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Modelo mecánico cuántico o matemático.
1.1.1.1 Relación de De’Broglie.
1.1.1.2 Principio de incertidumbre de Heiserberg.
1.1.1.3 Ecuación de Schrödinger.
1.1.1.4 Números cuánticos n, l, ml, ms.
1.1.1.5 Principio de exclusión de Pauli.
1.1.1.6 Configuración electró...

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CONFERENCIA 2. MODELO MECÁNICO CUÁNTICO Temario: 1.1.1 Modelo mecánico cuántico o matemático. 1.1.1.1 Relación de De’Broglie. 1.1.1.2 Principio de incertidumbre de Heiserberg. 1.1.1.3 Ecuación de Schrrödinger. 1.1.1.4

l

Números cuánticos n, , ml, ms.

1.1.1.5 Principio de exclusión de Pauli. 1.1.1.6 Configuración electrónica: esquema de AUFBAUEN 1.1.1.7 Regla de Hund. 1.1.1.8 Diamagnetismo y paramagnetismo. 2. Mecánica ondulatoria. 2.1 Tipos de Onda. 2.2 Partícula en una caja. 2.3 Función radial y angular. 2.4 Función de onda del átomo de Hidrogeno. OBJETIVOS  Analizar el modelo mecánico cuántico basándonos en la relación de De’Broglie y el principio de incertidumbre de Heiserberg.  Utilizar números cuánticos para la determinación del nivel energético de un electrón.  Estructurar y obtener funciones de onda para el átomo de hidrogeno. Relación de De’Broglie: Louis de De’Broglie sugirió que el electrón en su trayectoria circular alrededor del núcleo, tiene asociado a él, una longitud de onda particular: propuso que la longitud de onda característica del electrón o cualquier otra partícula de su masa, m, y de su velocidad 𝑣. V: → λ = f (m, V)

Que matemáticamente se expresa como:

Fórmula:

𝝀=

𝒉 𝒎𝑽

(1)

Figura 8.

La cantidad, mv, para cualquier, objeto se llama “momento”. De’Broglie utilizo el término “ondas de materia” para describir las ondas asociadas a las partículas materiales.

PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISERBERG

X1 1.

X2 2.

X3 3.

V1

t1

V

t

V2

t2

Según la física, Newtoniana, podemos calcular “exactamente”. 1) Su posición( ) Xi →Xi 2) La dirección de su movimiento → 3) La velocidad en cualquier momento v→ P= mv

V3 , t 3

La pregunta es: ¿podemos hacer lo mismo con el electrón que presenta propiedades ondulatorias? El físico Alemán Werner Heisenberg llego a la conclusión de que existe “una limitación fundamental para determinar con precisión tanto la ubicación (X i), como el momento (mvi) de cualquier objeto”. La limitación adquiere importancia solamente cuando tratamos con la materia a nivel sub-atómico, eso es, con masa tan pequeño como las de un electrón. El principio de Heisenberg se llama: “principio de incertidumbre” cuando se aplica a los electrones de un átomo, este principio establece que: “es imposible conocer simultáneamente el momento exacto del electrón, y su ubicación en el espacio”. Por tanto no es apropiado imaginar a los electrones moviéndose en orbitas circulares bien definidos alrededor del núcleo. Por lo que se recurre a una “aproximación estadística” y se habla de la probabilidad de encontrar un electrón en determinadas regiones del espacio.

“El principio de incertidumbre y la relación de De’Broglie permiten enunciar los conceptos fundamentales de la mecánica cuántica” 1) Los átomos y moléculas solo pueden existir en determinados estados de energía, en el cual tienen energía definida, cuando el átomo o molécula cambia de estado de energía, debe emitir o absorber suficiente energía para llegar al nuevo estado de energía “condición cuántica”

2) Los átomos y moléculas emiten o absorben radiaciones (luz) cuando sus energías cambian. La frecuencia de la luz, que emiten o absorben se encuentra relacionada con el cambio de energía mediante una ecuación sencilla. 𝜟𝑬 = 𝒉 𝒗 = 𝒉 𝒄/𝝀

3) Los estados de energía permitidos para los átomos y moléculas pueden describirse mediante un conjunto de números conocidos como “números cuánticos”

