Mikro Ü8 - Übung 8 PDF

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Übung 8...

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Mikro Ü8 8.1 Kostenfunktion und Angebot Gegeben seien die folgenden kurzfristigen Kostenfunktionen von Unternehmen, die fr einen Wettbewerbsmarkt produzieren: K(y) = 200 + 2y2 (I) K(y) = 10 + y + 0.1y2 (II) (a) Berechnen und zeichnen Sie die kurzfristigen Angebotskurven. Von kurzfristigen Kostenfunktion zu Angebotskurve. Jedes Unternehmen will seinen Gewinn maximieren. max G ( y )= p ∙ y −k ( y ) y

Maximieren:

' p⏟ =k ( y ) = GK ⏟ Grenzerlös

Grenzkosten

Hier: (I) K(y) = 200 +2y2  GK=p Ableitung: 4y=p, y=S(p)=p/4 (II)

K(y) = 10 + y + 0.1y2

Ableitung: GK=! p  1+0,2y=p y=S(p)=

für p ≥1 {5 p−5 0 für p−FK ¿ ¿ p y −VK ( y )>0 ⏟

FK vs.

¿

PR

Oder: ( PR ) y =D−DVK > 0 (geteilt durch y) -Ob die Unternehmen in der kurzen Frist Verlust machen, ist für die Produktionsentscheidung unerheblich! Dafür muss man den Preis den durchschnittliche Variablenkosten gegenüberstellen (denn Fixkosten fallen in der kurzen Frist sowieso aus oder die PR betrachten!! Hier: p=4, DVK+y2/y=y=2 p>DVK Daraus folgt dass die PR positiv ist. Hier: PR(y)=(p-DVK) ∙ y=4>0 -Die Unternehmen sollten an Markt teilnehmen. D ( p) = y=60 −5 p D p =12−0,2 y S (p )=10 p 1 pS = y 10 M ' Markt-PR: P R =20 ∙ P R =20 ∙ 4=80 0,5 ( 4−0 ) ∙ 40=80 ¿ Markt-KR: 0,5( 12−0 )∙ 40 =160 WF=KR+PR=240 (e) Berechnen Sie die Summe aus Konsumenten- und Produzentenrente im kurzfristigen Gleichgewicht und zeigen Sie Konsumenten-, Produzentenrente und ihre Summe in einer Grafik.

8.3: Kurz- und langfristiges Marktgleichgewicht Gegeben sei die folgende kurzfristige Kostenfunktion: K(y) = 1 + y2.

3

(a) Bestimmen Sie die kurzfristige Angebotskurve einer Firma mit dieser Kostenfunktion bei vollkommener Konkurrenz und stellen Sie diese graphisch dar. Berechnen Sie den gewinnmaximierenden Output bei (i) p = 1 und (ii) p = 3. Markieren Sie in Ihrer Zeichnung die Kosten, den Gewinn und die Produzentenrente fr den Fall (i). p=GK(y), p=2y S(p)=y(p)= DK =

1 1 p, S(p=1) = 2 2

, S(p=3) =

3 2

K ⇔K (gesamte Kosten)= y ⋅ DK y

Graphisch: für den Gewinn muss man auch DK berechnen und einzeichnen. [da Gewinn = Erlös – Gewinn = p∙ y−DK ∙ y ] → DK =

1+ y 2 1 + y − y y

-DK(y=1) =2 DK(y=0,5) =

DK(y=0,25) =

DK(y=0,1) =

1 +0,5 =2+ 0,5=2,5 0,5 1 +0,25 =4,25 0,25 1 +0,1 =10,1 0,1

(b) Wie 2ndern sich Ihre Antworten auf die vorhergehenden Teilaufgaben, falls die Fix- kosten bei Nullproduktion vermieden werden k=nnen, d.h.: K(y) = 1 + y2 fr y > 0 und K(0) = 0. In a): Gewinnmaximierender Output gegeben durch p=GK Daraus folgt S(p)=

1 1 p , S(p=1)= 2 2

, S(p=3)=

{⏞

Quasifixkosten

Neue Kostenfunktion:

1+ y 2 , falls y >0 0, falls y =0

FALL 1: p=1 Im Markt: p G(y=0,5)

4

3 2

Das Unternehmen tritt aus dem Markt aus. FALL 2: p=3 y(p=3) =

3 2

1 3 2 3 13 + = + = < p=3 3 DK(y= )= 3 2 3 2 6 2 2 p>DK: Unternehmen macht positiven Gewinn.

