Mezcla de 2 tanques interconectados PDF

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Instituto Tecnol´ ogico de Estudios Superiores de la Regi´ on Carbon´ıfera

Ecuaciones Diferenciales Mezcla de 2 tanques interconectados Alumnos: H´ector Rolando P´erez Rodr´ıguez Keyla D´ıaz Cadena Jos´e Eduardo Garza Salazar Carrera: Ingenier´ıa Mecatr´onica Maestro: Dr. Hugo Alfredo Carrillo Serrano 26 de mayo del 2021

1

Modelo

Dos grandes tanques, cada uno de los cuales contiene 24 litros de una soluci´ on salina, est´an conectados entre s´ı mediante unos tubos, como se muestra en la figura. El tanque A recibe agua pura a raz´ on de 6 litros/minuto y el l´ıquido sale del tanque B con la misma raz´on; adem´ as, se bombean 8 litros/minuto de l´ıquido del tanque A al tanque B y 2 litros/minuto del tanque B al tanque A. Los l´ıquidos dentro de cada tanque se mantienen bien revueltos, de modo que cada mezcla es homog´enea. Si en un principio la soluci´on salina en el tanque A contiene x0 kg de sal y la del tanque B contiene inicialmente y0 kg de sal, determinar la masa de sal en cada tanque en el instante t > 0.

Dibujamos nuevamente nuestros tanques con los datos que nos dieron y con unas condiciones iniciales de x0 = 20 y y0 = 12. Nuestro tanque A sera nuestra x(t) y el tanque B sera y(t), estas ser´ an las ecuaciones que buscaremos para saber la masa de sal que hay en cada tanque respecto al tiempo.

1

Para formular las ecuaciones de este sistema igualaremos la raz´on de cambio de sal en cada tanque con la raz´on neta con la que se transfiere la sal a ese tanque. kg/Litro, el tubo superior La concentraci´ on de sal en el tanque A es x(t) 24 saca sal del tanque A a una raz´on de:  x(t) kg  L  8x(t) kg 8 = 24 L 24 min min El tanque B tiene una concentraci´ on de sal de y(t) kg 24 Litro y el tubo inferior lleva sal al tanque A a una raz´on de: 2y(t) kg 24 min

Entonces con los datos obtenidos anteriormente podemos formular nuestras ecuaciones. Nuestra primera ecuaci´on que definir´ a la raz´ on de cambio de la masa de sal en el tanque A es: N ota : representaremos x(t) = x y y(t) = y. 2 8 dx = y− x 24 dt 24 1 1 x′ = − x + y 12 3 Para el tanque B obtendremos la ecuaci´on de manera similar. La raz´ on de cambio de sal en el tanque B se determina mediante los tubos de conexi´ on y por el de drenado. 8x kg 24 min 2y kg r2→ −1 = 24 min 6y kg ro = 24 min

r1→ −2 =

2

La raz´ on de cambio de sal en el tanque B esta definida por: dy 8 2 6 = x− y− y 24 dt 24 24 1 1 1 y′ = x − y − y 4 3 12 1 1 ′ y = x− y 3 3 As´ı la raz´on de cambio de la sal de nuestros tanques interconectados esta descrita mediante el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.  ′ 1 y x = − 13 x + 12 Con condiciones iniciales:



y ′ = 31 x − 13 y

x(0) = 20 kg y(0) = 12 kg Ahora el sistema de ecuaciones diferenciales lineales anterior se resolver´ a mediante la trasformada de Laplace, valores y vectores propios (eigenvalores y eigenvectores) y un m´etodo num´erico.

