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Warning: TT: undefined function: 32 Universidad nacional del callao, movimiento amortiguadoExperiencia de laboratorio sobre movimientoamortiguadoLeón Alba Andy 1623125935, FIEE, UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO, LABORATORIO DE FISICA IIRESUMEN:El modelo de un oscilador mecánico sometido exclusivament...

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Universidad nacional del callao, movimiento amortiguado

Experiencia de laboratorio sobre movimiento amortiguado León Alba Andy 1623125935, FIEE, UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO, LABORATORIO DE FISICA II

RESUMEN: El modelo de un oscilador mecánico sometido exclusivamente a la ley de Hooke no es realista pues desprecia la presencia del rozamiento. La experiencia nos muestra que un oscilador se va frenando progresivamente hasta llegar a detenerse en la posición de equilibrio, Esta disminución progresiva en la amplitud de las oscilaciones es debida a la presencia de rozamiento. Éste puede deberse a un roce con una superficie (rozamiento seco) o la fricción del aire o líquido que rodea al oscilador (rozamiento viscoso). El caso del oscilador con rozamiento seco tiene un interesante análisis físico-matemático, pero no lo consideraremos aquí, sino en un problema. En su lugar nos centraremos en el caso del rozamiento viscoso. La razón es que, aparte de ser un modelo de muchas aplicaciones, representa más adecuadamente lo que ocurre en un amortiguador mecánico. Un amortiguador es un dispositivo como el que puede encontrarse en la suspensión de un automóvil o en una puerta con cierre automático. En otras palabras la amplitud va disminuyendo gradualmente llegando a detenerse después de un lapso de tiempo, a este tipo de movimiento se le conoce como movimiento amortiguado. Palabras clave: oscilador, movimiento, amplitud, oscilaciones amortiguador.

Abstract: The model of a mechanical oscillator subject exclusively to Hooke's law is not realistic because it neglects the presence of friction. Experience shows that an oscillator gradually slows down until it stops in the equilibrium position. This progressive decrease in the amplitude of the oscillations is due to the presence of friction. This can be due to a friction with a surface (dry friction) or the friction of the air or liquid surrounding the oscillator (viscous friction). The case of the oscillator with dry friction has an interesting physico-mathematical analysis, but we will not consider it here, but in a problem. Instead we will focus on the case of viscous friction. The reason is that, apart from being a model of many applications, it more adequately represents what happens in a mechanical shock absorber. A shock absorber is a device like the one that can be found in the suspension of a car or in a door with automatic closing. In other words, the amplitude gradually decreases and stops after a lapse of time, this type of movement is known as a muffled movement. Keywords: oscillator, movement, amplitude, shock absorber, oscillation

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO,

2

movimiento amortiguado

I.INTRODUCCION: En el laboratorio observamos que experimentalmente el movimiento de un bloque suspendido en el extremo por un resorte,el resorte no oscila indefinidamente como se cree al estudiar el movimiento armónico simple Con la cual la amplitud es constante , sino que a consecuencia del rozamiento su amplitud va disminuyendo gradualmente hasta finalmente detenerse ,en conclusión este tipo de movimiento se le denomina movimiento amortiguado. Para este movimiento se va a emplear el uso de las ecuaciones diferenciales. De la segunda ley de newton: ∑𝐹 = 𝑚. 𝑎

𝑋 = 𝑍𝑒 −𝛾𝑡 Hallando la primera y segunda derivada tenemos: 𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 𝑒 −𝛾𝑡

𝑑𝑧 2 𝑑𝑥 2 −𝛾𝑡 =𝑒 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 2 −𝛾𝑡

𝛾 𝑒

Realizando las sustituciones conocidas: 𝑑𝑥

𝑎=

𝑑𝑡

−𝐾. 𝑥 − 𝜆

𝑑𝑡 2

2

𝑑𝑥 𝑑𝑥 =𝑚 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑚 2 +𝜆 + 𝑘𝑥 = 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝜆

+

𝜆

.

𝑑𝑥

𝑚 𝑑𝑡

+

𝑘 𝑚

=0

𝑘 = 𝜔ₒ2 𝑚 𝑚 , 𝜔2 viene a ser el valor de la frecuencia angular, sustituyendo nuevamente:

Donde:

𝑑𝑥2 𝑑𝑡 2

𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑑𝑡

+

𝑑𝑧 2 = −𝜔 2 𝑧 2 𝑑𝑡 Y esta ecuación coincide con la ecuación diferencial del m.a.s:

𝑧 = 𝑎 sen(𝜔𝑡 + 𝛿) Y la solución del movimiento amortiguado se obtiene haciendo otro cambio de variable, la variable x en vez de la variable z, donde:

= 2𝛾 y

+ 2𝛾.

𝑧

𝑑𝑧

Pero si se hace 𝜔2 = 𝜔ₒ2 − 𝛾2 se obtiene:

Dividiendo cada miembro por m: 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 2

-2𝛾𝑒 −𝛾𝑡

𝑑𝑧 2 = −(𝜔ₒ2 − 𝛾 2 ) 2 𝑑𝑡

𝑑𝑥2

Se obtiene:

− 𝛾𝑒 −𝛾𝑡 𝑧

Y reemplazándola en la ecuación diferencial se obtiene:

−𝐾. 𝑥 − 𝜆. 𝑣 = 𝑚. 𝑎

𝑉=

𝑑𝑧 𝑑𝑡

+ 𝜔ₒ2 . 𝑥=0

Esta es una ecuación diferencial, Que para resolverla haremos uso de un cambio de variable, consideramos la variable z en lugar de x. Tal que:

