MODUL VEKTOR SMK KELAS Xl PDF

Preview

Summary

40 www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS Penyusun : Tri Wahyu Suciati, S.Pd. ; Hilyatun Nadzifah, S.Pd. ; Bambang Wahyudi, S.Pd. ; Endah Setya Prihati, S.Pd Saiful Arif, S.T. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. Pada gambar d...

Description

40

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS

Penyusun

: Tri Wahyu Suciati, S.Pd. ; Hilyatun Nadzifah, S.Pd. ; Bambang Wahyudi, S.Pd. ; Endah Setya Prihati, S.Pd Saiful Arif, S.T. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si.

Pada gambar disamping sebuah perahu akan menyeberang dengan kecepatan 4,0 m/s sedang kecepatan arus air 2,0 m/s . Dengan menggunakan vektor kita dapat menentukan arah dan jarak yang ditempuh perahu tersebut

A. Vektor di R2 ( Bidang ) I. PENGERTIAN Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Suatu vektor dapat ditulis dengan notasi huruf kecil cetak tebal, misal a, b dan c →

→

→

atau dengan menggunakan anak panah diatasnya, misalnya a , b atau c . Apabila dituliskan dengan dua huruf, maka dengan menggunakan huruf besar dan tanda anak panah diatasnya. Misal : AB, CD atau EF Vektor dalam kehidupan sehari-hari salah satu contohnya adalah gaya dan kecepatan. Sedangkan skalar dalam kehidupan sehari-hari dicontohkan dengan jarak/ panjang, luas, isi dan temperatur. Perhatikan gambar berikut:

B a

A

Secara Geometri, suatu vektor dapat digambarkan dengan ruas garis berarah. Pada gambar disamping ruas garis AB diwakili oleh vektor a dengan A sebagai titik pangkal dan B sebagai titik ujungnya dan besar/panjang vektor tersebut 4 satuan, yaitu a = AB = 4

a. Menyatakan suatu vektor Y

A (a1, a2) a

O

X

Perhatikan Gambar 1. Misalkan vektor OA digambarkan dalam koordinat kartesius dengan A pada pangkal koordinat (0,0) dan A pada (a1, a2), maka vektor OA dapat dinyatakan sebagai :

Gambar 1

Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS •

41

Vektor baris, yaitu OA = a = (a1, a2) ⎛a ⎞ Vektor kolom, yaitu OA = a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ a2 ⎠

• • •

Vektor basis disebut juga vector komponen, yaitu OA = a = a1 i + a2 j dengan i dan, j masing-masing adalah vektor basis pada arah x dan y.

Y

A (a1, a2)

Perhatikan gambar 2. Vektor AB = OB − OA = b - a = ⎛ b1 − a1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ b2 − a 2 ⎠

B(b1,b2)

X Gambar 2

b. Besar atau Panjang

⎛a ⎞ Pada gambar 1, jika vektor OA = a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka ⎝ a2 ⎠ 2

besar/ panjang vektor OA = | OA | = | a |= a1 + a 2 Pada gambar 2 , besar vektor AB = | AB | =

2

(b1 − a1 ) 2 + (b2 − a 2 ) 2

Contoh : ⎛ 3 ⎞ Tentukan besar vektor a jika a = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ − 4⎠ Jawab : Besar vektor a = | a | =

3 2 + (−4) 2 =

9 + 16 =

25 = 5

c. Kesamaaan dua vektor Dua vektor dikatakan sama apabila kedua vektor itu memiliki besar dan arah yang sama. Jika vektor a dan vektor b adalah dua vektor sama maka a = b Contoh : Diketahui u = ( m − n)i + ( 2m − n) j dan v = 6i + 3 j . Tentukan nilai m dan n

yang memenuhi jika u = v . Jawab : u = (m − n)i + (2m − n) j dan v = 6i + 3 j serta u = v , maka: m – n = 6 ......................(1) 2m – n = 3 ......................(2) dengan mengeliminasi (1) dan (2), maka: m–n =6

