan kombinasi seperti yang dijumpai di kulaih-kuliah statistik yang bersifat matematis tidak diberikan di sini. Hal ini dimaksudkan untuk mengurangi beban mahasiswa sehingga mereka bisa lebih terfokus kepada aplikasi fisis dari statsitik tersebut. Sebelum masuk ke penurunan berbagai fungsi distribusi masi kita definisikan beberapa istilah yang digunakan dalam buku ini. Pertama kita mendefinsikan sistem. Terminologi sistem yang digunakan pada buku ini mengacu kepada partikel-partikel. Contohnya, jika kita membahas tentang gas maka sistem adalah atom atau molekul gas. Untuk gas monotonik, sistem adalah atom gas dan untuk gas diatomik maka atau yang mengandung atom lebih banyak maka sistem adalah molekul gas. Jika kita membahas tentang elektron dalam logam maka sistem adalah elektron-elektron tersebut. Jika kita bahas tentang radiasi benda hitam maka sistem adalah foton. Jika kita bahas getaran kisi maka sistem adalah fonon.

2

Istilah kedua yang akan kita gunakan adalah assembli. Assembli adalah kumpulah sistem-sistem. Jumlah sistem dalam assembli sangat banyak. Ordenya sekitar sama dengan orde bilangan Avogadro. Jumlah sistem yang sangat besar ini memungkinkan prediksi statistik untuk sifat assembli menjadi sangat akurat. Ingat, statistik makin teliti jika sampel yang dilibatkan makin banyak.

3

Bab 2 Statistik Maxwell-Boltzmann Isi Bab Ini Bab ini berisi perumusan statistik Maxwell-Boltzmann untuk assembli yang mengandung sistem (partikel) klasik. Contoh partikel klasik adalah atom atau molekul-molekul gas.

Tujuan Bab Ini Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami bagaimana proses membangun statistik Maxwell-Boltzmann dengan menggunakan prinsip statistik musrni yang digabungkan dengan prinsip kekekalan dalam fisika seperti kekekalan energi dan jumlah partikel.

Apa Yang Perlu Dikuasai Lebih Dahulu Untuk memahami penurunan fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann mahasiswa perlu memahami prinsip permutasi untuk benda-benda yang dapat dibedakan, sifat yang ditunjukkan oleh sebuah besaran yang nilainya kekal (konstan), serta bagaimana mencari nilai maksimum dari sebuah fungsi.

2.1 Konfigurasi Penyusunan Sistem Klasik Kita akan berangkat dari asumsi bahwa energi yang dimiliki sistems-sistem dalam assembli dianggap terdiri atas tingkat-tingkat energi. Tingkat-tingkat energi tersebut berada dalam rentangan dari nol sampai tak berhingga. Gambar 2.1 adalah ilustrasi tingkat-tingkat energi yang dimiliki assembli. Untuk sistem klasik, seperti atom gas, perbedaan energi dua tingkat berdekatan mendekati nol, atau

ε i +1 − ε i → 0 . Perbedaan energi yang mendekati nol memiliki makna

bahwa tingkat energi sistem klasik bersifat kontinu. Sistem menempati salah satu dari keadaan energi di atas. Dalam sistem klasik juga tidak ada batasan jumlah sistem yang dapat menempati satu keadaan energi. Satu keadaan energi dapat saja kosong, atau ditempati oleh satu sistem, oleh dua sistem, dan seterusnya. Bahkan semua sistem berada pada satu keadaan energi pun tidak dilarang. 4

εN εN-1 εN-2

. . .

. . .

εr+1 εr εr-1 ε4 ε3 ε2 ε1=0

Gambar 2.1 Tingkat-tingkat energi yang dimiliki assembli

Agar sifat fisis dari assembli dapat ditentukan maka kita harus mengetahui bagaimana penyusunan sistem pada tingkat-tingkat energi yang ada serta probabilitas kemunculan masing-masing cara penyusunan tersebut. Pemahaman ini perlu karena nilai terukur dari besaran yang dimiliki assembli sama dengan perata-rataan besaran tersebut terhadap semua kemungkinan penyusunan sistem pada tingkat-tingkat energi yang ada. Cara menghitung berbagai kemungkinan penyusunan sistem serta probabilitas kemunculannya menjadi mudah bila tingkat-tingkat energi yang dimiliki assembli dibagi atas beberapa kelompok, seperti diilustrasikan pada Gbr 2.2. Tiap kelompok memiliki jangkauan energi yang cukup kecil.

Kelompok pertama memiliki jangkauan energi

: 0 sampai dε

Kelompok kedua memiliki jangkauan energi

: dε sampai 2dε

Kelompok ketika memiliki jangkauan energi

: 2dε sampai 3dε

. . . Kelompok ke-s memiliki jangkauan energi

: (s-1)dε sampai sdε 5

. . .

: ( N − 1)dε sampai Ndε

Kelompok ke-N memiliki jangkauan energi

Energi EM

Kelompok-M . . .

