Modelos Matemáticos de Sistemas de Controle PDF

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Material de AMSD do Prof. Klaus...

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CAP 2 MODELOS MATEMA TICOS DE SISTEMAS DE CONTROLE

2.1 – INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 1 2.2 – MODELAGEM MATEMÁTICA NO DIAGRAMA DE BLOCOS ............................ 1 2.3 – FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ............................................................................... 2 2.4 – MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS .......................................................... 4 2.4.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................... 4 2.5 – MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS ............................................................ 9 2.5.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................... 9 2.6 – MODELAGEM DE SISTEMAS ELETRO-MECÂNICOS ....................................... 12 2.7 – TRANSFORMAÇÕES COM DIAGRAMAS DE BLOCOS ..................................... 16 2.7.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................. 18 2.8 – DIAGRAMA DE FLUXO DE SINAIS (DFS) ........................................................... 21 2.8.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................. 23 2.8.2 – FÓRMULA DE GANHO DE MASON ................................................................... 25 2.8.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................. 26 2.9 – GRAFO DE FLUXO DE SINAIS AMOSTRADO .................................................... 31 2.10 – MATLAB .................................................................................................................. 35 2.11 – LISTA DE EXERCÍCIOS ......................................................................................... 35

2.1 – INTRODUÇÃO A modelagem matemática de sistemas de controle tem como objetivo obter um modelo matemático que represente uma relação de entrada e saída em um sistema de controle qualquer, ou seja, sua função de transferência. A representação gráfica do modelo matemático é baseada, principalmente, no Diagrama de Blocos. 2.2 – MODELAGEM MATEMÁTICA NO DIAGRAMA DE BLOCOS O Diagrama de Blocos contém informações relativas ao comportamento dinâmico do sistema de controle. Na modelagem matemática as variáveis de entrada e de saída são representadas no diagrama e o processo é representado por sua Função de Transferência, normalmente, no domínio de Laplace. Sinal de Entrada

R(s)

Sinal de Saída

C(s)

G(s)

Função de Transferência (Transmitância)

Somente três operações são representadas pelo Diagrama de Blocos: 1ª Produto de Transmitância:

C (s ) = G (s )R (s ) 2ª Soma/Subtração: a

+

a-b

OU

_

a

+

a-b b

b 3ª Ramificação: R(s) R(s)

G(s)

C(s) C(s)

1

Para sistemas de controle digital utiliza-se a transformada pulsada ou a transformada 𝒵 para a representação das funções de transferência.

𝑅(𝑠)

𝑇𝑠

𝑅 ∗(𝑠)

𝐺 ∗(𝑠)

𝑌 ∗ (𝑠)

𝑇𝑠

Amostrador Fictício (possui mesmo 𝑇𝑠 ) não alterando 𝑌 ∗ (𝑠).

ou

𝑅(𝑧)

𝐺(𝑧)

𝑌 ∗ (𝑠)

𝑌(𝑧)

2.3 – FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A função de transferência é uma relação matemática entre uma entrada e uma saída de um sistema de controle. Para sistemas contínuos utiliza-se a Transformada de Laplace para representar essa função. 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐺(𝑠) =

ℒ[𝑠𝑎í𝑑𝑎 ] | ℒ[𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎] 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑢𝑙𝑎𝑠

O conceito de função de transferência é limitado a sistemas de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo. Essas equações representadas no domínio de Laplace dão origem a funções polinomiais na forma: 𝑌(𝑠) 𝑏0 𝑠 𝑚 + 𝑏1 𝑠 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚−1 𝑠 + 𝑏𝑚 = 𝐺(𝑠) = 𝑋(𝑠) 𝑎0 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑠 + 𝑎𝑛

𝑚≤𝑛

As raízes do polinômio do numerador da função de transferência são chamadas de ZEROS da função e as raízes do polinômio do denominador são os PÓLOS da função ou do sistema de controle. A resposta impulsiva de um sistema de controle permite obter o modelo do sistema, ou seja, 𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑋(𝑠) ) 𝑌(𝑠 = 𝐺(𝑠)∆(𝑠) = 𝐺(𝑠)

Assim, a função característica do sistema é obtida pela transformada inversa de Laplace da resposta impulsiva do sistema de controle: 𝑔(𝑡) = ℒ−1 [𝑌(𝑠)]

2

Em um sistema realimentado, como o representado na figura abaixo, R(s) +

E(s) - B(s)

G(s)

C(s)

H(s)

a função de transferência de malha aberta é a relação entre o sinal de realimentação, 𝐵(𝑠), e o sinal de erro atuante, 𝐸(𝑠), ou seja: 𝐵(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 𝐸(𝑠)

A função de transferência do ramo direto, por outro lado, é a relação entre o sinal de saída, 𝐶(𝑠), e o erro atuante, 𝐸(𝑠): 𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠) 𝐸(𝑠)

Em sistemas com realimentação unitária a função de transferência do ramo direto é igual à função de transferência de malha aberta.