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

42

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS 2m – n = 3 _ -m=3 m = - 3 sehingga n = - 9 Jadi m = - 3 dan n = - 9 d. Vektor satuan Vektor satuan dari a adalah suatu vektor yang besarnya 1 satuan searah ⎛a ⎞ dengan vektor a . Jika a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka vektor satuan dari a ditulis e , ⎝ a2 ⎠ ditentukan dengan ketentuan : ⎛ a1 ⎞ 1 a ⎜ ⎟⎟ = e = 2 2 ⎜ |a| a + a ⎝ a2 ⎠ 1

2

Contoh :

⎛ − 3⎞ Tentukan vektor satuan dari vektor p = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ − 4⎠ Jawab : ⎛ − 3⎞ Panjang vektor dari vektor p = ⎜⎜ ⎟⎟ adalah ⎝ − 4⎠

| p | = (−3) 2 + (−4) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 ⎛ 3⎞ 1 ⎛ − 3⎞ ⎜ − 5 ⎟ ⎟ Sehingga vektor satuan dari p adalah e = = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ | p | 5 ⎝ − 4 ⎠ ⎜⎜ − 4 ⎟⎟ ⎝ 5⎠

p

II. Operasi aljabar pada vektor a. Penjumlahan Vektor Dalam operasi penjumlahan, hanya komponen sejenis yang dijumlahkan. ⎛a ⎞ ⎛b ⎞ Misalkan vektor a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka ⎝ a2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ ⎛a ⎞ ⎛b ⎞ ⎛ a + b ⎞ a + b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟ ⎝ a 2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ ⎝ a 2 + b2 ⎠ Contoh : ⎛ − 3⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ −3+ 4 ⎞ ⎟⎟ = Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ . Maka a + b = ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ − 2⎠ ⎝ 2 + (−2) ⎠

⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠

b. Pengurangan Vektor Dalam operasi pengurangan, hanya komponen sejenis yang dikurangkan. ⎛a ⎞ ⎛b ⎞ Misalkan vektor a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka ⎝ a2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ ⎛a ⎞ ⎛b ⎞ ⎛ a + b ⎞ a – b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ – ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟ ⎝ a 2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ ⎝ a 2 + b2 ⎠

Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS

43

Contoh :

⎛ − 3 − 4 ⎞ ⎛− 7⎞ ⎛ − 3⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ . Maka a – b = ⎜⎜ ⎝ 2 − (−2) ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ − 2⎠ c. Perkalian vektor dengan skalar Perhatikan vektor berikut.

− 2a 3a (iii) (ii) Misalkan a adalah vektor bukan nol, maka: • 3 a adalah suatu vektor yang panjangnya 3 kali vektor a dan arahnya searah vektor a . • –2 a adalah suatu vektor yang panjangnya 2 kali vektor a dan arahnya berlawanan arah dengan vektor a . ⎛a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ ka ⎞ Jika vektor a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ maka k a = k ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ a2 ⎠ ⎝ a 2 ⎠ ⎝ ka 2 ⎠ a (i)

dan vektor k a sejajar dengan vektor a Contoh :

⎛ 3 ⎞ Misalkan a = ⎜⎜ ⎟⎟ , maka tentukanlah -3 a . ⎝ − 2⎠ Jawab : ⎛ 3 ⎞ ⎛ − 6⎞ - 2 a = - 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 2⎠ ⎝ 4 ⎠ d. Perkalian skalar antara dua vektor ⎛a ⎞ ⎛b ⎞ Misalkan diketahui vektor a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , maka perkalalian ⎝ a2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ skalar (perkalian titik atau dot product) antara dua vektor a , dan b dirumuskan oleh: 1. a • b = a1 b1 + a2 b2 2. a • b = | a | | b | cos θ, dengan θ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh a dan b Contoh :

⎛5⎞ ⎛8⎞ Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ , maka tentukanlah : ⎝12 ⎠ ⎝6⎠ b. cosinus antara a dan b a. a • b

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

44

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS Jawab :

⎛ 5 ⎞⎛8⎞ a. a • b = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝12 ⎠ ⎝ 6 ⎠ = (5.8) + (12.6) = 40 + 72 = 112

b.