) ) (⏟

3 2 5 3 9 9 3∙ − +1 = − −1= >0 G(y(p=3)) = ⏟ Das Unternehmen bleibt am Markt. 2 2 2 4 4 py

K ( y)

(c) Gegeben sei ein Konkurrenzmarkt mit einer großen Anzahl von Firmen, die alle mit der Kostenfunktion aus der letzten Teilaufgabe produzieren k=nnen. Wie groß ist das Marktangebot von n Firmen? Wie hoch ist der minimale Preis, bei dem eine positive Menge angeboten wird? -Marktangebot bei n Firmen! 1 S M ( p)=n∙ S ( p )=n ∙ p 2 -Minimaler Preis, damit eine positive Menge eingesetzt wird? Kurzfristig? wenn PR≥ 0 , bzw . p ≥ DVK ( ¿ y ) → p ≥ y ≥ 0 ⇔p ≥ 0 Langfristig? Produzieren, wenn

p≥ DK

Minimaler Preis gibt Nullgewinner p=DK ( p≥

1 +y¿ y

-Unternehmer sind Gewinnmaximierer: p=GK Daraus folgt für den minimalen Preis, bei den linearen positiven Menge angeboten wird, dass gelten muss. p=GK > DK 1 1 2 y= + y , y= , y 2=1, y=1 y y -GK(y=1) = 2 = pmin -langfristig ist der minimale Preis also gleich 2 (d) Wie hoch ist der langfristige Gleichgewichtspreis bei freiem Marktzutritt, falls die Marktnachfrage durch D(p) = 100 − 5p gegeben ist? Wie viele Firmen sind in diesem langfristigen Gleichgewicht im Markt aktiv? Wie viel produziert jede dieser Firmen? D(p) =100-5p

5

Angebot=Nachfrage Von oben wissen wir, dass p=2 (weil p=DK, weil Unternehmen im langfristigen Gleichgewicht Nullgewinn machen müssen) n∙

1 p=100−5 p 2

1 n ∙ ∙ 2=100 −5∙ 2 →n=90 2 D ( p=2 )=100−5 ∙2 =90 90 Einheit werden auf dem Markt nachgefragt von oben: ein Unternehmen produziert 1 Einheit -90 Unternehmen sind auf dem Markt.

8.4: Marktgleichgewicht und Grenzprodukte In einem kompetitiven Markt wird mit Kapital K und Arbeit L das Gut L hergestellt. Die Produktionsfunktion lautet Y = K0.5 + L0.5. Der Lohnsatz w (Inputpreis fr Arbeit) ist 2 und der Zinssatz r (Inputpreis fr Kapital) 2. Der Marktpreis p fr das Gut ist 2. ∆f ∆ x2

Physisches GP =

Intuition: wieviel mehr Output produziert eine zusätzliche Einheit von x1. Wertgrenzprodukt: y=K

0,5

p=

∆ f (x 1 , x 2) ∆ x1

wieviel mehr Erlös bringt eine weitere Einheit von

x1 .

0,5

L , w=2, r=2, p=2

(a) Bestimmen Sie die physischen Grenzprodukte und die Wertgrenzprodukte von Kapital und Arbeit bei einem Input von 9 Einheiten Kapital und 4 Einheiten Arbeit. Physische GPL=

dy 1 =0,5∙ L−0,5 an der Stelle 4 :0,5 ∙ 4−0,5= 4 dL

Physische GPM=

dy 1 =0,5∙ M −0,5 an der Stelle 9 :0,5 ∙ 9−0,5 = 6 dM

WGPL= p∙

1 dy − 0,5 − 0,5 =0,5 ∙ p∙ L hier : 0,5 ∙2 ∙ 4 = 2 dL

WGPM= p∙

dy 1 =0,5 ∙ p ∙ M −0,5 hier : 0,5∙ 2 ∙9−0,5= 3 dM

(b) Geben Sie die physischen Grenzprodukte und die Wertgrenzprodukte im Gleichgewicht an.

6

Im Gleichgewicht maximieren Firmen ihren Gewinn:

y=L0,5 + M 0,5

maximieren py−K ( y) max P ∙ ( L0,5 + M 0,5) −(⏟ w ∙ L+ r ∙ M ) L,M

K( y)

Daher muss gelten, Wertgrenzprodukt=GK des Inputfaktors

(

p∙ GP=GK bzw . GP=

GK p

)

Hier: WGPL ¿ 0,5 ∙ p ∙ L 0,5=w =2 WGPM ¿ 0,5 ∙ p ∙ M 0,5 =r =2 GP ¿

GK w 2 = = =1 p 2 p

GPM ¿

GK M r 2 = = =1 p p 2

(c) Bestimmen Sie den Output, den ein Unternehmen mit obiger Produktionsfunktion im Gleichgewicht produziert. Von oben: GPL=1

GPM=1

0,5L-0,5=1 L=K =

⇔

1 4

() ()

y=

7

1 4

0,5

+

1 4

⋀

0,5

=1

0,5K-0,5=1...