Mikro Loesung 1 PDF

Preview

Summary

Download Mikro Loesung 1 PDF

Description

Tutorium Mikroökonomie Wintersemester 2019/20 Übungsblatt 1 (24.10.2019) Prof. Dr. Volker Nitsch Falk Laser, Dr. Johannes Rode

Lösungsvorschlag Aufgabe 1 Budgetmengen

Angenommen, Sie haben ein Einkommen von 40 € und konsumieren zwei Güter. Gut 1 kostet 10 €, Gut 2 kostet 5 € pro Einheit. a) Definieren Sie Ihre Budgetgerade und Ihre Budgetmenge. Budgetmenge: Menge aller Güterbündel (x 1 , x 2 ) mit p1 x 1 + p2 x 2 ≤ m ⇒ hier: 10x 1 + 5x 2 ≤ 40 ⇒ Budgetgerade (obere Grenze der Budgetmenge): 10 x 1 + 5x 2 = 40 b) Wenn Sie ihr gesamtes Einkommen für Gut 1 bzw. Gut 2 ausgeben, welche Menge können Sie jeweils kaufen?

x 2 = 0 ⇒ x 1 = 4 bzw. x 1 = 0 ⇒ x 2 = 8 c) Zeichnen Sie die Budgetmenge. Ist diese konvex? Budgetgerade aus a): 10x 1 + 5x 2 = 40 ⇔ x 2 = 8 − 2x 1

x2 8

4

x1

Die Menge ist konvex, da alle Verbindungslinien von zwei (x 1 , x 2 )-Bündeln aus der Menge wieder in ihr enthalten sind.

d) Wie lauten die Achsenabschnitte in den folgenden Szenarien (jeweils ausgehend von der Ursprungssituation): 1. Preis für Gut 1 halbiert sich.

5x 1 + 5x 2 = 40 ⇒ für x 1 = 0 ⇒ x 2 = 8 und für x 2 = 0 ⇒ x 1 = 8 ⇒ Achsenabschnitte: x 1 = 8; x 2 = 8. 2. Preis für Gut 2 verdoppelt sich.

10 x 1 + 10 x 2 = 40 ⇒ für x 1 = 0 ⇒ x 2 = 4 und für x 2 = 0 ⇒ x 1 = 4 ⇒ Achsenabschnitte: x 1 = 4; x 2 = 4. 1

3. Beide Preise halbieren sich.

5x 1 + 2, 5x 2 = 40 ⇒ für x 1 = 0 ⇒ x 2 = 16 und für x 2 = 0 ⇒ x 1 = 8 ⇒ Achsenabschnitte: x 1 = 8; x 2 = 16. 4. Beide Preise und das Einkommen verdoppeln sich (z. B. durch Inflation oder Währungsumstellung).

20 x 1 + 10 x 2 = 80 ⇒ für x 1 = 0 ⇒ x 2 = 8 und für x 2 = 0 ⇒ x 1 = 4 ⇒ Achsenabschnitte: x 1 = 4; x 2 = 8. 5. Es wird eine Umsatzsteuer auf beide Produkte von jeweils 25 Prozent eingeführt.

1, 25 · 10x 1 + 1, 25 · 5x 2 = 12, 5x 1 + 6, 25x 2 = 40 ⇒ Achsenabschnitte: x 1 = 3, 2; x 2 = 6, 4.

⇒

für x 1 = 0 ⇒ x 2 = 6, 4 und für x 2 = 0 ⇒ x 1 = 3, 2

Anmerkung: Das ist äquivalent (d.h. man würde auf dieselbe Budgetgerade kommen) zu einer Einkommensteuer 1 . von 20% = 1 − 1.25 6. Das Einkommen unterliegt einer Einkommenssteuer von 25 Prozent.

10x 1 + 5x 2 = 0, 75 · 40 = 30 ⇒ für x 1 = 0 ⇒ x 2 = 6 und für x 2 = 0 ⇒ x 1 = 3 ⇒ Achsenabschnitte: x 1 = 3; x 2 = 6.