= 100 = 10 a • b = | a | | b | cos θ,

maka cos θ =

= 5 + 12 = 25 + 144 = 169 = 13 2

|a|

|b |

= =

2

a •b a.b

112 13.10 112 = 130

=

82 + 62

64 + 36

e. Sudut-sudut khusus yang dibentuk antara dua vektor Dari persamaan a • b = | a | | b | cos θ

cos θ =

a •b a.b

i) Jika θ = 90o, maka cos θ = 0. Sehingga a • b =0 Seperti tampak pada gambar berikut ini

a b

Contoh :

⎛ x ⎞ ⎛ 2⎞ Jika u = ⎜⎜ ⎟⎟ dan v = ⎜⎜ ⎟⎟ saling tegak lurus, tentukan nilai x. ⎝ − 3⎠ ⎝ x⎠ Jawab : u ⊥ v , maka u • v = 0, sehingga ⎛ x ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ • ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 ⎝ − 3⎠ ⎝ x ⎠ 2x + (– 3x) = 0 –x = 0 x=0 o ii) Jika θ = 0 (berarti vektor a berhimpit dengan b ), maka cos θ = 1. Sehingga a • b =| a | . | b | Seperti tampak pada gambar berikut ini

a

b

Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS

45

Contoh : ⎛ 4 ⎞ ⎛1⎞ Jika u = ⎜⎜ ⎟⎟ dan v = ⎜⎜ ⎟⎟ membentuk sudut 0o, tentukan nilai x. ⎝ − 3⎠ ⎝ x⎠ Jawab : u ⊥ v , maka u • v =| u |.| v | , sehingga ⎛ 4 ⎞ ⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟ = 4 2 + (−3) 2 . 12 + x 2 ⎝ − 3⎠ ⎝ x ⎠ (4.1)+(-3x) =

25. 1 + x 2

– 3x + 4 = 25 + 25 x 2 Dengan mengkuadratkan masing-masing ruas, diperoleh : (- 3x + 4)2 = ( 25 + 25 x 2 )2 9x2 – 24x + 16 = 25 + 25x2 16x2 + 24x + 9 = 0 (4x + 3)(4x + 3) = 0 3 x= − 4 iii)Jika θ = 180o (berarti vektor a berlawanan arah dengan b ), maka cos θ = - 1. Sehingga a • b = - | a | . | b | Seperti tampak pada gambar berikut ini

•

a Contoh :

b

⎛ 4 ⎞ ⎛1⎞ Jika u = ⎜⎜ ⎟⎟ dan v = ⎜⎜ ⎟⎟ membentuk sudut 180o, tentukan nilai x. ⎝ − 3⎠ ⎝ x⎠ Jawab : u ⊥ v , maka u • v = - | u |.| v | , sehingga ⎛ 4 ⎞ ⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ • ⎜⎜ ⎟⎟ = − 42 + (−3) 2 . 12 + x 2 ⎝ − 3⎠ ⎝ x ⎠ (4.1)+(-3x) = -

25. 1 + x 2

- 3x + 4 = - 25 + 25 x 2 Dengan mengkuadratkan masing-masing ruas, diperoleh : (- 3x + 4)2 = (- 25 + 25 x 2 )2 9x2 – 24x + 16 = 25 + 25x2 16x2 + 24x + 9 = 0 (4x + 3)(4x + 3) = 0 3 x= − 4