“NÚMEROS CUÁNTICOS” El estudio de los átomos y moléculas según la mecánica cuántica es de: “Tipo Matemático”: el concepto es: cada solución de la ecuación de onda de Schrödinger. [Ə2Ψ-/ ƏX2 + Ə2Ψ/ ƏY2 + Ə2Ψ/ ƏZ2 +

𝟖𝝅𝟐 𝒎 𝒉𝟐

(𝑬 − 𝑽) Ψ = 0]

Describe un estado de energía posible para los electrones del átomo. Cada solución se “describe” mediante un conjunto de cuatro números cuánticos. Los “orbitales atómicos” se deducen de las soluciones de la ecuación de Schrödinger. La ecuación de onda de Schrödinger da “funciones de onda” que describen los diversos “estados de energía” disponibles para el único electrón del Hidrogeno. Cada estado disponible se “describe” mediante un conjunto de cuatro números cuánticos. Los números cuánticos permiten describir el “ordenamiento electrónico” de los átomos, este ordenamiento electrónico, se conoce o se llama: configuración electrónica.

Los números cuánticos describen: Z

1. Niveles de energía de los electrones……. n 2. Forma de los orbitales………………………s, p, d, f 3. Orientación espacial de los orbitales……………….....…. 4. El giro de cada electrón en los orbitales… +

Y X

-

Un orbital atómico es la “región espacial” en la que hay mayor “probabilidad” de encontrar un electrón.

DESCRIPCIÓN DE CADA NÚMERO CUÁNTICO

1) El número cuántico principal, n, describe el nivel de energía principal que el electrón ocupa, puede ser cualquier entero positivo. n = 1, 2, 3, 4,…. 2) El número cuántico subsidiario (o azimutal) o secundario: l: indica la forma de la región que ocupa el electrón. Dentro de cada nivel de energía (n) lpuede tomar valores integrados de cero hasta (n-1) inclusive.

l = 0,

1, 2,…., (n-1)

El número cuántico subsidiario indica al subnivel o tipo específico de orbital que el electro puede ocupar.

l=

0,

1,

2, 3,

….,

↓

↓

↓

S,

p,

d, f, ……,

(n-1)

↓ tipo de subnivel

l

n= 1→ = (n-1) = (1-1) = 0 n= 2 →

l = (n-1) = (2-1) = 1

3) El número cuántico magnético, ml, indica la orientación espacial del orbital atómico.

l

l

ml = (- ), …., 0, ….. (+ )

l =1 → ml = -1, Px,

0,

+1 orbitales P;

Py, Pz.

Z

Py Y

X

l =2 → ml = -2, -1, 0, +1, 2, orbitales d; dxy, dxz, dyz, dz2, dx2-y2 Z yz -X

dz2 dyz

dx2-y2

-Y

Y

xz

xy

dxy X -Z

4) El número cuántico de giro, ms, se refiere al giro del electrón y la orientación del campo magnético que este produce, y solo puede tener dos valores, + ½ o-½

+

-

ms = ± ½

+½

-½

Los valores de n, l , ml , describen a un orbital atómico determinado. Sin embargo cada orbital atómico solo puede acomodar a dos electrones, uno con m s = +½ y otro con ms = - ½ El principio de exclusión de Pauli, indica que ningún par de electrones de cualquier átomo puede tener los cuatro números cuánticos iguales. Ejemplo: 1

-

1

2

e-

e-

n=1

n=1

l

l

=0

=0

ml= 0

ml= 0

ms = + ½

ms = - ½

+

CONFIGURACIONES ELECTRÓNICAS: Los números cuánticos permiten describir el ordenamiento electrónico de los átomos, este ordenamiento electrónico se denomina Configuración Electrónica. Este ordenamiento obedece al esquema de AUFBAUEN.

El llenado de los orbitales lleva a formular, la regla de Hund: los electrones deben ocupar todos los orbitales de un subnivel dado en forma individual antes de que se inicie el apareamiento. Estos electrones desapareados suelen tener giros paralelos.

