Matematik opgaver PDF

Preview

Summary

Download Matematik opgaver PDF

Description

Opgave 1 Q = 500 K4 P KPA C0.1 Y ved P = 50, PA = 50 og Y=1000 er Q = 500 K4$50 K50 C0.1$1000 = Q = 350.0 a) Beregn efterspørgselselasticiteten EP =

4 50 dQ P = = 4$ $ 350 7 dP Q

Ep angiver den Procent-vise stigning i Q, hvis P stiger 1 procent b) Beregn krydspriselasticiteten EPA =

dQ PA 1 50 $ =K = K1$ 7 dPA Q 350

EPA angiver procent-vise stigning i Q hvis PA stiger med 1 procent c) Beregn Indkomstelasticiteten EY =

dQ Y 2 1000 = = 0.1$ $ 7 350 dY Q

EY angiver den pct-vise stign. i Q, hvis y stiger 1 pct) D) Antag, at indkomsten falder 7%. Beregn den procent-vise ændring i Q Da EY angiver Pct-vis stign. i Q, Hvis Y stiger 1 pct, så vil et fald i Y på 8% Få Q til at falde 16 2 % 8$ = 7 7

Opgave 2 Et marked er karakteriseret ved følgende efterspørgsel (E) Q = 1000 K3 P C 2 PA K0.2 Y hvor Q angiver den efterspurgte mængde, P angiver prisen på varen, PA angiver prisen på en anden

vare, og Y angiver indkomsten. Der gælder P = 100, PA = 50 og Y = 1000 a) Udregn efterspørgselselasticiteten Finder den efterspurgte mængde Q = 1000 K3$100 C2$50 K0.2$1000 = Q = 600.0 EP =

100 1 dQ P = K3$ =K $ 2 600 dP Q

b) Find krydspriselasticiteten

EPA =

50 1 dQ PA = = 2$ $ 600 6 dPA Q

c) Beregn indkomstelasticiteten EY =

1000 1 dQ Y = 0.3333333333 samme som = 0.2$ $ 600 3 dY Q

d) Antag, at PA falder 5%. Beregn den procent-vise ændring i Q Da PA angiver den procent-vise stigning i Q, hvis PA stiger med 1. Så vil et fald på 5% få det til at 1 5 falde 5$ = % 6 6 e) Angiv udbudselasticiten ved P=20, idet udbuddet (U) er givet ved Q = 90 C 5 P Først finder vi den udbudte mængde Q = 90 C5$20 = Q = 190

EP =

dQ P 10 5$20 = = $ 190 19 dP Q

Opgave 3 En efterspørgselsfunktion er givet ved 2

P =K2 Q K 2 Q C 220 hvor Q er den efterspurgte mængde, og P er prisen a) Find efterspørgselselasticiteten ved en pris på P=40. Er efterspørgslen ved denne pris elastisk eller uelastisk

EP =

dQ dP

P $Q

Først findes Q, når P=40 2

40 =K2 Q K2 Q C 220 = 2 2 Q C2 Q K180 = 0 Andengradsligning. har diskriminaten 2 D = 2 K 4$2$ K180 = 1444 Så 9 K2 CK 1444 = Q= 2$2 K10 2

(En anden gradsligning løses ved (A X C Bx C C = 0 har løsningen X = 2

KB CK D , Hvor 2A

D = B K 4$ AC Da Q er den efterspurgte mængde, ignorerer vi den negative løsning, så ved P=40 er Q=9 for at finde ud af om efterspørgslen ved prisen 40 er elastisk eller uelastisk udnytter vi nu at 1 1 1 1 dQ = = = =K dP 38 K4 QK 2 K4 $9 K2 dP dQ 1 40 20 dQ P =K $ =K = K0.1169590643 K0.117 Altså er EP = $ 38 9 171. dP Q Da |Ep| < 1, er efterspørgselsen Uelastisk. (Hvis |Ep| > 1, er efterspørgelsen elastisk) B) Hvad sker der med mængden, hvis prisen falder 5% Da Ep angiver pct-vis stign. i Q, hvis P stiger 1 pct, vil et fald i P på 5% få Q til at falde med 20 100 100 procent , DVS Q stiger $5 = K pct K 171 171 171