A relação entre o sinal de saída, 𝐶(𝑠), e o sinal de entrada, 𝑅(𝑠), de um sistema de malha fechada é chamada de função de transferência de malha fechada e é obtida, a partir do diagrama de blocos, da seguinte forma: 𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝐸(𝑠) { 𝐸(𝑠) = 𝑅 (𝑠) − 𝐵(𝑠) 𝐵(𝑠) = 𝐻(𝑠)𝐶(𝑠)

Substituindo (𝑖𝑖𝑖) em (𝑖𝑖) e o resultado em (𝑖), tem-se:

(𝑖) (𝑖𝑖) (𝑖𝑖𝑖)

𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠)[𝑅(𝑠) − 𝐻 (𝑠)𝐶(𝑠)] 𝐶(𝑠) + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠)[1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)] = 𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) 𝐺(𝑠) 𝐶(𝑠) = 𝑅(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

3

2.4 – MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS Elementos ideais básicos e suas equações para condições iniciais nulas. ELEM

SÍMBOLO

Mola

k

b

Freio Massa

m

Inércia

𝐽

EQUAÇÃO CONTÍNUA

𝑓(𝑡) = 𝑘𝑥 (𝑡)

𝐹(𝑠) = 𝑘𝑋(𝑠)

𝑓(𝑡) = 𝑏𝑥󰇗 (𝑡)

𝐹(𝑠) = 𝑏𝑠𝑋(𝑠)

𝑓(𝑡) = 𝐽𝑥󰇘 (𝑡)

𝐹(𝑠) = 𝐽𝑠 2 𝑋(𝑠)

𝑓(𝑡) = 𝑚𝑥󰇘 (𝑡) 𝐹(𝑠) = 𝑚𝑠 2 𝑋(𝑠)

1 {𝑥(𝑛𝑇𝑠 ) − 𝑥(𝑛𝑇𝑠 − 𝑇𝑠 )} 𝑇𝑠 1 ∇2𝑥 [𝑛] = {𝑥(𝑛𝑇𝑠 ) − 2𝑥(𝑛𝑇𝑠 − 𝑇𝑠 ) + 𝑥(𝑛𝑇𝑠 − 2𝑇𝑠 )} 𝑇𝑠 𝑇𝑠 é o período de amostragem

EQUAÇÃO DISCRETA

𝑓[𝑛] = 𝑘𝑥[𝑛]

𝐹(𝑧) = 𝑘𝑋(𝑧)

𝑓[𝑛] = 𝑏∇ 𝑥 [𝑛]

𝑓[𝑛] = 𝑚∇𝑥2 [𝑛] 𝑓[𝑛] = 𝐽∇𝑥2 [𝑛]

∇𝑥 [𝑛] =

OBS: Pêndulo Simples Regra de 3 simples: Perímetro Ângulo 2𝜋𝐿 2𝜋 𝑠 𝜃 ∴ 𝑠 = 𝐿𝜃 A aceleração do pêndulo é dada por: 𝑑2 𝑠 𝑎 = 2 → 𝑎 = 𝐿𝜃󰇘 𝑑𝑡 A força do pêndulo é dada por: 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝐿 𝜃󰇘 que é a soma vetorial de 𝑇󰇍 com 𝑚𝑔, assim:

