Materialelære samlet noter og opgaver PDF

Preview

Summary

11946 MATERIALELÆRESI-enheder, græske alfabet, prefixerPorøsitet og densitetVolumen og masseVf => absolut faststofvolumen, volumenet af det faste stof uden porerVl => volumenet af de lukkede porerVå => volumenet af de åbne porerVp=VåCVl , volumenet af alle porer, porevolumenVtf=...

Description

11946 MATERIALELÆRE SI-enheder, græske alfabet, prefixer

Porøsitet og densitet Volumen og masse Vf => absolut faststofvolumen, volumenet af det faste stof uden porer Vl => volumenet af de lukkede porer Vå => volumenet af de åbne porer Vp = Vå C Vl , volumenet af alle porer, porevolumen

Vtf = Vf C Vl , tilsyneladende faststofvolumen, volumenet af det faste stof inkl lukkede porer V = Vf C Vl C Vå = Vf C Vp , totalvolumen, volumenet af det faste stof inkl lukkede og åbne porer m0 => tørmassen, massen af det tørre materiale, dvs efter udtørring til konstant masse ved 105°C eller over silicagel ved 20°C

Porøsitetsmål Vå

på =

V

, materialets åbne porøsitet

ptot = p =

e=

Vp Vf

Vp

=

V

Vå C Vl V

, den totale porøsitet

, poretallet e

Densiteter rf =

m0 Vf

, faststofdensiteten eller den absolutte densitet [kg/m^3], densiteten af fast materiale u.

porer m0

rtf =

Vtf

, den tilsyneladende faststofdensitet, densitet af tørt materiale inkl lukkede porer

[kg/m^3] (BEMÆRK, er lig ovenstående hvis der ikke er åbne porer) rd =

m0 V

, den tilsyneladende tørdensitet, densitet af det tørre materiale inkl lukkede og åbne

porer Der kan findes værdier for ovenstående for en række materialer bagerst i [1].

rssd =

m0 C Vå$rw

, korndensitet i vandmættet, overfladetør tilstand, densitet af fugtigt materiale V inkl lukkede og åbne vandfyldte porer rw = 998.2

kg 3

m

, vands densitet ved 20 °C

Absorption

wa =

Vå$rw m0

, absorptionen, massen af det vand der kan rummes i de åbne porer, divideret med de

tørre korn

Porøsitetsformlen Kender følgende sammenhænge: p=

rf =

rd =

Vp V m0 Vf m0 V

Omskriver nr to: rf = rd rf

m0 V K Vp

=

, da Vf = V K Vp , og kan nu dividere nr tre med denne:

V KVp

p =1K

V

= 1 K p og vi har nu porøsitetsformlen:

rd rf

Porestørrelse Den specifikke overflade, den totale overflade af porerne pr. vægtenhed, [m^2/kg] eller [m^2/m^3]. Jo mindre porerne er, jo større specifikt overfladeareal Ryschkewitch formel s p = s0$e

KB$p

, hvor p er porøsiteten (i rent tal), s0 er styrken af det kompakte materiale, dvs den teoretiske styrke, svarende til p=0, σ(p) er den forventede styrke af et materiale med porøsiteten p og B er en materialeparameter, som normalt sættes tl værdien B=7.

Archimedes lov (veje-dyppe-veje-metoden) Velegnet til faste materialer V=

Vå =

mov K mu

, prøvens samlede volumen [m^3]

rw mov Km0

, volumen af de åbne porer [m^3]

rw

mov er den vandmættede prøves masse over vand, mu er massen af prøven bestemt i neddyppet tilstand rd =

rtf =

på =

wa =

m0 V

=

m0 mov K mu

m0 V K Vå Vå V

=

Vå$rw m0

=

m0 m0 Kmu

mov Km0 mov Kmu

=

$rw , den tilsyneladende tørdensitet bestemt ved Archimedes lov

, den åbne porøsitet bestemt ved Archimedes lov

mov K m0 m0

$rw , den tilsyneladende faststofdensitet bestemt ved Archimedes lov

, absorptionen bestemt ved Archimedes lov

Pyknometermetoden Velegnet til løse, kornede materialer: - et kar med glaslåg vejes tomt, P0 - karret fyldes helt med vand og vejes med glaslåg, P '0 - det tomme kar med glaslåg vejes med den våde prøve, P1 - karret med prøven fyldes helt med vand og vejes med glaslåg, P '1 - det tomme kar med glaslåg vejes med den tørrede prøve, Pd - vandets temp måles, hvorefter vandets densitet bestemmes

