Nociones DE Calculo Actuarial MATE 4 PDF

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INTRODUCCION:El cálculo actuarial a diferencia de los cálculos financieros, no solo considera el valor monetario durante un período de tiempo, sino que también considera la posibilidad de que se realice cada pago en el futuro. su aplicación en los seguros, estima la probabilidad de ocurra unos de lo...

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INTRODUCCION: El cálculo actuarial a diferencia de los cálculos financieros, no solo considera el valor monetario durante un período de tiempo, sino que también considera la posibilidad de que se realice cada pago en el futuro. su aplicación en los seguros, estima la probabilidad de ocurra unos de los riesgos cubiertos por la póliza, y en las pensiones, calcula también la probabilidad de que la persona sobreviva al recibir las pensiones, así como estos ejemplos descubriremos sus múltiples aplicaciones dentro del ámbito financiero.

NOCIONES DEL CALCULO ACTUARIAL El cálculo actuarial es una modalidad de las matemáticas aplicadas que sirve para predecir o simular determinados hechos económicos. Así, se atienden las consecuencias y gastos que supone cada escenario. El cálculo actuarial es la base de la ciencia actuarial. En otras palabras, el cálculo actuarial es una técnica que consiste en proyectar variables, teniendo en consideración las posibles contingencias. De ese modo, se estiman los costes generados bajo distintos supuestos. La práctica del cálculo actuarial implica el conocimiento y la aplicación de elementos estadísticos y de matemáticas financieras. La principal función de esta disciplina es desarrollar modelos de cotización periódicos que sirvan para hacer frente a múltiples tareas cotidianas. Existen multitud de campos financieros o económicos donde se aplica esta modalidad. Nos referimos, por ejemplo, al mercado de seguros, hipotecas o en planes de pensiones, por destacar algunos más importantes. En dichos sectores la evaluación de riesgos ayuda a prevenir situaciones de incertidumbre. Un concepto básico en este campo es el de valor presente actuarial, que supone una valoración aleatoria de series de pagos teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Así, los abonos pueden ser temporales (durante un periodo determinado) o vitalicios (hasta el fallecimiento). Además, van de la mano al cálculo de probabilidad de que cada desembolso se efectúe. Al tener en cuenta la probabilidad, se considera que el cálculo actuarial utiliza supuestos más allá de valoraciones financieras o económicas simples. Esto, ya que trabajan con diferentes variables aleatorias para realizar proyecciones o estimaciones. Clasificación de las anualidades 1. Anualidades ciertas: Consisten en una serie de pagos periódicos que deben efectuarse con certeza durante un determinado tiempo e independientemente de cualquier evento fortuito. 2. Anualidades eventuales o contingentes: Son aquellas en las que el primer pago o el último, es decir, la fecha inicial y/o la fecha final del pago depende de algún acontecimiento o suceso previsible, pero cuya fecha de ocurrencia no puede fijarse con precisión. Matemática o ciencia actuarial: Es una rama de las denominadas matemáticas aplicadas, estudia principalmente los aspectos financieros de ciertos fenómenos aleatorios, su campo predilecto de

acción es el seguro y sus planteamientos sólo son posibles sobre la base de las probabilidades y la teoría estadística (conocida como Ley de los Grandes Números). Tabla de mortalidad: Es el instrumento por medio del cual se calculan las primas de riesgo de los seguros de vida, así como las probabilidades de vida o de muerte para todas las edades que conforman dicha tabla. Las tablas de mortalidad pueden derivarse de población general (información obtenida a través de censos de población) y de población asegurada, algunas tablas de mortalidad separan a los asegurados por sexos, así también para el cálculo de las rentas y de las pensiones se utilizan tablas especiales sobre la base de la probabilidad de vida. Existen tablas de diferentes conglomerados sociales: americana, inglesa, francesa, chilena, colombiana, mexicana, etc. Anteriormente en el curso de Matemáticas Financiera II, para los cálculos se utilizaba la tabla de mortalidad de experiencia americana (American Experiencie Table), publicada en 1868, con la experiencia de la aseguradora Mutual Life Insurance Company, de Nueva York, con un período de observancia de 20 años y fue la tabla que se utilizó para resolver los problemas de las secciones de cálculo actuarial y de misceláneos del folleto de problemas de matemáticas financieras II, combinada con valores de conmutación al 3.5%. Posteriormente se utilizó una tabla de mortalidad más reciente conocida como la CSO 1958 (Commissioner’s Standar Ordinary 1958) con valores de conmutación al 4% y actualmente se está utilizando en el curso de Matemáticas IV la tabla de Mortalidad CSO 1980 al 4%. Dependerá de la tabla de mortalidad que se use para los cálculos el que los resultados sean diferentes, ya que de la mayor o menor aceleración de fallecimientos que reducen el grupo observado, depende que las primas para el caso de los seguros de vida, sean más altas o más bajas. Las tablas de mortalidad están compiladas en columnas así: Edad x: Desde la edad inicial (Alpha) hasta la edad final (Omega) algunas tablas inician a la edad cero como la tablas CSO 1958 y 1980, o a la edad de 12 años, como la tabla de Experiencia Americana, y pueden finalizar a la edad 99 años como las tablas CSO 1958 y 1980, o bien a la edad 95 como la tabla de Experiencia Americana. Columna lx = número de vivos a la edad x Columna dx = número de muertos a la edad x Columna qx = probabilidad anual de morir Columna px = probabilidad anual de vivir