Energi Es

Kelompok-s . . .

Energi E2

Kelompok-2

Energi E1

Kelompok-1

Gambar 2.2 Kelompok-kelompok energi dalam assembli

Satu kelompok energi mengandung sejumlah keadaan energi. Jumlah keadaan energi pada kelompok yang berbeda bisa sama dan bisa berbeda. Misalkan jumlah keadaan energi pada tiap-tiap kelompok tersebut sebagai berikut:

Jumlah keadaan pada kelompok pertama

: g1

Jumlah keadaan pada kelompok kedua

: g2

Jumlah keadaan pada kelompok ketiga

: g3

. . .

6

Jumlah keadaan pada kelompok ke-s

: gs

. . . Jumlah keadaan pada kelompok ke-N

: gN

Energi keadaan yang berbeda dalam satu kelompok umumnya berbeda. Tetapi karena perbedaan energi keadaan yang berbeda dalam satu kelompok sangat kecil (mendekati nol) maka kita dapat mengasumsi bahwa energi dalam satu kelompok diwakili oleh satu nilai energi saja. Energi tersebut dianggap sebagai energi rata-rata keadaan dalam kelompok yang bersangkutan. Jadi,

Energi rata-rata kelompok pertama

: E1

Energi rata-rata kelompok kedua

: E2

Energi rata-rata kelompok ketiga

: E3

. . . Energi rata-rata kelompok ke-s

: Es

. . . Energi rata-rata kelompok ke-M

: EM

Misalkan pada konfigurasi tertentu tiap-tiap kelompok energi telah ditempati oleh sejumlah sistem sebagai berikut:

Jumlah sistem pada kelompok energi pertama

: n1

Jumlah sistem pada kelompok energi kedua

: n2

Jumlah sistem pada kelompok energi ketiga

: n3

7

. . . Jumlah sistem pada kelompok energi ke-s

: ns

. . . Jumlah sistem pada kelompok energi ke-M

: nM

Jumlah total sistem dalam assembli adalah N . Karena N sistem tersebut terdistribusi pada semua kelompok energi maka terpenuhi N = ∑ ns M

s =1

(2.1)

Energi total assembli memenuhi U = ∑ ns E s M

s =1

(2.2)

Untuk menentukan nilai dari besaran-besaran yang dimiliki assembli kita harus menentukan berapa probabilitas munculnya masing-masing konfigurasi dalam assembli. Tiap penyusunan sistem dalam assembli mempunyai peluang kemunculan yang persis sama. Dengan demikian, probabilitas kemunculan sebuah konfigurasi sebanding dengan jumlah penyusunan sistem yang dapat dilakukan untuk membangun konfigurasi tersebut.

Dengan demikian, mencari probabilitas kemunculan konfigurasi dengan kondisi Ada n1 sistem pada kelompok energi 1 Ada n2 sistem pada kelompok energi 2 Ada n3 sistem pada kelompok energi 3 .

8

. . Ada ns sistem pada kelompok energi s . . . Ada nM sistem pada kelompok energi M ekivalen dengan mencari berapa cara penyusunan:

n1 sistem pada g1 keadaan energi di kelompok energi 1 n2 sistem pada g2 keadaan energi di kelompok energi 2 n3 sistem pada g3 keadaan energi di kelompok energi 3 . . . ns sistem pada gs keadaan energi di kelompok energi s . . . nM sistem pada gM keadaan energi di kelompok energi M Selanjutnya kita akan menentukan jumlah cara penyusunan system-sistem yang tersebar pada tingkat-tingkat energi di atas. Untuk maksud tersebut, mari kita mulai dengan menganggap semua keadaan energi kosong (tidak di tempati sistem) dan di luar ada sejumlah N sistem yang akan diisi pada keadaan-keadaan tersebut. Di sini ada dua tahap proses yang terjadi, yaitu: proses I adalah membawa N buah sistem dari luar ke dalam assembli dan proses II adalah menyusun sistem pada kempompok-kelompok energi yang ada di dalam assembli.

9

Proses I: Membawa N Buah Sistem ke Dalam Assembli

Mari kita hitung jumlah cara yang dapat ditempuh pada tiap proses pertama yaitu membawa N buah sistem dari luar ke dalam assembli. Proses ini tidak bergantung pada konfigurasi assembli. Yang terpenting adalah bagaimana membawa masuk N buah sistem ke dalam assembli. Untuk menentukan jumlah cara tersebut, perhatikan tahap-tahap berikut ini. i) Ambil satu sistem dari daftar N buah sistem yang berada di luar assembli. Kita bebas memilih satu sistem ini dari N buah sistem yang ada tersebut. Jadi jumlah cara pemilihan sistem yang pertama kali dibawa masuk ke dalam assembli adalah N cara. ii) Setelah sistem pertama dimasukkan ke dalam assembli maka tersisa N -1 sistem dalam daftar di luar. Ketika membawa masuk sistem keduake dalam assembli kita dapat memilih salah s...