rd =

m0

Pd KP0

=

V

P'0 KP0 K P'1 K P1

$rw , den tilsyneladende tørdensitet bestemt ved

pyknometermetoden rtf =

m0

Pd K P0

=

V K Vå

P`'`0 K P0 K P`'`1 K Pd

$rw , den tilsyneladende faststofdensitet bestemt

ved pyknometermetoden

rssd =

m0 C Vå$rw V

=

P1 KP0 P`'`0 K P0 K P`'`1 K P1

$rw , korndensiteten i vandmættet,

overfladetør tilstand, bestemt ved pyknometermetoden på =

wa =

Vå V

=

Vå$rw m0

P1 K Pd P`'`0 KP0 K P`'`1 K P1

=

, den åbne porøsitet bestemt ved pyknometermetoden

P1 KPd Pd KP0

Varme Varmetransport Q, Den samlede transporterede varmemængde [J] F, Varmestrømmen [W]=[J/s] Dt, tiden [s] q, varmestrømstætheden [W/m^2] A, areal [m^2] Sammenhæng: Q = F$Dt = q$A$D t

Stråling 4

qs = s$T , udstrålingseffekten [W/m^2], hvor σ er strålingstallet [W/(m^2*K*4)], en konstant som afhænger af overfladens struktur og farve (for et absolut sort legeme gælder

K8

s = ss = 5.6697$10

W 2

4

m $K

, hvilket er den såkaldte Stefan-Boltzmanns konstant, for

sædvanlige byggematerialer, fx træ og tegl gælder tilnærmet værdi s = 5.10$10

e=

s ss

K8

W 2

4

m $K

)

, emissionstallet, beskriver forholdet mellem en grå overflade og en absolut sort overflade

a C r C t = 1, sammenhæng der gælder for den samlede varmestrømstæthed q_s, der rammer et materiale, hvor α (absoprtionskoefficienten) absorberes som varme, ρ (reflektionskoefficienten) vil reflekteres og τ (transmissionskoefficienten) vil blive transmitteret, altså gå ud på den anden side af materialet i form af stråling. 4

4

qs = C T1 K T2 , varmestrømstætheden mellem overflader som er rette mod hinanden, hvor T1 og T2 er overfladernes absolutte temperaturer [K] (idet T1 > T2) og C er en parameter der afhænger af overfladernes areal, vinkler og retning ift hinanden, samt farve og struktur. Denne formel kan også skrives som: 2 2 qs = C$ T1 C T2 T1 C T2 T1 K T2 , hvilket tilnærmet kan skrives som T1 C T 2 3 qs = 4$C$Tmid $D T, hvor Tmid = og DT = T1 K T2 2 Ledning l$A$Dq , hvor Dq = q1K q2 , kaldes Fourier's varmeledningsligning, hvor d er 1→2 d skivens tykkelse og A er dens areal, λ er materialekonstanten [W/m*K], det betegnes varmeledningstallet, er et mål for det givne materiales evne til at lede varme, og benævnes derfor ofte som varmeledningsevnen eller varmekonduktivitet. θ1 og θ2 er skivens to overfladetemperaturer for de to overflader. F =F

q=

=

l$ q1K q2 l$ Dq F = , Varmestrømstætheden som følge af ledning, = A d d

q1Kq

dq , temperaturfordelingen ved én-dimensional, stationær varmetransport i et dx d homogent materiale. Ved at indsætte denne i ovenstående fås l$d q for den én-dimensionale varmestrømstæthed q =K dx 2

=K

cp '= r$cp , Varmekapacitet udtrykt som den varmemængde c'_p [J/m^3*K] der skal til for at opvarme én volumenenhed af materialet én temperaturenhed, hvor ρ er materialets densitet og c_p er det specifikke varmekapacitet (også kaldet varmefylde) [J/kg*K]

a=

l r$cp

=

l , varmediffusiviteten eller temperaturledningstallet [m^2/s] og λ er cp '

varmeledningstallet Varmetransmission gennem porøse materialer q = V1$q1 C V2$q2 , varmestrømstætheden gennem et sammensat materiale, hvor fasernes volumenandele er V1 og V2 og deres respektive varmestrømstætheder q1 og q2 V1l1 C V2l2 $Dq

q=

d varmeledningstallet

, varmestrømstæthed gennem sammensatte lag, hvor man kender

lpar = V1l1 C V2l2 , det sammensatte materiales varmeledningsevne (varmeledningstal) R=