𝐹 = 𝑇󰇍 + 𝑚𝑔 𝑚𝐿𝜃󰇘 = −𝑚𝑔cos 𝜃 + 𝑚𝑔 cos 𝜃 + 𝑚𝑔 sin 𝜃 𝜃󰇘 +

𝑔 sin 𝜃 = 0 (Equação de Mathieu) 𝐿

𝐹(𝑧) =

𝐹(𝑧) = 𝐹(𝑧) =

𝑏 (1 − 𝑧 −1 )𝑋(𝑧) 𝑇𝑠

𝑚 (1 − 𝑧 −1 )2 𝑋(𝑧) 𝑇𝑠

𝐽 (1 − 𝑧 −1 )2 𝑋(𝑧) 𝑇𝑠

Para 𝜃 pequeno, sin 𝜃 ≅ 𝜃, logo, 𝜃󰇘 + 𝜃 = 0, 𝐿 cuja solução da EDO é: 𝑔󰇍

𝜃 = Acos (√ 𝐿 𝑡 + 𝜑), 𝑔

Assim, o período de oscilação do pêndulo é: √𝐿 = 𝑔

2𝜋 𝑇0

→ 𝑇0 = 2𝜋√

𝐿

𝑔

4

2.4.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Um sistema de amortecimento de impacto para veículos de passeio é mostrado na figura abaixo. Sabendo que o sistema possui uma mola e um dispositivo de freio para oscilação, obtenha a representação esquemática do sistema bem como o seu modelo matemático.

SOLUÇÃO Representação Esquemática do Sistema Entrada (força)

k u (t )

Saída (deslocamento)

m

b

y (t )

Modelagem Matemática ∑ 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 = 0

𝑢(𝑡) = 𝑘𝑦(𝑡) + 𝑏𝑦󰇗 (𝑡) + 𝑚𝑦󰇘 (𝑡)

No domínio de Laplace, considerando que o sistema se encontra em repouso com condições iniciais nulas.

𝑈(𝑠) = 𝑘𝑌(𝑠) + 𝑚𝑠2 𝑌(𝑠) + 𝑏𝑠𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) = 𝑌(𝑠)(𝑘 + 𝑏𝑠 + 𝑚𝑠 2 ) 

5

⁄ 1 1𝑏 𝑘 = 𝑠 2 + 𝑚𝑠 + 𝑚 = 𝑈(𝑠) 𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘 𝑚 Diagrama de Blocos 𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)

1⁄ 𝑚 𝑏 𝑘 𝑠2 + 𝑠 + 𝑚 𝑚

𝑌(𝑠)

2. (DORF E2.20 Modificado) O sistema de posicionamento de alta precisão de uma peça deslizante está mostrado na figura abaixo. Determine a função de transferência 𝑋(𝑠) ⁄𝐹(𝑠) quando o coeficiente de atrito viscoso da haste acionadora é 𝑏1 = 1[𝑁 ∙ 𝑠 ⁄𝑚 ], a constante de mola da haste acionadora é 𝑘 = 3[𝑁 ⁄𝑚 ], a massa é 𝑚 = 3[kg] e o atrito de deslizamento é 𝑏2 = 2[𝑁 ∙ 𝑠 ⁄𝑚 ]. x(t)

f(t) b1 Carrinho m

b2

k SOLUÇÃO

∑𝐹 = 0

𝑓(𝑡) − 𝑏1 𝑥󰇗 (𝑡) − 𝑘𝑥(𝑡) − 𝑏2 𝑥󰇗 (𝑡) − 𝑚𝑥󰇘 (𝑡) = 0 𝑓(𝑡) = 𝑏1 𝑥󰇗 (𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) + 𝑏2 𝑥󰇗 (𝑡) + 𝑚𝑥󰇘 (𝑡) 𝐹(𝑠) = 𝑏1 𝑠𝑋(𝑠) + 𝑘𝑋(𝑠) + 𝑏2 𝑠𝑋(𝑠) + 𝑚𝑠2 𝑋(𝑠) 𝐹(𝑠) = 𝑋(𝑠)[𝑏1 𝑠 + 𝑘 + 𝑏2 𝑠 + 𝑚𝑠 2 ] 𝑋(𝑠) 1 = 𝐹(𝑠) 𝑚𝑠 2 + (𝑏1 +𝑏2 )𝑠 + 𝑘 𝑋(𝑠) 1⁄𝑚 = (𝑏 +𝑏 ) 𝑘 𝐹(𝑠) 𝑠 2 + 1𝑚 2 𝑠 + 𝑚 Assim, 𝑋(𝑠) 1⁄3 = 2 𝐹(𝑠) 𝑠 + 𝑠 + 1

6

3. Um sistema de controle é mostrado na figura abaixo. Obtenha o Diagrama de Blocos desse sistema bem como suas funções de transferência. Considere 𝑀1 = 100[𝑘𝑔], 𝑀2 = 10[𝑘𝑔], 𝑏1 = 2[𝑁 ∙ 𝑠 ⁄𝑚 ], 𝑏2 = 1[𝑁 ∙ 𝑠 ⁄𝑚 ] e 𝑘 = 10 [𝑁 ⁄𝑚 ]

k

M2

b1

y2 (t )

b2 M1

SOLUÇÃO Modelo Matemático Modelagem do bloco 𝑀1

y1 (t )

r (t )