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

46

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS LATIHAN 1

1. Tentukan panjang atau besar vektor berikut: ⎛ − 12 ⎞ ⎛7⎞ ⎟⎟ a. a = ⎜⎜ b. b = ⎜⎜ ⎟⎟ c. c = ⎝ 5 ⎠ ⎝ 24 ⎠ ⎡6⎤ ⎡− 8⎤ ⎡ 10 ⎤ ⎡− 16⎤ 2. Diketahui a = ⎢ ⎥ , b = ⎢ ⎥ , c = ⎢ ⎥ dan d = ⎢ ⎥ ⎣ 4⎦ ⎣2⎦ ⎣ − 9⎦ ⎣ −3⎦ Tentukan vektor berikut : a. 5 a + 2 b b.-3 c + 4 a

⎛ − 10 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ − 24 ⎠

c. 2 d - 4 b 3. Tentukan cosinus sudut dari dua vektor berikut ini !

⎛ − 12 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ a. a = ⎜⎜ ⎝ 5 ⎠ ⎝ − 4⎠

⎛ 2⎞ ⎛ − 3⎞ c. k = ⎜⎜ ⎟⎟ dan l = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ − 2⎠

⎛1⎞ ⎛ 4⎞ b. p = ⎜⎜ ⎟⎟ dan q = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 1⎠ ⎝ 3⎠ 4. Tentukan vektor satuan dari a. p = 6i + 8 j b. q =12i − 5 j 5. Jika vektor a sama dengan vektor b , tentukan x dan y berikut : a. a = (x + 2y) i + (– x – y) j dan b = 4 i – j b. a = (2x – y) i + 7 j dan b ⎛ 3 ⎞ 6. Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎝ − 2⎠ a. | a |

= 3 i – (– x – y) j ⎛ − 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . Tentukan: ⎝4⎠

c. | a + b |

b. | b |

d. apakah | a | + | b | = | a + b | ⎛ 3 ⎞ ⎛ − 1⎞ 7. Diketahui a = ⎜⎜ ⎟⎟ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ . Tentukan : ⎝ − 2⎠ ⎝4⎠ c. | a - b | a. | a | b.| b |

d. apakah | a | - | b | = | a - b | ⎛12 ⎞ dan b = ⎜⎜ ⎟⎟ . Tentukan nilai dari a . b ⎝3⎠

⎛ 4 ⎞ ⎟⎟ 8.Diketahui a = ⎜⎜ ⎝ − 10 ⎠ 9.Jika diketahui | a | = 4 dan | b | = 8 serta ∠( a , b ) = 45o. Tentukan nilai a . b 10. Diketahui | a | = 4, | b | = 5 serta | a + b | = 6, tentukan nilai dari | a - b |

Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS

47

B. Vektor Di R3 ( Ruang)

I. Sistem Koordinat dalam Ruang Sistem koordinat ruang terdiri dari tiga sumbu misal sb x, sb y dan sb z yang saling tegak lurus. Ketiga sumbu tersebut bertemu pada satu titik pangkal O. Sumbu x positif, sumbu y positif, dan sumbu z positif tampak seperti gambar. Sedangkan untuk arah yang berlawanan ditetapkan sebagai arah negatif.

Z zp O

xp

P yp

X

Y

Titik P disamping mempunyai koordinat ruang (xp, yp ,zp). dan vektor OP dapat dinyatakan dengan : • Vektor kolom ⎛ xp ⎞ ⎜ ⎟ OP = p = ⎜ y p ⎟ ⎜z ⎟ ⎝ p⎠

•

•

•

Vektor baris OP = p = ( xp, yp ,zp )

Vektor basis OP = p = xp i + yp j + zp k , dengan i vektor basis pada arah x, y dan z.

