Mongolito - Lecture notes 1 análisis PDF

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“2020.Año de Leona Vicario, Benemérita Madre de la Patria”

EJEMPLOS Ejemplo 1: En un estudio cuyo objetivo fue determinar la eficiencia de los programas de tamizaje de cáncer gástrico por endoscopia digestiva alta en 4 centros de atención primaria en de la ciudad de Niigata, cuya población era de 811.000 habitantes; para optimizar la productividad de estos programas, se realizó un muestreo no probabilístico por conveniencia de 44 sujetos asintomáticos mayores de 40 años, que fueron estudiados de forma gratuita. En ellos se midieron los tiempos, número de personas y costes involucradas en el procedimiento. Se verificó que los tiempos de preparación y premedicación; del procedimiento propiamente tal y de los cuidados post-procedimiento (recuperación y limpieza); representaron el 34,1 %; 10,6 % y 54,4 % del tiempo total de la endoscopia, respectivamente. Concluyendo de esta manera que la mayor parte del tiempo necesario para completar la detección del cáncer gástrico vía endoscópica es consumido por la preparación, la premedicación y los procedimientos posteriores, en los que las enfermeras desempeñan un papel clave (Goto et al., 2014).

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN PARAMÉTRICA?

Un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un auto En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera equivale a la expresión Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de x en y, es decir que todos los valores x tengan un valor y sólo un valor correspondiente en y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación

“2020.Año de Leona Vicario, Benemérita Madre de la Patria” gráfica) conocida como «parámetro». En algunos casos, ayuda a simplificar la derivación y la integración, en vez del caso y= f(x) o de z= F(x,y). Un caso paradigmático, la representación de la cicloide por ecuaciones paramétricas. EJEMPLO PARA ACLARAR

Cuando se toma un intervalo en el eje t, los puntos c(t) = (t, t2) describen una parábola.

Dada la ecuación , una parametrización tendrá la forma

Una parametrización posible sería . Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde x e y equivaliesen a y sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado ( a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1.

A partir de la ecuación vectorial:

Realizando las operaciones indicadas se obtiene:

La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares:

“2020.Año de Leona Vicario, Benemérita Madre de la Patria” Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se obtienen por medio de la siguiente expresión: {x=a1+λ⋅v1y=a2+λ⋅v2 λ∈R Donde: •

x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.

•

a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).

•

v1 y v2 son las componentes de un vector director v =(v1,v2) de r.

•

λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del valor que se le asigne

¿DE DONDE SURGIÓ?

En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la Variable dependiente, con el valor de la misma siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera (x,y) equivale a la expresión (x,f(x)). Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de X en Y, es decir que todos los valores X tengan un valor y sólo un valor correspondiente en Y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto X como Y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como parámetro.

“2020.Año de Leona Vicario, Benemérita Madre de la Patria”

REPRESENTACIÓNES GRÁFICAS

Un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y. Tal plano se conoce como plano Cartesiano y su ecuación se llama ecuación Cartesiana. Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos de un solo parámetro, generalmente, este parámetro es ‘t’. Una curva que represente tal ecuación es llamada curva paramétrica. Para ello, las variables de la ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de representar el parámetro ‘t’ como, x = f(t) y = g(t) Por ejemplo, una ecuación que represente la caída de una partícula desde una altura x en un tiempo t, se representa generalmente a través de una ecuación Cartesiana, sin

“2020.Año de Leona Vicario, Benemérita Madre de la Patria” embargo esta puede ser presentada a través de una ecuación paramétrica que sea función del tiempo t. La curva paramétrica es el conjunto de todos los puntos de t que a su vez representan un par (x, y) o (f (t), g (t)). Trazar una curva paramétrica es ligeramente diferente a trazar una curva plana. Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas formas diferentes y la más conveniente entre ellas es la selección de ciertos valores de t y obtener los valores correspondientes de f(t) y g(t), es decir, x e y. Entonces estos son después trazados en coordenadas Cartesianas. Sin embargo, existen problemas importantes asociados con este método, siendo uno que no conocemos los límites del parámetro. Y en ausencia de límite la gráfica se extendería en ambas direcciones hasta el infinito. En efecto, no existe una solución adecuada a este problema, ya que todo depende completamente del problema dado y la única solución es limitarla uno mismo hasta un valor específico y asumir que esta es la extensión del gráfico. Otro método para graficar una curva paramétrica es eliminar el parámetro de la ecuación y reducir la ecuación en términos de una ecuación Cartesiana, la cual puede ser graficada con mayor facilidad. De hecho existen varios métodos para hacer esto. Uno de estos métodos consiste en resolver una de las ecuaciones paramétricas para la variableparamétrica ‘t’. Reemplace este valor de ‘t’ en la otra ecuación paramétrica y déjela así, esta es una ecuación Cartesiana en términos de x e y. Sin embargo la técnica anterior no es siempre fructífera, especialmente cuando se trata de funciones trigonométricas, ya que puede convertirla ecuación a una forma más críptica que definitivamente no pueda ser resuelta. Hacer uso de las identidades trigonométricas definitivamente sería una mejor opción en este escenario. Asimismo existe una amplia gama de técnicas disponibles, todo dependerá de la función dada, esto seentenderá con más práctica. Ahora tratemos de resolver un ejemplo que involucre las técnicas descritas anteriormente para arrojar algo de luz sobre los conceptos tratados. p = 4cos (t) q = 3 sin (t) 0...