Aufgabe 2 Budgetmengen bei mengenabhängigen Preisen

Eine Telefongesellschaft hat die folgende Preispolitik: Die ersten 50 Minuten pro Monat sind frei, für die nächsten 100 Minuten zahlt man 0,25 € pro Minute. Jede Minute darüber kostet 0,50 €. Beschreiben Sie die Budgetmenge eines Konsumenten, der ein monatliches Einkommen von 400 € (für Telefongespräche und ein zweites Gut) hat. Nehmen Sie an, dass der Preis des zweiten Gutes 1 € beträgt. Telefongespräche: x 1 ; zweites Gut: x 2 ; Einkommen: m

x2 =

m−p1 x 1 p2

= 400 − p1 x 1 =; Fallunterscheidung für p1 gibt:  falls x 1 ≤ 50  400, x 2 = 400 − 0, 25 (x 1 − 50) , falls 50 < x 1 ≤ 150  375 − 0, 5 (x 1 − 150) , falls x 1 > 150  falls x 1 ≤ 50  400, ⇔ x 2 = 412, 5 − 0, 25 x 1 , falls 50 < x 1 ≤ 150  450 − 0, 5 x 1 , falls x 1 > 150 x2

400 375

(Achtung: x 2 -Achse nur schematisch dargestellt, tatsächlicher Verlauf des Graphen ist flacher)

50

150

900

x1

⇒ konvexe Budgetmenge

2

Aufgabe 3 Nichtmonetäre Restriktionen

In Jans Geldbeutel befinden sich 100 €, die kurzfristig seine einzige Einkommensquelle darstellen. Jan hat noch 6 Stunden bis zu seiner Hochzeit. Er kann in dieser Zeit noch für 10 € die Stunde ins Solarium (x 1 ) gehen oder zu einem Hochzeitstanzkurs (x 2 ), der 50 € die Stunde kostet. a) Tragen Sie die beiden Restriktionen ein und kennzeichnen Sie Jans verfügbare Bündel (=Budgetmenge).

x2 6

2 1 5 6

10

x1

b) Geben Sie Beispiele für weitere Konsumrestriktionen, die nicht nur das Einkommen berücksichtigen. Weitere Beispiele wären, dass man z. B. nicht mehr Dinge einkaufen kann als man nach Hause tragen kann, oder nicht mehr essen kann als in den Magen passt,...

Aufgabe 4 Anforderungen an rationale Präferenzen

Eine Präferenzrelation ist rational, wenn sie die Eigenschaften der Vollständigkeit und Transitivität erfüllt. Warum können sich Indifferenzkurven bei rationalen Präferenzen nicht schneiden? Betrachten wir 3 Güterbündel: X = (x 1 , x 2 ) , Y = ( y1 , y2 ) , Z = (z1 , z2 ). Für Präferenzen muss folgendes gelten: Vollständigkeit: Transitivität: Reflexivitat:

Allen Güterbündeln kann ein bestimmter Nutzenwert zugewiesen werden, so dass sie miteinander vergleichbar sind; X  Y oder Y  X . Wenn X  Y ∧ Y  Z dann gilt auch X  Z . Jedes Bündel ist zumindest gleichgut wie es selbst: X  X .

Würden sich Indifferenzkurven schneiden, wäre die Annahme der Transitivität verletzt:

Z Y X

Für den Schnittpunkt X gilt X ∼ Z und X ∼ Y . Transitivität fordert, dass dann auch Y ∼ Z gilt. Dazu müsste Z mit Y auf einer Indifferenzkurve liegen, was nicht der Fall ist.

3

Aufgabe 5 Indifferenzkurven

Zeichnen Sie für die folgenden Szenarien mindestens eine repräsentative Indifferenzkurve (IK), tragen Sie die dazugehörige Schlechtermenge ein und berechnen Sie die Grenzrate der Substitution (GRS): Definition Indifferenzkurve: alle Güterbündel mit U (x 1 , x 2 ) = U = konst.; Ermittlung der Funktionsgleichung durch Auflösen ∂U nach x 2 ; Definition GRS=− ∂∂xU1 / ∂ x 2 . a) Substitute: x 1 = Kekse in 5er Packungen; x 2 = Kekse in 3er Packungen.

x2 mögl. Nutzenfunktion: U (x 1 , x 2 ) = 5 x 1 + 3 x 2

10 IK generell:

u−5x 1 3

IK gezeichnet:

GRS = −5/3

30−5x 1 3

und

15−5x 1 3

Schlechtermenge: hellgrau hinterlegt bzw. schwarz schraffiert

5

3

x1

6

b) Komplemente: x 1 = Spielkonsole; x 2 = Spiele für die Konsole; Annahme: Spiele stiften nur dann einen Nutzen, wenn der Konsument eine Konsole hat, weitere Konsolen erhöhen den Nutzen jedoch nicht!

x2 ¨

0, x2, (für ganzzahlige Spiele und Konsolen)

mögl. Nutzenfunktion: U (x 1 , x 2 ) =

falls x 1 < 1 falls x 1 ≥ 1

Schlechtermenge: hellgrau hinterlegt bzw. schwarz schraffiert

2 GRS = 0

1

x1

1

c) Gut und Ungut: x 1 = Kuchen; x 2 = Verpackungsmüll; mit U (x 1 , x 2 ) =

x2

x1 −

p

x 2 (CES-Nutzenfunktion)

qx  p p 2 IK generell: x 2 = −u + x 1 ; mit x 1 ≥ u; GRS = + x 2 1  p 2 IK gezeichnet: x 2 = x 1 (d. h. mit u = 0) und x 2 = −1 + x 1

GRS = 1

GRS =

p

Schlechtermenge: schwarz schraffiert bzw. hellgrau hinterlegt

qx

2

x1

x1

1

d) Quasi-lineare Präferenzen: x 1 = Kartoffeln; x 2 = Designeranzüge; mit U (x 1 , x 2 ) =

x2 IK generell: x 2 = u −

3 GRS = − 2

1 p

p

x1 + x2

p

x1 p p IK gezeichnet: x 2 = 3 − x 1 und x 2 = 1, 5 − x 1

x1

Schlechtermenge: hellgrau hinterlegt bzw. schwarz schraffiert

1, 5

2, 25

x1 4

Aufgabe 6 Nutzenfunktion vs. Indifferenzkurve

a) Grenzen Sie die Begriffe Nutzenfunktion und Indifferenzkurve voneinander ab. Die Indifferenzkurven bilden die Höhenlinien (level-curves) einer Nutzenfunktion, weil entlang der Indifferenzkurven der Nutzen dasselbe konstante Niveau hat. b) Nehmen Sie an U (x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 . Erstellen Sie eine dreidimensionale Zeichnung, in welcher der Nutzen auf der vertikalen z-Achse in Abhängigkeit vom Konsum der beiden Güter dargestellt wird. Tragen Sie in dieser Zeichnung Höhenlinien (=Isonutzenkurven=Indifferenzkurven) ein. In den folgenden Zeichnungen sehen wir einmal eine 3D Ansicht der Nutzenfunktion mit den eingetragenen Höhenlinien. Wenn man die Höhenlinien in der 2 dimensionalen Welt von x 1 + x 2 betrachtet ergibt sich das vertraute Bild der Indifferenzkurven. In diesem Fall haben wir die Indifferenzkurven von perfekten Substituten gezeichnet da, U (x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 .

U

40

←− U = 18 30 5

20

←−

4 3

10

U = 14

2 1 1

2

←−

3

4

5

6

7

8

9

U = 10

x1

Abbildung 1: Nutzenfunktion U (x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2

x2 ←− U = 18

8 6 4

←− U = 14

2 0 0

2

4

6

8

x1

←− U = 10

Abbildung 2: Indifferenzkurven von U (x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2

5

Zur Veranschaulichung folgen hier die Nutzenfunktion und Indifferenzkurven einer Cobb-Douglas Nutzenfunktion mit p U (x 1 , x 2 ) = x 1 · x 2 .

U

x2

20

←−

9 8

15

U =9

7 6

←−

5

10

4

U =7

3 5

2

←−

1 1

2

3

←−

4

5

Abbildung 3: Nutzenfunktion U (x 1 , x 2 ) =

6

p

7

8

9

U =5

U =3

x1

x1 · x2

x2 ←− U = 9

8 6

←− U = 7

4

←− U = 5

2

←− U = 3

0 0

2

4

6

8

x1

Abbildung 4: Indifferenzkurven von U (x 1 , x 2 ) =

p

x1 · x2

6...