∑ 𝐹𝑀1 = 0

𝑟(𝑡) = 𝑀1 𝑦󰇘 1 (𝑡) + 𝑏1 𝑦󰇗 1 (𝑡) + 𝑏2 {𝑦󰇗 1 (𝑡) − 𝑦󰇗 2 (𝑡)} 𝑅(𝑠) = {𝑀1 𝑠 2 + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑠}𝑌1 (𝑠) − 𝑏2 𝑠𝑌2 (𝑠) 𝑅(𝑠) = (100𝑠 2 + 3𝑠)𝑌1 (𝑠) − 𝑠𝑌2 (𝑠) 𝑅(𝑠) = (100𝑠 + 3)𝑌1 (𝑠) − 𝑌2 (𝑠) 𝑠 𝑅(𝑠) (𝑖) 𝑌2 (𝑠) = (100𝑠 + 3)𝑌1 (𝑠) − 𝑠

Modelagem do bloco 𝑀2

∑ 𝐹𝑀2 = 0

𝑏2 {𝑦󰇗 1 (𝑡) − 𝑦󰇗 2 (𝑡)} = 𝑀2 𝑦󰇘 2 (𝑡) + 𝑘𝑦2 (𝑡) 𝑏2 𝑠𝑌1 (𝑠) = {𝑀2 𝑠 2 + 𝑏2 𝑠 + 𝑘}𝑌2 (𝑠) 𝑠𝑌1 (𝑠) = (10𝑠 2 + 𝑠 + 10)𝑌2 (𝑠) 10𝑠 2 + 𝑠 + 10 ) 𝑌2 (𝑠) (𝑖𝑖) 𝑌1 (𝑠) = ( 𝑠

7

O Diagrama de Blocos: R(s)

1 𝑠

_

+

100𝑠 + 3

Para obtenção das funções de transferência

Y1 (s) e Y2 ( s) .

Y2(s) 10𝑠 2 + 𝑠 + 10 𝑠

𝑌1 (𝑠)

𝑅(𝑠)

Y1(s)

𝑌 (𝑠)

2 basta substituir a equação ( ii) na equação (i) para e 𝑅(𝑠)

Substituindo em Y2 ( s) para obtenção da função de transferência 𝑅(𝑠) 𝑠 𝑌1 (𝑠)} = (100𝑠 + 3)𝑌1 (𝑠) − { 2 10𝑠 + 𝑠 + 10 𝑠 𝑠 𝑅(𝑠) { − (100𝑠 + 3)} 𝑌1 (𝑠) = − 𝑠 10𝑠 2 + 𝑠 + 10 𝑠 − (100𝑠 + 3)(10𝑠 2 + 𝑠 + 10) 𝑅(𝑠) (𝑠) { } 𝑌 = − 1 𝑠 10𝑠 2 + 𝑠 + 10 3 2 1000𝑠 + 130𝑠 + 1002 𝑠 + 30 𝑅(𝑠) { } 𝑌1 (𝑠) = 2 10𝑠 + 𝑠 + 10 𝑠 2 10𝑠 + 𝑠 + 10 𝑌1 (𝑠) = 3 𝑅(𝑠) 𝑠(1000𝑠 + 130 𝑠 2 + 1002𝑠 + 30) Substituindo em Y1 (s) para obtenção da função de transferência (10𝑠 2 + 𝑠 + 10) 𝑅(𝑠) (𝑠) (100𝑠 𝑌2 = + 3) { 𝑌2 (𝑠)} − 𝑠 𝑠

𝑌1 (𝑠)

:

𝑌2 (𝑠)

:

𝑅(𝑠)

𝑅(𝑠)

𝑠𝑌2 (𝑠) − (100𝑠 + 3)(10𝑠 2 + 𝑠 + 10)𝑌2 (𝑠) = −𝑅(𝑠) 𝑌2 (𝑠){𝑠 − (100𝑠 + 3)(10𝑠 2 + 𝑠 + 10)} = −𝑅 (𝑠) 𝑌2 (𝑠) 1 =− 𝑅(𝑠) 𝑠 − (100𝑠 + 3)(10𝑠 2 + 𝑠 + 10) 𝑌2 (𝑠) 1 = 3 𝑅(𝑠) 1000𝑠 + 130𝑠 2 + 1002𝑠 + 30