3

2

Laplace

Uno de los m´etodos que utilizamos para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales lineales es Laplace. 1 1 x′ = − x + y 12 3 1 1 ′ y = x− y 3 3 Con los siguientes valores in´ıciales. x(0) = 20 y(0) = 12 Aplicamos la propiedad de linealidad y separa la EDO en cada uno de sus t´erminos para aplicar la trasformada de Laplace. 1 1 L[y] L[x′ ] = − L[x] + 12 3 1 1 L[y ′ ] = L[x] − L[y] 3 3

Nota: Representaremos la trasformada de Laplace de x y y como: L{x} = x(s) L{y} = y(s) Teorema de la transformada de Laplace de una derivada. L[x′ ] = sL[x] − x0 L[x′ ] = sx(s) − x(0) Aplicando los valores iniciales. L[x′ ] = sx(s) − 20 L[y ′ ] = sy(s) − 12

4

Entonces al aplicar la trasformada de Laplace a nuestro sistema nos queda: 1 1 sx(s) − 20 = − x(s) + y(s) 12 3 1 1 sy(s) − 12 = x(s) − y(s) 3 3 Ahora factorizamos los t´erminos que tengan en com´ un x(s) y y(s). 1 1 sx(s) + x(s) − y(s) = 20 3 12 1 1 sy(s) − x(s) + y(s) = 12 3 3   1 1 x(s) s + = 20 + y(s) − 12 3  1  1 x(s) − = 12 + y(s) s + 3 3 Ahora bien tenemos un sistema de ecuaciones lineales.      1 x(s) 20 s + 31 − 12 = 1 1 12 − 3 s + 3 y(s) Usamos regla de Crammer para obtener el valor de x(s) y y(s). Primeramente calcularemos ∆ ya que por la regla de Crammer sabemos que: x(s) =

∆x ∆

y(s) =

∆y ∆

Calculamos Delta (∆).   s + 1 − 1   1  1   1  1 12  = s + ∆ =  1 3 s+ − − − 3 s + 13  12 3 3 3

Resolvemos las multiplicaciones con su respectiva resta por lo que obtendr´ıamos 1 2 = s2 + s + 12 3

Factorizado seria  1 1 s+ = s+ 2 6 5

Ahora resolvemos en ∆x, cambiando los valores de x por las condiciones iniciales     20 − 1  1 1   12 ∆= − (12) − 1  = (20) s + 12 s + 3 12 3

Realizamos las multiplicaciones y restamos obteniendo as´ı 23 = 20s + 3 Calculamos la funci´on x(s) utilizando los resultados obtenidos x(s) =

20s + 233 ∆x = ∆ (s + 61)(s + 21 )

Continuamos con fracciones parciales. 20s + 23 A B 3 1 1 + 1 = (s + 2 )(s + 6 ) (s + 6 ) (s + 21 ) Multiplicamos ambos lados por el denominador del lado izquierdo ((s+ 21 )(s + 1 )) y nos quedar´ıa: 6 1 1 23 = A(s + ) + B(s + ) 6 3 2 A B 23 = As + + Bs + 20s + 3 2 6 Con esto podemos formular un sistema de ecuaciones lineales que resolveremos por el m´etodo de eliminaci´on. 20s +

A + B = 20 (1) A B 23 (2) = + 3 6 2 Multiplicamos por -2 la segunda ecuaci´ on (2) para as´ı poder eliminar A y obtener el valor de B. A + B = 20 A B 23 −2( + = ) 3 6 2 ⇓ A + B = 20 46 B =− −A − 3 3 6

Despejamos B . 14 2 B= 3 3 14 3 2 3

B=

B=7 Obtenemos el valor de A reemplazando el valor de B en (1). A + B = 20 A = 20 − B A = 20 − 7 A = 13 Sustituimos en las fracciones parciales el valor correspondiente obtenido de A y B. x(s) =

13 7 1 + s+ 6 s+

1 2

Aplicamos Laplace inversa. x(t) = 13L−1

n 1 o n 1 o −1 + 7L s + 61 s + 21

As´ı nuestra soluci´ on para x(t) es: t

t

x(t) = 13e− 6 + 7e− 2 Ahora resolvemos en ∆y, cambiando los valores de y por las condiciones iniciales.    1 s + 1 20   1 3   (12) − − (20) ∆= 1 = s + − 3 12 3 3 7

Realizamos las multiplicaciones y restamos obteniendo as´ı: 12 20 + 3 3 32 = 12s + 3

= 12s +

Calculamos la funci´on y(s) utilizando los resultados obtenidos. y(s) =

12s + 32 ∆y 3 = ∆ (s + 16 )(s + 21)