,

j dan k masing-masing adalah

Vektor posisi Misalkan OA dan OB masing-masing adalah vektor posisi titik A dan B ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ terhadap O, dan OA = a = ⎜ a 2 ⎟ , OB = b = ⎜ b2 ⎟ maka ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 − a1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Vektor posisi AB = OB - OA = b - a = ⎜ b2 ⎟ - ⎜ a 2 ⎟ = ⎜ b2 − a 2 ⎟ ⎜b ⎟ ⎜ a ⎟ ⎜b − a ⎟ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 Contoh: ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ Nyatakan vektor a = ⎜ 3 ⎟ dalam bentuk vektor basis!. ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ Jawab: ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜ 3⎟ = 2 i + 3 j + 4 k ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

48

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS

II. Operasi Aljabar pada Vektor di R3 Seperti pada vektor di R2, sifat-sifat dan operasi aljabar pada vektor juga dapat diaplikasikan pada vektor di R3 a. Besar atau Panjang Vektor ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Misalkan vektor a = ⎜ a 2 ⎟ dan b = ⎜ b2 ⎟ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 2

2

maka besar vektor a = | a | =

a1 + a 2 + a3

dan besar vektor b = | b | =

b1 + b2 + b3

2

2

2

2

Contoh : ⎛ − 3⎞ ⎜ ⎟ Tentukan besar vektor a jika a = ⎜ 4 ⎟ , ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠ Jawab :

Besar vektor a = | a | =

(−3) 2 + 4 2 + 5 2 =

50 = 5 2

b. Kesamaaan dua vektor Sama seperti pada vektor pada bidang, dua vektor dikatakan sama apabila kedua vektor itu memiliki besar dan arah yang sama. Jika vektor a dan vektor b adalah dua vektor sama maka a = b c. Vektor satuan Seperti pada vektor di R2 , vektor satuan dari a adalah suatu vector yang ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ besarnya 1 satuan searah dengan vektor a . Jika a = ⎜ a 2 ⎟ , maka vektor ⎜a ⎟ ⎝ 3⎠ satuan dari a ditulis e , ditentukan dengan ketentuan : ⎛ a1 ⎞ 1 a ⎜a ⎟ e = = 2⎟ 2 2 2 ⎜ |a| a1 + a 2 + a3 ⎜ a ⎟ ⎝ 3⎠

d. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Seperti pada vektor di R2, dalam operasi penjumlahan atau pengurangan, hanya komponen sejenis yang dijumlahkan atau dikurangkan. ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Misalkan vektor a = ⎜ a 2 ⎟ dan b = ⎜ b2 ⎟ , maka ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ a + b = ⎜ a2 ⎟ + ⎜a ⎟ ⎝ 3⎠

49

⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 + b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b2 ⎟ = ⎜ a 2 + b2 ⎟ ⎜ b ⎟ ⎜⎝ a3 + b3 ⎟⎠ ⎝ 3⎠

⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 − b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a - b = ⎜ a 2 ⎟ - ⎜ b2 ⎟ = ⎜ a 2 − b2 ⎟ ⎜ a ⎟ ⎜ b ⎟ ⎜⎝ a3 − b3 ⎟⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ Contoh : ⎛1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Jika a = ⎜ 2 ⎟ dan b = ⎜ − 4 ⎟ , maka tentukan vektor b - a . ⎜ 3⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Jawab: ⎛ 2 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b - a = ⎜ − 4⎟ - ⎜ 2⎟ = ⎜ − 6⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ e. Perkalian vektor dengan skalar Seperti perkalian vektor dan skalar di R2, setiap komponen dikalikan dengan skalar tersebut. ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ Jika vektor a = ⎜ a 2 ⎟ dan k adalah skalar ( bilangan riil), maka ⎜a ⎟ ⎝ 3⎠

⎛ a1 ⎞ ⎛ ka1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ k a = k ⎜ a 2 ⎟ = ⎜ ka 2 ⎟ ⎜ a ⎟ ⎜ ka ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ Contoh : ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ Misalkan a = ⎜ − 6 ⎟ , maka tentukanlah 6 a . ⎜ 5 ⎟ ⎝ ⎠