MECÁNICA ONDULATORIA  Tipos de onda: Viajeras y estacionaras.  Partícula en una caja.  Funciones de onda del átomo de hidrogeno.  Función radial y angular. La relación de De Broglie, indica que: todas las partículas, “libre” en movimiento, tienen asociado un movimiento ondulatorio. λ

λ=

ℎ ℎ = 𝑚𝑣 𝑃

Lo que sugirió que dicho movimiento se le podía aplicar a los electrones en su movimiento alrededor del átomo. Cabe la pregunta: ¿cómo se pueden ver los electrones? Para contestar a la pregunta, se debe empezar por identificar dos tipos de ondas: ondas viajeras y ondas estacionarias. Viajeras: las olas en el mar, olas en el movimiento de una cuerda. Ondas estacionarias: otra forma de onda se puede “ver” en las vibraciones en una cuerda de guitarra. 

Los segmentos de la cuerda experimenta desplazamiento con el tiempo hacia arriba y hacia abajo.



Las crestas y los valles de las ondas se producen en proporciones fijas la amplitud en los extremos fijos es cero.



La “magnitud” de las oscilaciones difiere de un punto a otro a lo largo de la onda.



Las longitudes de onda permitidas, para las ondas estacionarias están cuantizadas. Su valor es:

𝛌= n+1

𝟐𝑳 𝒏

; n= 1, 2, 3, ….

No total de nodos=

En esta última ecuación: λ = longitud de onda. L= longitud de la cuerda. = nodos, puntos que no se desplazan. Partícula en una caja: En 1927, Erwin Schrödinger sugirió que un electrón o cualquier otra partícula que posea propiedades de onda podrían ser descritas mediante una ecuación matemática denominada función de onda. La función de onda representada por la letra griega Psi, Ψ, correspondería a una onda estacionaria dentro de los límites del sistema descrito. El sistema más sencillo para el que podemos escribir una función de onda es un “sistema unidimensional”, el de una partícula cuántica confinada a moverse. Es “una caja mono-dimensional”, una línea. La función de onda para la denominada partícula en una caja se parece a los de una cuerda de guitarra pero ahora representa las

ondas de materia de una partícula. Como la partícula está restringida a estar en la caja, las ondas también deben estar dentro de la caja.

E Ondas estacionarias de una partícula en una caja monodimensional. n=3

n=2

n=1

𝛹3

NODO

𝛹2

Se muestran las tres primeras funciones y sus energías con respecto a la posición de la partícula dentro de la caja. “la función de onda cambia de signo en los nodos. Si la longitud de la caja es L y la partícula se mueve en la dirección x, la ecuación para una onda estacionaria es:

𝛹1

L

𝛹𝑛 (𝑥) = √

2 𝑛𝜋 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑥 𝐿 𝐿

𝛹𝑛 (𝑥) = √

𝑛𝜋𝑥 2 ) ; 𝑛 = 1, 2, 3 𝑆𝑒𝑛 ( 𝐿 𝐿

El número cuántico, n, identifica la función de onda.

Esta función de onda es una función seno. Para demostrarlo, vamos a considerar el caso para n= 2… Cuando: 𝜳𝒏 (𝒙) = √𝑳 𝑺𝒆𝒏 ( 𝟐

X=0

X=

𝑳

𝟒

X=

X=

𝑳

𝟐

𝟑𝑳 𝟒

X=L

sen 2πx / L = 𝑳

sen 2π ( ) 𝟒

𝑳

𝑳

)

n=1, 2, 3,…

sen (0) =0 → Ψn (x) =0 𝝅

/ L= sen 𝟐 =1 → Ψn (x) = (2/L)1/2

sen 2π ( ) 𝟐

/ L= sen π= 0 → Ψn (x) =0

𝟑𝑳

sen 2π ( )/ L= sen 𝟒

𝒏𝝅𝒙

sen 2π(L) / L =

𝟑𝝅 𝟐

=-1 → Ψn (x) = - (2/L)1/2

sen 2π = 0 → Ψn (x) =0

Podemos ver que: -

En un extremo de la caja (x=0), tanto la “función seno” como la “función de onda” son cero…

-

A un cuarto de la longitud de la caja (x= L/4), tanto la “función seno” como la “función de onda” alcanzan sus valores máximos.

-

En el punto medio de la caja, ambos son cero; la función de onda tiene un nodo.

-

A tres cuartos partes de la longitud de la caja, ambas funciones alcanzan sus valores mínimos (valores negativos)

-

Al “final de la caja”, ambas funciones son de nuevo cero.

FUNCIONES DE ONDA DEL ÁTOMO DE HIDROGENO.