R=

Dq q

, Isolans [m^2*K/W]

d , isolansen ved et ubrudt, homogent materialelag med tykkelse d og varmeledningstal λ l

R = R1 C R2 , isolans for sammensatte materialer, denne kan omskrives til med ovenstående: R=

d1

C

l2

l1

1

d2

V1

C

=

V1$d l1

C

V2$d l2

, hvoraf det ses

V2

, idet lser er det sammensatte materiales varmeledningsevne udledt af l2 l1 lser seriemodellen. Dette kan også skrives som: =

lser = n

l1$l2 l1V2 C l2V1 n

n

l = V1$l1 C V2$l2 , varmeledningsevnen for n=-1 for seriemodellen og n=+1 for parallelmodellen

Varmetransmission gennem sammensat væg q=

l$Dq , varmestrømstætheden [W/m^2] med temperaturforskellen på de to overflade af d

væggen Δθ q=

Dq

, varmestrømstætheden hvor R=d/λ er indført

R

Ved en væg med flere lag gælder det, at temperaturfaldende over de enkelte lag svarer til temperaturfaldet θi-θu over væggen: q Kq = Dq1 C Dq2 C Dq3 = q1$R1 C q2$R2 C q3$R3 = q R1 C R2 C R3 , hvilket også betyder: i

u

R = R1 C R2 C R3 =

q=

Dq SR

d1

C

l1

= U$ Dq , hvor U =

d2 l2

C

d3 l3

1 , kaldet transmissionskoefficienten SR

F = U$A$Dq, hvor A angiver konstruktionens areal

Dq = qo K ql =

q

, hvor θ_o er overfladens temperatur og θ_l er er luftens temperatur og α_k ak [W/m^2*K] er det konvektive overgangstal. Rk =

1

, den konvektive overgangsisolans R_k [m^2*K/W] eller blot overgangsisolans, bemærk ak at det er den reciprokke værdi af det konvektive overgangstal α_k.

Fugt Gasloven / idealgasligningen p$V =

m $R$T , hvor: M

p er gasartens partialtryk, [Pa]=[N/m^2] V er det betragtede volumen, [m^3] m er gasartens masse, [kg] M er gasartens molmasse, [kg/mol] (tør luft har M=28.96*10^-3, vanddamp har M=18.02*10^-3) R er gaskonstanten, R=8.314 [J/mol*K] T er den absolutte temperatur, [K] Følgende gælder desuden: c=

m , hvor c er vanddampindholdet V

c=

c=

p$M R$T 2.17$10 K3$p T

Relativ luftfugtighed cs => mætningsdampindholdet, den mængde vanddamp luften maks kan indeholde, [kg/m^3] ps => mætningsdamptrykket (også kaldet mætningstrykket), det tilsvarende partialtryk, [Pa] Kig på tabel 5.1 side 69 for at finde mætningsdampindhold og -tryk ved forskellige temperaturer RF = f =

c p , den relative luftfugtighed (RF=[%]), tøf luft RF=0%, vandmættet luft RF= = cs ps

100% (ϕ=1)

Kelvins ligning ln RF = ln

p ps

=K

2 s$M rv$R$T$rK

, hvor:

RF er relativ luftfugtighed i % ps er mætningsdamptrykket i Pa s er væskens overfladespænding (0,0735 N/m for vand ved 20 grader C) M er væskens molmasse rv er væskens densitet R er gaskonstanten, 8,314 [J/mol*K] T er den absolutte temperatur i K rK er kelvinradius / krumningsradius i m svarende til den undersøgte RF 2$s$M , bestemmelse af kelvinradius/krumningsradius rK =K rv$R$T$ln RF

Vand-tørstofforholdet u=

m1 K m0 m0

vægt og

$100 %, vandindholdet i et materiale ift dets tørre masse [%], hvor m1 er materialets

m0 er materialets vægt efter tørring ved 105 grader C til massen er konstant u K vol.=