Da teoria de Sinais e Sistemas, sabemos que se o sistema é LTI, então a equação característica deve ser a mesma para todo o sistema, independentemente da quantidade de entradas e saídas, assim, 𝑠 𝑌2 (𝑠) = 𝑅(𝑠) 𝑠(1000𝑠 3 + 130 𝑠 2 + 1002𝑠 + 30)

8

2.5 – MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS Elementos ideais básicos e suas equações. ELEMENTO SÍMBOLO

Capacitor

C

Indutor

L

1 𝑣(𝑡) = ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝐶

𝑣𝑎 + 𝑣𝑏 −

𝑣𝑐

ELEMENTO

SÍMBOLO

Resistor

R

Capacitor

C

Indutor

L

Amplificador

𝑣(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡)

R

Resistor

Amplificador

EQUAÇÃO CONTÍNUA

𝑣(𝑡) = 𝐿

𝑑 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

𝑣𝑐 (𝑡) = 𝐾 [𝑣𝑎 (𝑡) − 𝑣𝑏 (𝑡)]

𝑉(𝑠) =

𝐼(𝑠) 𝑠𝐶

𝑉(𝑠) = 𝑠𝐿𝐼(𝑠) 𝑉(𝑠) = 𝐾 [𝑉𝑎 (𝑠) − 𝑉𝑏 (𝑠)]

EQUAÇÃO DISCRETA

𝑣[𝑛] = 𝑅𝑖[𝑛]

𝑉(𝑧) = 𝑅𝐼(𝑧)

𝑛

1 𝑣[𝑛] = ∑ 𝑖[𝑛] 𝐶

𝑉(𝑧) =

𝑘=0

𝑣𝑎 + 𝑣𝑏 −

𝑉(𝑠) = 𝑅𝐼(𝑠)

𝑣𝑐

1 𝐼(𝑧) 𝐶(1 − 𝑧−1 )

𝑉(𝑧) = 𝐿 (1 − 𝑧 −1 )𝐼(𝑧)

𝑣[𝑛] = 𝐿∇𝑖 [𝑛]

𝑣𝑐 [𝑛] = 𝐾[𝑣𝑎 [𝑛] − 𝑣𝑏 [𝑛]]

𝑉(𝑧) = 𝐾 [𝑉𝑎 (𝑧) − 𝑉𝑏 (𝑧)]

OBS: O uso de impedâncias é válido somente quando as condições iniciais forem nulas. 2.5.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. Um circuito de chaveamento é usado para converter um nível de tensão CC em uma saída de tensão CC. O circuito do filtro destinado a eliminar as frequências altas está mostrado na figura abaixo. Obtenha a função de transferência 𝑉2 (𝑠) ⁄𝑉1 (𝑠) . C

v1 (t ) + _

L R

v2 (t )

9

SOLUÇÃO Levando o circuito para o domínio da frequência e fazendo o divisor de tensão: 𝑉2 (𝑠) =

𝑅

𝑅 + 𝑠𝐿 +

1 𝑉1 (𝑠) 𝑠𝐶

𝑉2 (𝑠) 𝑠𝐶𝑅 = 𝑉1 (𝑠) 𝑠𝐶𝑅 + 𝑠2 𝐶𝐿 + 1 𝑅 𝑠𝐿 𝑉2 (𝑠) = 𝑉1 (𝑠) 𝑠 2 + 𝑠 𝑅 + 1 𝐿 𝐶𝐿

5. Seja o circuito abaixo, obtenha a Função de transferência e o Diagrama de Blocos do Sistema. R ei (t ) + _

C

e0 (t )

SOLUÇÃO R ei (t ) + _

e0 (t )

i(t ) C

1º) Queda de tensão no resistor. 𝑒𝑖 (𝑡) − 𝑒0 (𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) 𝑒𝑖 (𝑡) − 𝑒0 (𝑡) 𝑅 Aplicando Laplace: 𝐸𝑖 (𝑠) − 𝐸0 (𝑠) 𝐼(𝑠) = 𝑅

𝑖(𝑡) =

Diagrama de Blocos Parcial: 𝐸𝑖 (𝑠)

_ 𝐸0 (𝑠)

1 𝑅

𝐼(𝑠)

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2º) Queda de tensão no capacitor. 𝑒0 (𝑡) =