Jawab : ⎛ 3 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6 a = 6 ⎜ − 6 ⎟ = ⎜ − 36 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ 30 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f. Perkalian skalar antara dua vektor Seperti pada pembahasan perkalian skalar dua vektor di R2, pembahasan ini juga berlaku untuk perkalian skalar dua vektor di R3. ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Misalkan diketahui vektor a = ⎜ a 2 ⎟ dan b = ⎜ b2 ⎟ , maka perkalian skalar ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ (perkalian titik atau dot product)antara dua vektor a dan b dirumuskan oleh:

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

50

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS 1. a • b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 2. a • b = | a | | b | cos θ, dengan θ adalah sudut terkecil antara a dan b Contoh : Diketahui | a | = 5dan | b | = 6 serta sudut antara a dan b adalah 60o, maka tentukanlah a • b Jawab : a • b = | a | | b | cos θ = 5. 6. cos 60o = 30. ½ = 15 g. Sudut Antara Dua Vektor ⎛ y1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Misalkan diketahui vektor a = ⎜ x 2 ⎟ dan b = ⎜ y 2 ⎟ merupakan vektor di R3 ⎜x ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ dan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah θ dapat ditentukan dengan rumus : x1 .x 2 + y1 . y 2 + z1 .z 2 a•b = cos θ = 2 2 2 2 2 2 a .b x1 + y1 + z1 . x 2 + y 2 + z 2 Contoh :

⎛ 3 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Diketahui a = ⎜ 2 ⎟ dan b = ⎜ 4 ⎟ . Hitunglah besar sudut antara vektor ⎜ − 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a dan b Jawab :

cos θ = cos θ =

cos θ = cos θ = 0

x1 .x 2 + y1 . y 2 + z1 .z 2 2

2

2

2

2

x1 + y1 + z1 . x2 + y 2 + z 2 (3.0) + (2.4) + ((−2).4)

2

3 2 + 2 2 + (−2) 2 . 0 2 + 4 2 + 4 2 0 17 . 32 maka θ = 90o

Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS

51

LATIHAN 2 ⎛ − 3⎞ ⎛6⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1. Diketahui a = ⎜ 2 ⎟ , b = ⎜ − 1⎟ dan c = ⎜ 0 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜6⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tentukanlah vektor-vektor berikut a. - a

b. b + 2 c c. 3 c - a ⎛ 3⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2. Jika u = ⎜ 7 ⎟ dan v = ⎜ − 2 ⎟ , tentukan besar dari vektor berikut : ⎜1⎟ ⎜ − 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a. u + 2v b. 5v − 3u c. − 2u − 3v 3. Jika diketahui | a | = 4, | b | = 5 dan ∠( a , b ) = sudut antara vektor a dan b adalah 60o, maka tentukanlah: a. a . a b. a . b c. a ( a + b ) d. b ( a - b ) ⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4. Tentukan sudut antara vektor a = ⎜ 1 ⎟ dan b = ⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5. Jika a = 3 i + 4 j – 2 k dan b = 2 i - 3 j + k maka tentukan panjang vektor AB . 6. Diketahui P(5, -3, 4) dan Q(2, -1,0). Jika p dan q masing-masing adalah vektor

posisi dari titik P dan Q, tentukanlah nilai dari p . q 7. Tentukan vektor satuan dari : ⎛ −3 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ a. a = ⎜ 4 ⎟ b. b = ⎜ − 24 ⎟ ⎜ − 12 ⎟ ⎜ −8 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎛ − 1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8. Jika diketahui a = ⎜ 2 ⎟ dan b = ⎜ − 2 ⎟ . Tentukan : ⎜ − 3⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a. a + 2 b b. | a + 2 b |

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

52

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS

⎛ − 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 9. Diketahui p = ⎜ 1 ⎟ dan q = ⎜ 0 ⎟ . Tentukan besar cosinus sudut yang ⎜0⎟ ⎜− 7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dibentuk antara p dan q . 10. Diketahui vektor a = - i + 2 j + 2 k dan b = 3 i – 5 j + 2 k serta c = j + 8 k . Jika

c = p a + q b , maka nilai tentukan nilai dari p dan q.