𝑋 = [𝐴𝑒−𝛾𝑡 ] sen(𝜔𝑡 + 𝛿) Esta es la ecuación del movimiento amortiguado

Equipos y materiales:  

Un soporte universal Una probeta graduada

     

500 datos, para que nos de la siguiente gráfica:

Con agua Hilo y una plomada Un dinamómetro Programa logger pro Un resorte Un cronometro Una regla graduada

II. DESARROLLO EXPERIMENTO

3

movimiento amortiguado

grafica del experimento

1,8 1,6

DEL

1) Preparamos el experimento, llenamos con agua la probeta, acoplamos el resorte en un extremo del soporte y luego colocamos el dinamómetro. 2) Procedemos a unir con un hilo el dinamómetro, el resorte y la plomada para sumergirlo dentro de la probeta con agua. 3) Una vez sumergido una parte de la plomada lo llevamos hacia arriba y lo soltamos, este empezara a oscilar dentro del agua y luego tomamos los datos. 4) Para llevar a cabo la recolección de datos usaremos el programa logger pro y para detener nuestro experimento apretamos el botón espacio en la computadora. 5) La computadora registrara una gráfica de forma armónica, la cual haciendo el ajuste nos dará un resultado en la gráfica de forma exponencial.

En el laboratorio obtuvimos una serie de datos que fueron efectuados mediante el programa logger pro, el cual arrojo más de

1,4

1,2

fuerza

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO,

1 0,8 0,6 0,4 0,2

tiempo

0 0

2

4

6

8

10

Y para notar las curvas de forma exponencial tomamos los datos de los extremos de la grafica Grafica 1 Curva de abajo fuerza 1.188 0 0.82 1.22 1.246 1.62 2.38 1.265 1.281 3.18 3.98 1.291 1.3 4.72 5.52 1.313 1.323 6.34 7.08 1.329 1.348 8.7 9.46 1.348

tiempo

12

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO,

III.cálculo del coeficiente de

Grafica 1 1,36

amortiguamiento del agua

curva de abajo

1,34

De nuestra grafica obtenida atraves del logger pro podemos calcular el periodo, que es la sumatoria de cada periodo.

1,32

fuerza

1,3 1,28 1,26

4

movimiento amortiguado

El peso del resorte =0.27 N

1,24

El peso de la plomada =1.36 N

1,22

Masa total =1.63N

1,2

tiempo

1,18

T1 0.76

1,16 0

2

4

6

8

T4 0.84

𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 2

+ 2𝛾.

𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑏

𝐾 𝑚

𝑥 = 𝐴 cos(𝜔ₒ𝑡 + 𝜙) Hallamos ωₒ Donde

=

fuerza

2П 𝑇

= 2П.f

#𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

f=

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

2П 𝑇

1,56 1,54 4

6

tiempo

8

10

12

2П ω= 𝑇

5 3

ω = √ωₒ2 + 𝛾 2

Hallamos la frecuencia gráfica, entonces

1,58

=

=10.47 rads/s

Y por teoría,

2

T9 0.8

Pero también usaremos las ecuaciones del movimiento armónico simple

ωₒ =

0

T8 0.76

+ 𝜔ₒ2 . 𝑥 = 0

𝜔ₒ2 =

2𝛾 =𝑚

1,66

1,6

T7 1.56

Sabemos de la ecuación del movimiento amortiguado:

1,68

1,62

T6 0.84

De la ecuación diferencial ya vista:

curva de arriba

1,64

T5 0.7

𝑋 = [𝐴𝑒 −𝛾𝑡 ] sen(𝜔𝑡 + 𝛿)

fuerza 1.68 1.67 1.657 1.641 1.623 1.61 1.596 1.58 1.572 1.565 1.559 1.548

Grafica 2: 1,7

T3 0.78

∑T = 0.85

10

Y ahora los datos de la curva de arriba, grafica 2 Curva de arriba tiempo 0.46 1.22 1.98 2.76 3.6 4.3 5.14 6.7 7.46 8.26 9 9.82

T2 0.76

=

2П 0.85

ω

=7.39rad/s

a partir de la

T10 0.74

T11 0.82

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO,

10.47

movimiento amortiguado

= √7.392 + 𝛾2

Reemplazando: 𝛾 = 7.41

𝑏 = 2𝛾. 𝑚 = 2x7,41x0.17 = 2,46 Entonces el coeficiente de amortiguación del agua nos sale este resultado. IV. CONCLUSIÓN Y RECOMENDACIONES Fue una experiencia de laboratorio muy tediosa, donde se requería estar muy atentos a la explicación del profesor ya que se nos podía escapar alguna palabra o frase que nos pudiera ayudar con el desarrollo de este paper , fue de mucha ayuda tomar apuntes y tomar fotos a la explicación del profesor. Nos pidieron en si hallar el porcentaje de error sobre el coeficiente de amortiguación pero no encontramos o no llegamos a encontrar ese dato en internet pero hicimos los debidos cálculos para llegar a una respuesta que quizá no sea la precisa. En conclusión este tema necesita desarrollarse de la mano con el curso de derivación, integración y ecuaciones diferenciales. En conclusión notamos que las gráficas que pasan por los puntos más altos tanto como bajos de la gráfica describen en su totalidad necesariamente ecuaciones que resaltan la gráfica de forma exponencial. V.REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/oscilac iones/amortiguadas/amortiguadas.html https://classroom.google.com/u/1/o/MTI1 MTQyMjkyNDRa http://www.scielo.org.mx/pdf/rmfe/v62n2/ 1870-3542-rmfe-62-02-00066.pdf

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