1

∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝐶 𝐼(𝑠) Aplicando Laplace: 𝐸0 (𝑠) = 𝑠𝐶 Diagrama de Blocos Parcial: 𝐼(𝑠)

1 𝑠𝐶

𝐸0 (𝑠)

3º) O Diagrama de Blocos Completo 𝐸𝑖 (𝑠)

_

1 𝑅

𝐼(𝑠)

1 𝑠𝐶

𝐸0 (𝑠)

4º) A Função de Transferência Da modelagem matemática de um sistema de malha fechada com realimentação negativa, temos:

FT =

G ( s) 1+ G ( s ) H ( s )

Do Diagrama de Blocos do Problema, G( s) =

1 1 1  , portanto, G( s) = e H ( s ) = 1. R sC sRC

1 E 0 (s ) E (s ) 1 = sRC = Assim, a FT do sistema é: , portanto, 0 . Ei (s) 1 1 1 Ei ( s) sRC + 1 +  sRC

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2.6 – MODELAGEM DE SISTEMAS ELETRO -MECÂNICOS Motor de Corrente contínua.

𝑒𝑎 _ 𝑇𝑚 (𝑡) = 𝐾𝑖 𝑖𝑎 (𝑡) 𝑑 𝑒𝑏 (𝑡) = 𝐾𝑏 𝜃𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡

𝑅𝑎

𝑖𝑎

𝐿𝑎

𝐾𝑖 𝐾𝑏 𝐽𝑚 𝐵𝑚

𝑒𝑏 M +

𝜃𝑚

𝑇𝑚

𝑑2 𝜃 (𝑡) 𝑑𝑡 2 𝑚 𝑑 𝑇𝑏 (𝑡) = 𝐵𝑚 𝜃𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡

𝑇𝑗 (𝑡) = 𝐽𝑚

6. (Kuo 4.18 Adaptado) O diagrama esquemático de um laminador de placas a quente é mostrado na figura abaixo. A placa de aço passa por dois rolos compressores a uma velocidade 𝑣 [𝑚 ⁄𝑠 ]. A distância entre os rolos e o sensor de espessura é de 𝑑 [𝑚], proporcionando um atraso de leitura após a deformação da placa. O ângulo de rotação do eixo do motor, 𝜃𝑚 , é convertido linearmente em deslocamento da distância entre os rolos de compressão, ou seja, 𝑦𝑟 (𝑡) = 𝑛𝜃𝑚 (𝑡), onde 𝑛 é uma constante positiva dada em [𝑚 ⁄𝑟𝑎𝑑 ]. A inércia equivalente da carga, representada pela caixa de engrenagens e atuador linear é dada por 𝐽𝐿 . 𝑟(𝑡) + _

𝑏(𝑡)

𝑒(𝑡)

𝐺𝑐 (𝑠)

Controlador

𝐾

Amplificador

+ 𝑒𝑎 _

Sensor de Espessura

𝐾𝑠

𝑦(𝑡)

𝑅𝑎

𝑖𝑎

𝐿𝑎

𝐾𝑖 𝐾𝑏 𝐽𝑚 𝐵𝑚

𝜃𝑚 + 𝑒𝑏 M _ 𝑇𝑚

Caixa de Engrenagens

Atuador Linear

𝑣

𝑑

OBS: O atraso é representado pela exponencial laplaciana do tempo de atraso: 𝑒 −〈𝑎𝑡𝑟𝑎𝑧𝑜〉.𝑠 a) Obtenha as equações matemáticas que representem todo o modelo esquemático. b) Construa o Diagrama de Blocos Matemático do modelo esquemático.

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SOLUÇÃO

𝑒(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑏(𝑡)

𝑏(𝑡) = 𝐾𝑠 𝑦(𝑡) , onde 𝑦(𝑡) é o valor medido pelo sensor.

𝑒𝑎 (𝑡) = 𝐾𝑒 (𝑡) ∗ 𝑔𝑐 (𝑡)

𝑒𝑎 (𝑡) − 𝑅𝑎 𝑖𝑎 (𝑡) − 𝐿𝑎 𝑒𝑏 (𝑡) = 𝐾𝑏

𝑑 𝜃 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑚

𝑑 𝑖 (𝑡) − 𝑒𝑏 (𝑡) = 0 𝑑𝑡 𝑎

𝑑2 𝑑 𝜃 (𝑡) 𝑇𝑚 (𝑡) = 𝐾𝑖 𝑖𝑎 (𝑡) = (𝐽𝑚 + 𝐽𝐿 ) 2 𝜃𝑚 (𝑡) + 𝐵𝑚 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 𝑑 𝑡𝑑 = 𝑣 𝑦𝑟 (𝑡) = 𝑛𝜃𝑚 (𝑡) , onde 𝑦𝑟 (𝑡) é o valor posicionado entre os rolos de compressão. 𝑦(𝑡) = 𝑦𝑟 (𝑡 − 𝑡𝑑 )