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS ESCUELA DE AUDITORIA CURSO DE MATEMATICAS IV TABLA DE MORTALIDAD Y DE VALORES DE CONMUTACION CSO 1980 AL 4% ANUAL DE INTERES

Edad x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

qx 4.18 1.06 1.00 0.98 0.95 0.90 0.86 0.80 0.76 0.74 0.73 0.77 0.85 0.99 1.15 1.33 1.51 1.67 1.78 1.86 1.90 1.91 1.89 1.86 1.82 1.77

lx 100,000 99,582 99,476 99,377 99,280 99,185 99,096 99,011 98,932 98,856 98,783 98,711 98,635 98,551 98,454 98,340 98,210 98,061 97,898 97,723 97,542 97,356 97,170 96,987 96,806 96,630

dx 418 106 99 97 94 89 85 79 75 73 72 76 84 98 113 131 148 164 174 182 185 186 184 180 176 171

px 99,582 99,476 99,377 99,280 99,185 99,096 99,011 98,932 98,856 98,783 98,711 98,635 98,551 98,454 98,340 98,210 98,061 97,898 97,723 97,542 97,356 97,170 96,987 96,806 96,630 96,459

Dx 100000.0000 95751.9231 91971.5635 88345.7615 84864.5987 81523.0551 78317.0042 75240.0496 72288.3246 69455.1783 66734.4053 64120.8549 61607.1941 59187.3346 56854.5569 54604.9751 52434.9524 50342.0920 48325.0199 46383.6551 44516.7130 42723.2031 41001.5402 39350.0455 37766.2062 36247.5689

Nx 2378287.0698 2278287.0698 2182535.1467 2090563.5832 2002217.8218 1917353.2231 1835830.1680 1757513.1638 1682273.1142 1609984.7896 1540529.6113 1473795.2061 1409674.3511 1348067.1570 1288879.8224 1232025.2655 1177420.2903 1124985.3379 1074643.2459 1026318.2260 979934.5709 935417.8579 892694.6547 851693.1145 812343.0690 774576.8629

Cx 401.9231 97.5933 88.4342 83.2489 77.5205 70.5488 64.7621 57.8770 52.8261 49.4200 46.8424 47.4741 50.3520 56.3418 62.8680 69.8314 76.1315 80.8378 82.7101 82.9554 81.3286 78.4628 74.5124 70.3760 66.0909 61.6906

Mx Edad x 8527.4204 0 8125.4973 1 8027.9040 2 7939.4698 3 7856.2209 4 7778.7004 5 7708.1516 6 7643.3894 7 7585.5125 8 7532.6864 9 7483.2664 10 7436.4239 11 7388.9499 12 7338.5978 13 7282.2560 14 7219.3880 15 7149.5566 16 7073.4251 17 6992.5873 18 6909.8772 19 6826.9218 20 6745.5932 21 6667.1304 22 6592.6180 23 6522.2420 24 6456.1511 25