Continuamos con fracciones parciales. 12s + 32 A B 3 1 1 + 1 = (s + 2 )(s + 6 ) (s + 6 ) (s + 21 ) Multiplicamos ambos lados por el denominador del lado izquierdo ((s+ 21 )(s + 1 )) y nos quedar´ıa: 6 1 1 32 = A(s + ) + B(s + ) 3 2 6 A B 32 = As + + Bs + 12s + 3 2 6

12s +

Con esto podemos formular un sistema de ecuaciones lineales que resolveremos por el m´etodo de eliminaci´on. A + B = 12 A B 32 + = 2 3 6

8

(3) (4)

Multiplicamos por -2 la segunda ecuaci´ on (4) para as´ı poder eliminar A y obtener el valor de B . A + B = 12 A B 32 −2( + = ) 3 6 2 ⇓ A + B = 12 64 B =− −A − 3 3 28 2 B=− 3 3 Despejamos B . B=

28 3 2 3

84 6 B = −14

B=−

Obtenemos el valore de A reemplazando en valor de B en (3). A + B = 12 A = 12 − B A = 20 − (−14) A = 26 Sustituimos en las fracciones parciales el valor correspondiente obtenido de A y B. 26 −14 y(s) = 1 + s + 6 s + 12 Aplicamos la transformada inversa de Laplace. n 1 o n 1 o −1 − 14L y(t) = 26L−1 s + 61 s + 21 As´ı nuestra soluci´ on para y(t) es: t

t

y(t) = 26e− 6 − 14e− 2 9

3

Eigenvalores y eigenvectores

Tenemos nuestro sistema de ecuaciones diferenciales lineales que resolveremos por valores y vectores propios 1 1 x′ = − x + y 12 3 1 1 ′ y = x− y 3 3 x(0) = 20 y(0) = 12

3.1

Eigenvalores

Lo primero por hacer sera obtener los eigenvalores. Hacemos la siguiente operaci´on de matrices (A−λI ), esto para despu´es poder calcular el polinomio caracter´ıstico.   1 1   λ 0 − 3 12 λI = A= 1 0 λ −31 3   1 1 −3 − λ 12 (A − λI) = 1 − 31 − λ 3 Con esto podemos pasar a calcular el polinomio caracter´ıstico mediante la determinante de (A − λI).  1   1  1  1 −λ − −λ − 3 12 3 3 1 λ λ 1 = + + + λ2 − 9 3 36 3 2 1 2 = λ + λ+ 12 3

det(A − λI) =



−

10

Encontramos las ra´ıces del polinomio usando la formula general r  λ1,2 = = = =

λ1 =

3.2

−32 + 2

1 3

− 32 ± − 32

=−

2

− 4 · 1 · 121

q 2·1 ± 94 − 13

− 32 ± − 32

2 3

2 q

1 9

2 ± 31 2

1 6

λ2 =

− 23 − 2

1 3

=−

1 2

Eigenvectores

Ahora que tenemos los eigenvalores procederemos a calcular los eigenvectores usando la ecuaci´on: Ax = λx

(5)

Sustituimos en la ecuaci´on (5) usando λ1 = −61.  1 1     1 x1 − 3 12 x1 =− 1 − 13 x2 6 x2 3 1 1 1 − x1 + x2 = − x1 3 12 6 1 1 1 x1 − x2 = − x2 3 3 6

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(6) (7)

En base a las ecuaciones anteriores elegiremos una y despejaremos x1 , en este caso elegiremos la ecuaci´on (6). 1 − x1 + 3 1 1 − x1 + x1 + 3 6 1 − x1 + 6

1 1 x2 = − x1 6 12 1 x2 = 0 12 1 x2 = 0 12 1 1 x1 = x2 12 6 1 x1 = x2 2

En este punto le asignaremos un valor a x2 para que x1 sea un numero mas sencillo, de preferencia que no quede en una fracci´on. Le asignaremos el valor de 2 a x2 . x2 = 2 1 x1 = (2) 2 x1 = 1 Ahora nuestro eigenvector cuando λ1 = − 61 es:   1 → − v1 = 2 Repetiremos el mismo procedimiento que utilizamos para encontrar el primer eigenvector, pero ahora con λ2 = − 21 . Sustituimos en la ecuaci´on (5).  1 1     1 x1 x1 − 3 12 =− 1 − 13 x2 2 x2 3 1 1 1 − x1 + x2 = − x1 3 12 2 1 1 1 x1 − x2 = − x2 3 3 2 12