No domínio de Laplace: 𝐸(𝑠) = 𝑅 (𝑠) − 𝐵(𝑠) 𝐵(𝑠) = 𝐾𝑠 𝑌(𝑠)

𝐸𝑎 (𝑠) = 𝐾𝐸(𝑠)𝐺𝑐 (𝑠)

𝐸𝑎 (𝑠) − 𝐸𝑏 (𝑠) = (𝑅𝑎 + 𝑠𝐿𝑎 )𝐼𝑎 (𝑠)

𝐸𝑏 (𝑠) = 𝑠𝐾𝑏 𝜃𝑚 (𝑠) 𝜃𝑚 (𝑠) =

𝑠 2 (𝐽𝑚

𝐾𝑖 𝐼 (𝑠) + 𝐽𝐿 ) + 𝑠𝐵𝑚 𝑎

𝑑 𝑣 𝑌𝑟 (𝑠) = 𝑛𝜃𝑚 (𝑠) 𝑡𝑑 =

𝑌(𝑠) = 𝑌𝑟 (𝑠)𝑒 −𝑡𝑑 𝑠

Diagrama de Blocos

𝑅(𝑠) +

𝐵(𝑠)

𝐸(𝑠)

𝐺𝑐 (𝑠)

𝐾

𝐸𝑎 (𝑠)+

𝐸𝑏 (𝑠)

1 𝑅𝑎 + 𝑠𝐿𝑎

𝐾𝑠 𝑒 −𝑡𝑑 𝑠

𝐼𝑎 (𝑠) 𝑠𝐾𝑏

𝑠 2(𝐽𝑚

𝐾𝑖 + 𝐽𝐿 ) + 𝑠𝐵𝑚

𝜃𝑚 (𝑠)

𝑌𝑟 (𝑠)

𝑛

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7. O diagrama esquemático de um posicionador de porta é mostrado na figura abaixo. Um motor controla a abertura da porta posicionando-a em um ângulo desejado. O ângulo de rotação do eixo do motor, 𝜃𝑚 , é convertido pela caixa de engrenagens girando o eixo da porta que, por sua vez, está presa por uma mola localizada a 15cm do centro do eixo e um amortecedor para a porta não bater. A relação de transformação do torque da caixa de engrenagens é de 1:10. A inércia equivalente da carga, representada pelo cilindro e mola é dada por 𝐽𝐿 . Com a porta fechada a mola não está tensionada. A equação do encoder é dada por 𝑏(𝑡) = 𝐾𝑒 𝜃𝐿 (𝑡). 𝑟(𝑡) +

_ 𝑏(𝑡)

𝑒(𝑡)

𝐺𝑐 (𝑠)

Controlador

𝐾

Amplificador

+ 𝑒𝑎 _

𝑅𝑎

𝑖𝑎

𝐿𝑎

𝐾𝑖 𝐾𝑏 𝐽𝑚 𝐵𝑚

+ 𝜃𝑚 𝑒𝑏 M _ 𝑇𝑚

Caixa de Engrenagens

𝜃𝑚∗

𝑇𝑚∗

Encoder

𝐵𝐿 𝐾𝐿

a) Obtenha as equações matemáticas que representem todo o modelo esquemático. b) Construa o Diagrama de Blocos Matemático do modelo esquemático. SOLUÇÃO a) No Tempo: 𝑒(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑏(𝑡) ∗ (𝑡) 𝑏(𝑡) = 𝐾𝑒 𝜃𝑚

𝒆𝒂 (𝒕) = 𝑲𝒆(𝒕) ∗ 𝒈𝒄 (𝒕) 𝒆𝒂 (𝒕) − 𝑹𝒂 𝒊𝒂 (𝒕) − 𝑳𝒂

𝒅 𝜽 (𝒕) 𝒅𝒕 𝒎 𝑻𝒎 (𝒕) = 𝑲𝒊 𝒊𝒂 (𝒕) 𝒆𝒃 (𝒕) = 𝑲 𝒃

𝜽𝒎 (𝒕) = 𝟏𝟎𝜽∗𝒎(𝒕)