Opgave 4 PÅ et marked er der givet en efterspørgselsfunktion ved 2 P =KQ K4 Q C 885 a) Find efterspørgselselasticiteten ved en pris på p=600. er efterspørgslen ved denne pris elastisk eller uelastisk? Først findes Q når P=600 2

600 =KQ K4 Q C 885 2 Q K 4 Q CK285 = 0 Finder determintaten D

2

D = 4 K 4$1$ K285 = D = 1156 så Q=

K4 C 1156 = Q = 15 2$1

Q=

K4K 1156 2$1

= Q = K19

Altså har andengradsligningen disse løsninger, men da mængden ikke kan være negativ, ser vi bort fra den negative løsning derfor er Q=15. 1 dQ dQ = Nu finder vi ved at udnytte dP dP dP dQ 1 1 1 = så =K 34 K2 Q K4 K2$15K4 Altså er EP =

600 1 20 dQ P =K K1.176470588 $ = K $ 34 15. 17 dP Q

Da |Ep| > 1, er efterspørgselsen elastisk. b) Hvad sker der med mængden, hvis prisen stiger 3% Da EP angiver den procent-vise stiging. i Q, hvis P stiger 1 procent. Så vil et fald i P på 3% få Q til at falde med K1.176$3 = K3.528 % altså falder Q med K3.528Procent Opgave 5 På et marked er efterspørgslen (E) karakteriseret ved P = 200 K2 Q mens virksomheden, der er alene og derfor et Monopol, Har totalomkostninger givet ved TC = 20 Q C

1 2 Q C500 2

a) Opskriv et udtryk for totalomsætningen, TR (TR=Total Revenue = Total omsætning) TR = P$Q (På P's plads sætter man udtrykket for efterspørgslen ind) 2

TR = 200K 2 Q $Q = 200 QK2 Q

b) Angiv et udtryk for profitten, pi, og find den produktion, der maksimerer profitten p = TRKTC 2

= 200 QK 2 Q

K 20 Q C

1 2 Q C500 2

2

= 200 QK2 Q K20 Q K

1 2 Q K500 2

1 2 Q C180 Q K500, For at finde max gør vi således: 2 isolate for Q 180 dp Q = 36 (Q= = K5 Q C180 = 0 = 36 dQ 5 =K2

For at tjekke om vi har fundet max så tjekker vi dette ved: 2 dp = K5 ! 0. Er Q=36, altså π max 2 dQ (Alternativt: kan man se på utrykket for π er en andengrads polynomium (Sur parabel da der står foran TC ) dTR dTC , og marginalomkostningen, MC = . Hvad dQ dQ gælder om disse ved mængden fundet i spørgsmål B?

C) Beregn marginalomsætningen, MR =

Vi finder MR = 200K 4 Q dTC = 20 C 1 Q dQ Ved Q=36, hvor π er maksimal, er MR=MC MR = 200 K4$36 = 56 MC = 20 C36 = 56 MC =

(Det gælder generelt, fordi π=TR-TC, så førsteordens-betingelsen for π-max,

dp = dQ

dTC dTR K = MR K MC = 0, DVS at MR = MC dQ dQ

Opgave 6 En virksomhed har en produktionsfunktion, der kan beskrives ved relationen 2

3

produktionsfunktion Q = 4 L K0.3 L

Hvor Q er den producerede mængde, og L er mængden af anvendt arbejdskraft. a) Find den værdi af L, der maksimerer produktionen dQ 2 = 8 L K0.9 L = 0 (hvis der ikke er en konstant i andengradsligningen dL 8 isolere man den ubekendte) L$ 8 K0.9 L = 0 (nul-reglen) L=0 eller L= = 8.889 0.9 Vi finder yderligere