Vw V

$100 %, vandindholdet i volumenprocent, hvor Vw =

fordampelige vand i den våde prøve og V =

m0 rd

mw rw

er volumen af det

er prøvens samlede volumen

Sammenhæng mellem disse kan skrives: u Kvol.=

w=

mw V

Svac =

rd

$u

rw

= rd$u, vandindholdet pr kubikmeter, BEMÆRK her skal u indgå som et rent tal

m1 K m0 mvac Km0

$100 %, vakuumvandmætningsgraden, materialets vandindhold målt ift den

mængde vand som materialet kan indeholde efter fuldstændig mætning med anvendelse af vakuum eller overtryk. Massen efter mætning kaldes for mvac Scap =

m1 K m0 mcap Km0

$100 %, den kapillære vandmætningsgrad, materialets vandindhold målt ift den

mængde vand materialet kan indeholde efter frivillig vandopsugning

Suction psuc = p'Kp =

2$s , suctiontrykket, det hydrostatiske tryk, hvor σ er væskens overfladespænding rK

og rK er meniskenradius. Vha Kelvins ligning kan den omskrives til:

psuc =

ln RF $R$rv$T M

Vandtryksforskelle v dp = 8 m 2 , hvor dp/dx er trykfaldet el. trykgradienten for vand som strømmer, v er dx r middelhastigheden vandet flyder med, r er rørets radius og μ [Ns/m^2] angiver vandets dynamiske viskositet (ved 20°C har vand en dynamisk viskositet på 1*10^-3 Ns/m^2)

dp Dp er trykfaldet for stationært vand, hvor Δp er trykfaldet ml de to betragtede snit og Δl = dx Dl er afstanden mk de betragtede snit 2

Dp , middelhastighed af strømmende vand gennem rør 8 m Dl r

v=

v=

$

k$Dp

Dl

, middelhastighed af strømmende vand gennem poremodel, hvor v er

middelhastigheden over hele tværsnittet uden hensyn til at tværsnittet er delvist fyldt med fast materiale og k er permeabilitetskoefficienten [m^2/(Pa*s)], som afhænger af porestruktur og af væskens egenskaber 2

r

, men da r for praktisk forekommende 8m materialer ikke har en veldefineret værdi, må koefficienten i almindelighed bestemmes ved forsøg Koefficienten k kan formelt set bestemmes som

qm = rv$v, den gennemstrømmede masse q, (massestrøm q_m) pr areal og pr tidsenhed, v er middelhastighed og ρ_v er væskens densitet rv$k$ Dp

K$D p , andre måder at bestemme massestrøm, hvor K er Dl Dl vandpermeabilitetskoefficienten, K = k$rw [kg/(Pa*m*s)] qm =

Q=

A$K$D p

Dl

=

, den samlede strøm Q pr tidsenhed, A er arealet - denne sammenhæng er kendt

som Darcy's lov.

q q2 =

q q1 $m q1

, korrigeren for vandstrøm ved to forskellige temperaturer, hvis man har m q2 målt gennemstrømmet vandmængde ved en temperatur θ_1 og derefter vil vurdere hvor stor den gennemstrømmede mængde er ved en anden temperatur θ_2 p2 =

qm z

2s , det hydrostatiske undertryk i vandet under meniskerne rK K$2$s , den transporterede væske, for RF under 95% da de dannede meniskradier vil være rK$ Dl

så små, at det hydrostatiske undertryk p_2 numerisk vil være langt større end vandtrykket p_1 på opstrømssiden (se s. 89) Indsættes Kelvins ligning her, går overfladespænding σ ud og man får:

K$2 s

K

rv$R$T$ln RF

=K

K$rv$R$T$ln RF

, BEMÆRK dette gælder kun for porer 2 s$M Dl$M hvis radius er mindre end den til den anvendte RF svarende krumningsradius, desuden skal RF lige uden for meniskoverfladerne holdes konstant qm =