(8) (9)

En base a las ecuaciones anteriores elegiremos una y despejaremos x1 , en este caso elegiremos la ecuaci´on (8). 1 − x1 + 3 1 1 − x1 + x1 + 3 2 1 x1 + 6

1 x2 12 1 x2 12 1 x2 12 1 x1 6

1 = − x1 2 =0 =0

1 x2 12 1 x1 = − x2 2 =−

En este punto le asignaremos un valor a x2 para que x1 sea un numero mas sencillo, de preferencia que no quede en una fracci´on ni sea negativo. Le asignaremos el valor de -2 a x2 . x2 = −2 1 x1 = − (−2) 2 x1 = 1 Ahora nuestro eigenvector cuando λ2 = − 21 es:   1 → − v2 = −2

3.3

Soluci´ on general

Al ser un sistema de ecuaciones diferenciales lineales nuestra soluci´ on general sera → − − − X = C1 → v1 eλ1 t + C2 → v2 eλ2 t     → − t 1 1 − t6 X = C1 e− 2 e + C2 −2 2

13

(10) (11)

3.4

Condiciones iniciales

En base a las condiciones iniciales procedemos a obtener el valor de C1 y C2 . Tenemos que nuestras condiciones iniciales son:   → − 20 X(0) = 12 Primeramente sustituiremos t = 0 en la ecuaci´ on (11) y hacemos las operaciones correspondientes.     0 1 1 − 60 → − x (0) = C1 e− 2 e + C2 −2 2     1 1 = C1 + C2 −2 2   C1 C2 = 2C1 −2C2 Esto ultimo es el vector que nos queda al sustituir  t = 0. Pero debido a → − 20 podemos igualar el las condiciones iniciales que nos dicen que X(0) = 12   20 resultado anterior con el vector . 12     20 C1 C2 = 2C1 −2C2 12 Tenemos un sistema de ecuaciones lineales que podemos resolver por el m´etodo de nuestra elecci´ on, en este caso usaremos eliminaci´on y despejaremos C1 para saber su valor. (C1 + C2 = 20)2 2C1 − 2C2 = 12 ⇓ 2C1 + 2C2 = 40 2C1 − 2C2 = 12 4C1 + 0C2 = 52 52 C1 = 4 14

C1 = 13 Ahora que conocemos el valor de C1 podemos obtener el valor de C2 remplazando el valor de C1 en cualquiera de las 2 ecuaciones. C1 + C2 = 20 13 + C2 = 20 C2 = 20 − 13 C2 = 7 Sustituimos los valores de C1 y C2 en la soluci´on general (11).     t → − 1 1 − t6 e− 2 e +7 X(t) = 13 −2 2 Multiplicamos la constante por los componentes del vector.     t → − 13 − t 7 X(t) = e− 2 e 6+ −14 26 Finalmente esta es nuestra soluci´ on. Tambi´en se puede representar de la siguiente forma. t

t

x(t) = 13e− 6 + 7e− 2 t

t

y(t) = 26e− 6 − 14e− 2 Estas ultimas funciones son las que nos dicen la cantidad de sal que hay en cada tanque en cada tiempo t.

15

Si metemos en un gr´aficador las funciones anteriores obtendremos las siguientes gr´ aficas.