UJI KOMPETENSI

A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar! B. a12+ a22+ a32 ⎛ 10 ⎞ ⎟⎟ 1. Diketahui vektor PQ = ⎜⎜ C. a1 + a 2 + a3 ⎝ − 24 ⎠ D. a1.a2.a3 maka panjang vektor PQ adalah ...

A. B. C. D. E.

2

2

a1 + a 2 + a3

E.

23 24 25 26 27

2

5. Diketahui a = (2, 3) dan b = (4, –1) nilai |2 b – 3 a | = …

2. Diketahui u = 6i − j + 2k dan v = − 2i + 3 j − 2k maka nilai

u .v = ... A. -21 B. -19 C. 3 D. 5 E. 10

A. 4 B. 5

C.

3. Vektor a = (5, 4, 0), vektor = (2, r c = (-3, 8, 0). Jika -1, 0) dan r r r c = pa + qb , maka p + q = … A. –3 B. –2 C. –1 D. 2 E. 3 4. Jika vektor a = a1i + a2 j + a3k , maka panjang vektor a dirumuskan A.a1 + a2 + a3

E. 5 6

6. Diketahui | a | = 2, ( a - b ).( a + b ) = -1 dan b . ( b - a ) = 5 sudut antara a dan b adalah... A. π B.

r b

C. 5 3 D. 5 5

D. E.

π 2 π 3 π 4 π 6

7. Apabila vektor a = 2i − 3 j − 4k dan b = 3i − 2 j + 5k dan c = 4i + j − 3k

maka a + 2b − c adalah … A. 2 i - 7 j + 8 k B. 3 i - 8 j + 8 k C. 5 i - 6 j + 3 k

Modul Matematika Teknik Kelas XI SMK

www.matematika-pas.blogspot.com E-learning Matematika, GRATIS

13. Bila | a | = 7, | b |=8 , a .( b + a )=77, maka sudut antara a dan b sebesar … A 0º B.15º C.30º D.45º E.60º

D. 4 i - 7 j + 6 k E. 4 i - 8 j + 9 k 8. Diketahui a = 2i + j + 3k dan b = i + 3 j − 2k , maka nilai cos

14. Diketahui vektor

sudut yang dibentuk a dan b = ... 1 A. 6 1 B. 4 1 C. 3 1 D. − 14 2 E. 3 9. Jika A(4,7,0) , B(6, 10, -6) dan C( x, 9,0) agar sudut BAC = 90o, maka nilai x adalah... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 10. Jika a = (−1,1, 2) dan b = (2,1, − 1) maka besar sudut antara a dan b adalah ... A. 30o B. 60o C. 90o D. 120o E. 240o

6

,

maka a . b adalah …… A. 10 3 B. 12 3 D. 14 3 E. 15 3

dan b = 2i − 10 j + 2k . Jika nilai a. • b = 0 , maka nilai m adalah ..... A. 18 B. 9 C. 6 D. 3 E. -16 15. Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut 60° , |a| = 4 dan |b| = 10, maka a.(b+a)= A. 23 B. 24 C. 36 D.24√3 E. 36√3 16. Diketahui vektor a = (6, x, 14) dan b = (y, 4, 7) segaris, maka nilai y – x = .... A. –5 B. –2 C. 3 D. 4 E. 6

A. 17

dan b = 6 serta sudut yang

π

a = i + 2 j + mk

⎛ − 2⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ − 5⎞ 17. Jika a = ⎜⎜ ⎟⎟ , b = ⎜⎜ ⎟⎟ dan c = ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ 3⎠ ⎝0⎠ ⎝ 4⎠ maka a + b − c adalah . . .

11. Diketahui panja...