En 1927, Schrödinger demostró que las funciones de onda de un sistema mecánico cuántico pueden obtenerse resolviendo una ecuación de onda que desde entonces es conocida como ecuación de Schrödinger.

Las soluciones de la Ec. de Schrödinger. Para el átomo de Hidrogeno “proporcionan” las “funciones de onda” para el electrón en el átomo de Hidrogeno. Estas funciones de onda se denominan ORBITALES para distinguirlas de los orbitas de la teoría de Bohr. Las funciones de onda se analizan más fácilmente en función de las “variables necesarias” para “definir” un punto con respecto al núcleo. El en sistema habitual de “coordenadas cartesianas”, estas tres variables son las dimensiones x, y, z. En el sistema de “coordenadas polares esféricas” las variables son: r: distancia desde el punto al núcleo. Ángulo Ɵ y ángulo ø : describen la orientación del eje radial r con respecto a los ejes x, y, z. (ver sig. figura)

z Relación entre las coordenadas polares esféricas y las relaciones y las coordenadas cartesianas.

0

Ɵ r

y ø

x Coordenadas polares esféricas. X2 + Y2 + Z2 = r2

X = r sen Ɵ cos ø

Y = r sen Ɵ sen ø Z = r cos Ɵ

Las coordenadas X, Y y Z se expresan en función de la distancia r y los angulares Ɵ y ø

En el sistema de coordenadas cartesianas los orbitales implicarían los tres variables x, y, z. En el sistema polar esférico, los orbitales pueden expresarse mediante una función R que dependen solo de r y una segunda función Y dependen de Ɵ y ø. Es decir:

Ψ(r, Ɵ, ø) = R ((r) r) Y (Ɵ, ø)

La función R(r) se denomina función de onda radial y las función Y ( Ɵ, ø) se denomina función de onda angular. Cada orbital tiene tres números cuánticos que lo definen, puesto que el átomo del hidrogeno es un sistema tridimensional. El conjunto particular de números cuánticos proporciona una fama particular a las funciones R(r) y Y ( Ɵ, ø) . La densidad de probabilidad y la distribución espacial de estas densidades pueden obtenerse a partir de la forma de estas funciones. Los orbitales son funciones de onda, es decir, soluciones matemáticas de la ecuación de onda de Schrödinger. La función de onda, Ψ, por si misma no tiene significado físico, pero el cuadrado de la función de onda, Ψ2, es una magnitud relacionada con las probabilidades. Las distribuciones de densidad de probabilidad basada en Ψ2 son tridimensionales y estas regiones tridimensionales son los que llamamos forma de un orbital. “Para obtener la función de onda para un estado particular simplemente, multiplicamos la parte radial por la parte angular”

Analizando la tabla 1.

Tabla 1. Las funciones de onda angular y radial de un átomo hidrogenoide ORBITALES S Para obtener una función de onda completa para el orbital 1s del hidrogeno, utilizamos z=1 y n=1 y combinamos las funciones de onda angular y radial

Colores rojo(radial) y azul(angular)

Al elevar Ψ2 (1s) obtenemos una expresión para la densidad de probabilidad de encontrar un electrón 1s a una distancia r del núcleo en un átomo de hidrogeno: 𝟐 (𝟏𝒔)

𝜳

𝟏

= 𝒙 𝝅

(𝟏)𝟑 𝒂𝟑𝟎

−𝟐

𝒆

𝒓 𝒂𝟎

=

−𝟐

𝒓

𝒆 𝒂𝟎 𝝅𝒂𝟑𝟎

BIBLIOGRAFÍA  Ralph H. Petrucci, F. Geoffrey Herring, Jeffry D. Madura y Carey Bissonnette. Química General. Décima edición. PEARSON EDUCACIÓN, S.A., Madrid, 2011. Cap. 8, Pag 294.  Kennet W. Whitten, Kennet D. Gailey, Raymond E. Davis. Química General. Tercera edición. México. Cap. 4, Pag. 106.  Brown, Theodore. Química la ciencia central. PEARSON S.A., México, 2009. Cap. 6, Pag.210.  Raymond Chang. Química. Novena edición. Cap. 7, Pag. 266.  Silberberg. Química la Naturaleza Molecular del Cambio y la Materia. Segunda edición. México. Cap. 7, Pag. 282....