Gr´ afica de la funci´ on x(t)

Gr´ afica de la funci´ on y(t) Se puede observar que la cantidad de sal que hay en el tanque A disminuye r´ apidamente de manera exponencial, mientras que en el tanque B aumenta un poco y despu´es disminuye de manera exponencial. Ambos tanques se quedaran sin sal en un determinado tiempo t ya que al estar entrando agua pura esta har´a que la sal vaya saliendo de los tanques. 16

4

M´ etodo num´ erico

El m´etodo que vamos a utilizar para resolver nuestro problema ser´ a el de ”Euler mejorado”, el cual consiste en tomar las f´ ormulas del Euler simple, con esto calculamos una pendiente entre un punto inicial y un punto final, para despu´es promediarlos y as´ı obtener un resultado mas exacto. Primeramente dejamos en claro cuales ser´ an las ecuaciones que vamos a utilizar: 1 1 x′ = − x + y 12 3 1 1 ′ y = x− y 3 3

(12) (13)

Y las condiciones iniciales que representan la cantidad de sal en cada uno de los tanques: x(0) = 20 y(0) = 12 Las formulas que usaremos en este m´etodo num´erico son: x∗n+1 = xn + h(f (xn , yn )) y ∗n+1 = xn + h(g(xn , yn )) h ∗ ∗ , yn+1 xn+1 = xn + (f (xn , yn ) + f (xn+1 )) 2 h ∗ ∗ )) yn+1 = yn + (g (xn , yn ) + g (xn+1 , yn+1 2 Donde f es (12) y g es (13). La primera iteraci´on comienza en t=0, que representa el tiempo. Nuestra x y y, ser´ an las condiciones iniciales: x0 = 20 y0 = 12 17

(14) (15)

(16) (17)

Utilizamos la f´ormula de Euler con la primera Ecuaci´ on para calcular el siguiente paso usando h=1. 1 x1∗ = x0 + 1(− x0 + 3 1 = 20 + 1(− 20 + 3 = 14.33

1 y0 ) 12 1 12) 12

Ahora hacemos lo mismo que en lo anterior pero con la segunda ecuaci´on: 1 1 y1∗ = y0 + 1( x0 − y0 ) 3 3 1 1 = 12 + 1( 20 − 12) 3 3 = 14.667 Para finalizar la primera iteraci´on, haremos el promedio entre las dos formulas: 1 1 1  1 1 − x0 + y0 − x∗1 + y ∗1 x1 = x0 + 2 3 12 12 3  1 1 1 1 1 − 20 + 12 − 14.33 + 14.667 = 20 + 3 3 12 2 12 = 15.389 El resultado de x1 ser´a x en la siguiente iteraci´on. Se hace lo mismo que en el anterior punto pero con la segunda ecuaci´ on: 1 1 ∗ 1 ∗ 11 x − y + y1 = y0 + x − y 0 0 2 3 3 3 1 3 1   1 1 1 1 1 20 − 12 + 14.33 − 14.667 = 12 + 3 3 3 2 3 = 13.278 Igualmente y1 ser´ a y en la siguiente iteraci´ on;

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En la segunda iteraci´on el tiempo ser´ a t=1, y as´ı sabremos la cantidad de sal que se mueve en ese tiempo. Nuestra x = 15.389 y nuestra y = 13.278 C´ omo en la iteraci´ on anterior, utilizamos las formulas de Euler en ambas ecuaciones pero con los nuevos valores:   1 1 ∗ x2 = 15.389 + 1 − 15.389 + 13.278 3 12 = 11.366 As´ı mismo con la segunda ecuaci´on: 1  1 y2∗ = 13.278 + 1 15.389 − 13.278 3 3 = 13.981 Vamos a aplicar las formulas (16) y (17) para as´ı obtener el valor en x2 y y2 : x2 = 15.389 + 1 = 12.066

 1 1 1 1 1 13.891 − 15.389 + 13.278 − 11.366 + 3 3 12 2 12

1 1 1 1 1 y2 = 13.278 + ( 15.389 − 13.278) + ( 11.366 − 13.981)) 3 3 2 3 3 = 13.194 Continuamos con las iteraciones de la misma forma que lo hemos hecho, qued´ andonos de la siguiente forma:

19

c Como se puede observar en la tabla, una parte de la sal se va al segundo tanque y otra se pierde. As´ı contin´ ua hasta llegar a 0, tardar´ıa aproximadamente 66 segundos en vaciarse de sal por completo.

c

20

Tambi´en se pudo notar que no siempre se mov´ıa la misma cantidad de sal.

c

21...