Dl

Kapillær opsugning 4$m$v t 4$m dz = $ , modstanden mod bevægelse pga friktion mod rørvæggen pr r r dt arealenhed for laminar strømning, hvor τ [N/m^2], μ er væskens viskositet [Ns/m^2], v(t)=dz/dt er strømnignshastigheden som funktion af tiden t og r er rørets indvendige radius t=

pkap =

2 s$cos q 2s = r rK

, det hydrostatiske undertryk i vandet under menisken, hvoor θ er

kontaktvinklen (se figur 5.3) Forudsat at p=0 ved rørets ydre ende, således at evt vandtryk negligeres og der ses bort fra tyngdeaccelerationens indflydelse, kan man ved projektion af de kræfter, som virker i hele rørets længde, ind på en retning svarende til rørets længdeakse fås: 2

p$r $pkap K 2$p$r$z t $t = 0, hvor z(t) er opsugningslængden. Indsættes ovenstående udtryk fås: 2

p$r $

2 s$cos q r

K 2$p$r$z t $

s$r$cos q K 4$m$z t $

4$m dz = 0, som reduceres til: $ dt r

4 m$z t $dz dz = 0 ⇒ dt = , ved integration fra 0 til t fås følgende: dt s$r$cos q

2

2 m$z

C C, som angiver sammenhængen mellem tiden t og indsugningslængden z, s$r$cos q hvor C er integrationskonstanten, som under ideelle forhold bør blive 0. z's afhængighed af tiden t kan skrives som: t=

z=

s$r$cos q 2m

$ t KC

Indføres nu modstandstallet m =

2m s$r$cos q

[s/m^2] og sættes C=0, kan indsugningslængden

skrives som z=

t , m kan findes i tabel 5.8 og tabelafsnit tabel 5 m

Q t = rw$på$z t , den opsugede vandmængde pr m^2 [kg/m^2] til et givet tidspunkt t [s] t , den opsugede vandmængde med z(t) indsat m

Q t = rw$på$

Q t = k1$ t , hvor k_1 er kapillaritetstallet, der teoretisk set kan bestemmes som

k1 =

rw$på

, værdier angivet for beton i tabel 5.8 og derudover værdier i tabelafsnit tabel 5, se s.

m

92+93 2 s$cos q , den maksimale stighøjde h, som bestemmes af, at meniskens undertryk r skal kunne bære den væskesøjle, som hænger under den. Denne gælder altså ved ligevægt. h$rv$g =

h=

2 s$cos q rv$g$r

q t =

dQ t dt

=

1 k1 , massestrømshastigheden [kg/(m^2*s)] $ 2 t

2

q t =

k1

2$Q t

, massestrømshastigheden

D$dc qd =K , diffusionen under stationære forholdet, kaldet Ficks lov, [kg/(m^2*s)], er dx diffunderet mængde pr arealenhed pr tidsenhed, D er diffusionskonstanten [m^2/s], c er vanddampkoncentrationen [kg/m^3] og x [m] er stedkoordinaten. p$V =

c=

m $R$T , tilstandsligningen som antages at gælde for vanddamp M

p$M m = , dette betyder at Ficks lov kan skrives som: V R$T

D$M k$dp , hvor k = er en konstant og dp/dx er gradienten i x-retningen af partialtrykket qd =K dx R$T p. Minustegnet angiver at transporten går i trykfaldets retning.

qd =

d$p1 K p2 d

, den transporterede fugtmængde gennem en porøs væg, hvor δ er

vanddamppermeabilitetskoefficienten, d er vægtykkelsen og p1 og p2 er damptrykkene på de to sider af væggen [Pa] d , kaldet fugtmembramtransporttallet, benyttes som transportkoefficient for tynde materialer d som fx folier Z=

d , kaldet fugtmodstandstallet [Pa*m^2*s/kg], som bestemmes eksperimentelt. d p1Kp

2

, fugttransporten gennem en folie, bemærk at stor Z-værdi giver ringe transport Z gennem materialet, værdier angivet i tabel 5.10 for enkelte udvalgte materialer, ellers se tabel 6 i tabelafsnit q=

Lufttryksforskel q = A$v$c = A$v$cs$RF1 , den vandmængde der transporteres gennem et hul i en folie, når vinden blæser gennem hullet, [kg/s], A er hullets areal, v er vinhastigheden gn hullet, c er aktuelt vanddampindhold, c_s er mætningsdampindholdet, RF_1 er RF på opstrøms side

Udtørringsforløb u, vægt K % kg w, 3 m u, u(t) er vand-tørstofsforholdet til tiden t [s] u0 er vand-tørstofsforholden til t=0 uN er vt-forholdet ved ligevægt med omgivelserne, dvs efter uendelig langt tids udtørring, altså t=∞ w, w(t) er vandindholfet til tiden t w0 er vandindholdet ved t=0 wN er vandinholdet v...