𝑻∗𝒎 = 𝟏𝟎 (𝑻𝒎 − 𝑱𝒎 𝑇𝑚∗

𝒅 𝒊 (𝒕) − 𝒆𝒃 (𝒕) = 𝟎 𝒅𝒕 𝒂

𝒅𝟐 𝒅 𝜽𝒎 (𝒕) − 𝑩𝒎 𝜽𝒎 (𝒕)) 𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕

𝑑 𝑑2 ∗ = 𝐽𝐿 2 𝜃𝑚 (𝑡) + 𝐵𝐿 𝜃𝑚∗ (𝑡) + 𝑇𝑚𝑜𝑙𝑎 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑇𝑚𝑜𝑙𝑎 = 𝑟𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 = 0,15(𝐾𝐿 0,15𝜃𝑚 ∗ (𝑡)) = 0,0225𝐾𝐿 𝜃∗𝑚(𝑡) 𝑻∗𝒎 = 𝑱𝑳

𝒅 ∗ 𝒅𝟐 ∗ (𝒕) + 𝟎, 𝟎𝟐𝟐𝟓𝑲𝑳 𝜽∗𝒎(𝒕) 𝜽𝒎 (𝒕) + 𝑩𝑳 𝜽𝒎 𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕

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Em Laplace: 𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐵(𝑠) 𝐵(𝑠) = 𝐾𝑒 𝜃𝑚∗ (𝑠)

𝑬𝒂 (𝒔) = 𝑲𝑬(𝒔)𝑮𝒄(𝒔)

𝑰𝒂 (𝒔) =

𝑬𝒂 (𝒔) − 𝑬𝒃 (𝒔) 𝑹𝒂 + 𝒔𝑳𝒂

𝑬𝒃 (𝒔) = 𝒔𝑲𝒃 𝜽𝒎 (𝒔)

𝜽𝒎 (𝒔) = 𝟏𝟎𝜽∗𝒎(𝒔) 𝑇𝑚 = 𝐾𝑖 𝐼𝑎 (𝑠)

𝑇𝑚∗ = 10𝐾𝑖 𝐼𝑎 (𝑠) − 10(𝐽𝑚 𝑠 2 + 𝐵𝑚 𝑠)𝜃𝑚 (𝑠) = (𝐽𝐿 𝑠 2 + 𝐵𝐿 𝑠 + 𝐾𝐿 0,0225)𝜃𝑚∗ (𝑠)

∗( ) 10𝐾𝑖 𝐼𝑎 (𝑠) − 100 (𝐽𝑚 𝑠 2 + 𝐵𝑚 𝑠)𝜃𝑚∗ (𝑠) = (𝐽𝐿 𝑠 2 + 𝐵𝐿 𝑠 + 𝐾𝐿 0,0225)𝜃𝑚 𝑠 ∗ (𝑠) 10𝐾𝑖 𝐼𝑎 (𝑠) = ((100𝐽𝑚 + 𝐽𝐿 )𝑠 2 + (100𝐵𝑚 + 𝐵𝐿 )𝑠 + 𝐾𝐿 0,0225)𝜃𝑚

𝜽∗𝒎(𝒔) =

𝟏𝟎𝑲𝒊 𝑰 (𝒔) (𝟏𝟎𝟎𝑱𝒎 + 𝑱𝑳 )𝒔𝟐 + (𝟏𝟎𝟎𝑩𝒎 + 𝑩𝑳 )𝒔 + 𝑲𝑳 𝟎, 𝟎𝟐𝟐𝟓 𝒂

b) Diagrama: 𝑅(𝑠) +

_ 𝐵(𝑠)

𝐸(𝑠)

𝐺𝑐 (𝑠)

𝐸𝑎 (𝑠) + 𝐾 _ 𝐸𝑏 (𝑠)

1 𝑅𝑎 + 𝑠𝐿𝑎

𝐾𝑒

𝐼𝑎 (𝑠)

𝜃𝑚∗ (𝑠)

10𝐾𝑖 (100𝐽𝑚 + 𝐽𝐿 )𝑠2 + (100𝐵𝑚 + 𝐵𝐿 )𝑠 + 𝐾𝐿 0,0225

10𝐾𝑏 𝑠

15

2.7 – TRANSFORMAÇÕES COM DIAGRAMAS DE BLOCOS 1) Funções de Transferência em Série (ou em cascata)

X1

G1

X2

G2



X3

X1

X3

G1G2