Vi finder max ved

2

dQ 2

= 8 K1.8 L

dL

Ved L=0 er 2 dQ = 8 K1.8$0 = 8. O 0, så ved L=0, er produktionen minimal/mindst 2 dL Ved L=8.889 er 2 dQ = 8 K1.8$8.889 = K8.0002 ! 0 så er ved L=8.889 er produktionen maskimal/størst 2 dL b) Beregn gennemsnitsproduktet, APL =

Q og finder den værdi af L, der maksimerer L

gennemsnitsproduktet 2 3 4 L K0.3 L Q 2 = = 4 LK0.3 L APL = L L Vi finder så dAPL dL

= 4 K0.6 L = 0 L =

2 4 =6 3 0.6

2

Da

d APL

= K0.6 ! 0 2 dL 2 så L=6 er et maksimum. 3 C) Angiv marginalproduktet MPL = fundet i spørgsmål B dQ 2 = 8 L K0.9 L MPL = dL ved L=6

dQ og beregn MPL og APL ved den værdi af L, der blev dL

2 , hvor APL er størst, er (generelt) MPL=APL 3 2

2 1 2 = 13 K0.3 6 3 3 3 2 2 2 1 MPL = 8$6 K0.9$ 6 = 13 3 3 3 APL = 4$6

Opgave 7 Den samlede produktion Q i en virksomhed afhænger kun af mængden af arbejdskraf L (Der er eneste input i produktionen) og sammenhængen mellem produktion og arbejdskraft er

2

Q = 10 L K

1 3 L 2

a) ved hvilken værdi af L er produktionen størst? Tjek løsnings papir

Opgave 8 Sammenhængen mellem de økonomiske variable X, Y og Z er følgende 3

3 2

4

Z = 6 X Y K 2 X Y K 4 x C2 Y

3

a) Find De partielle afledede og beregrn deres værdi ved x=1 og y=2 dZ 2 2 = 18 x y K 2 y3 K 16 x3 18$12$22 K2$23 K 16$13 = 40 = 40 dx dz 2 2 3 2 2 3 = 12 x yK 6 xy C6 y 12$1 $2 K6$1$2 C 6$2 = 24 = 24 dy b) Beregn ændringen i Z, hvis X stiger med 0.1 Vi anvender, i spørgsmål B-D tilvækstformlen: dZ z

dZ dZ $dy = 40$dx C24$dy $dx C dy dx

med dx=0.1 og dy=0 fås dz≈ 40$0.1 C24$0 = 4.0 = 4 c) Beregn ændringen i Z, hvis falder med 0.2 Nu er dx=0 og dy=-0.2, så dz≈40$0 C24$ K0.2 = K4.8 =K4.8 d) beregn ændringen i Z, hvis X falder 0.1 og y stiger 0.1 Nu er dx=-0.1 og dy=0.1 så dz≈40$ K0.1 C24$0.1 = K1.6 =K1.6, så Z falder (omtrent) 1.6

Opgave 9 Der er givet en funktion ved f x, y =

1 3 3 x Cy K4 x K27 y 3

a) Bestem alle de stationære punkter De stationære punkter det er de punkter (x,y), hvor

df x, y df x, y = 0 og dx dy

= 0 hvor de paritalle

differtierede er lig nul vi finder at

df x, y dx

=

1 3 3 x Cy K4 x K27 y 3

differentiate w.r.t. x

2

x K 4 x2 K4 = 0 x2 = 4

x=± 4 = G 2 differentiate w.r.t. y df x, y 1 3 2 3 3 y K27 sætter det lig nul x Cy K4 x K27 y = 3 dx 27 2 3 y K27 = 0 y2 = = 9 y =G 9 = G 3 3.

og at

Så de stationære punkter er x, y = 2.3 , x, y = K2.3 , x, y = 2. K3 , x, y = K2,K3 2

(vi lader A =

d f x, y 2

dx et stationært punkt er:

2

,B=

d f x, y 2

2

,C=

dy

d f x, y 2

dxdy

2

=

d f x, y dydx

2

a) et maksimun, hvis A...