Tabla de mortalidad con valores de conmutación: Al combinar las tablas de mortalidad (registro o estadísticas de personas vivas y fallecidas) con el elemento básico financiero que es la tasa de interés (conocida como la tasa técnica o interés técnico) se generan las tablas de mortalidad con valores de conmutación (que los actuarios han preparado con la finalidad de simplificar las operaciones de cálculo de los seguros de vida) siendo los valores de conmutación mas conocidos los siguientes: Dx Nx Cx Mx también están: Sx y Rx Dote pura (dotaciones o dotal): Es un contrato que promete pagar a su beneficiario una cierta cantidad de dinero, al final de un período de tiempo bien determinado, siempre que dicha persona esté con vida para recibirla. Rentas o anualidades vitalicias: Consiste en una serie de pagos iguales, cuyo término o plazo queda fijado por la duración de la vida de la persona que ha de recibir la renta. Clasificación de las rentas vitalicias: Anualidad o renta vitalicia vencida u ordinaria Anualidad o renta vitalicia anticipada o inmediata Anualidad o renta vitalicia vencida diferida Anualidad contingente temporal

Anualidad contingente anticipada temporal Anualidades vitalicias pagadas por fracciones de año Anualidades vitalicias variables (crecientes, decrecientes, incrementadas). Seguros de vida: El estudio de los seguros de vida es, un tema muy extenso y especializado, sin embargo, en nociones de cálculo actuarial solamente se estudiarán los aspectos básicos en cuanto al cálculo de las primas y reservas matemáticas de los seguros tradicionales: seguro de vida entera u ordinario de vida (seguro de vida total), seguro temporal o a término y, el seguro dotal o mixto.

Póliza de seguro de vida: Es un contrato, entre una aseguradora y una persona, llamada asegurado, mediante el cual, el asegurado se compromete a pagar la prima, ya sea de una sola vez (prima neta única) o en forma de pagos sucesivos (prima neta nivelada anual). A su vez la aseguradora se compromete a pagar la suma asegurada a los beneficiarios designados en la póliza, al recibir pruebas fehacientes de la muerte del asegurado. Seguro de vida ordinario: El contrato de seguro de vida ordinario, garantiza el pago de una suma asegurada (k) a favor de los beneficiarios designados por el asegurado, en cualquier momento que este muera, y sean presentadas a la aseguradora pruebas fehacientes de su fallecimiento. Seguro de vida temporal: Un seguro de vida temporal o a término suministra protección temporal contra el riesgo de muerte del asegurado, solamente durante el número de años estipulado en el contrato. Seguro de vida dotal o mixto: En una póliza de seguro de vida dotal o mixto, si el asegurado muere dentro del plazo especificado, obliga a la aseguradora a pagar el valor nominal de la póliza a los beneficiarios designados, y si el asegurado sobrevive el plazo fijado en el contrato de seguro, la aseguradora le paga al asegurado la suma asegurada. Prima neta única: Es el costo o valor actual, que debe pagar en una sola vez la persona que contrata un seguro de vida. Prima neta nivelada anual: En la práctica rara vez se venden pólizas de seguro de vida a prima neta única, por el fuerte desembolso que representa para el asegurado. Es frecuente que el asegurado pueda satisfacer su obligación, mediante el pago anticipado de primas periódicas, sucesivas o iguales (pagos anuales, semestrales, trimestrales o mensuales). Esto es posible gracias al principio de equivalencia financiera, en

donde la prima neta única, será igual al valor actual de esos pagos periódicos iguales y que estos constituyen una renta vitalicia anticipada de “p”. Tanto la prima neta única como la prima neta nivelada anual, son primas netas porque no consideran recargo alguno, solamente combinan la mortalidad con una tasa de interés técnico. Prima comercial o de tarifa: Es el valor que resulta de agregarle a la prima neta nivelada anual, los recargos por concepto de gastos de adquisición (que se consideran gastos variables y se representan con la letra h) y los gastos de administración (que se consideran gastos fijos y que se simbolizan con la letra k). Reserva matemática: Es la diferencia entre el valor actual de los beneficios futuros (obligaciones del asegurador) y el valor actual de las primas futuras (obligación del asegurado). Las reservas matemáticas son el principal pasivo de las aseguradoras, ya que un alto porcentaje de dichas reservas son propiedad de los asegurados, y por tal motivo si el seguro genera valores garantizados, generalmente después de los 2 años de vigencia del seguro y si el asegurado desea descontinuar su seguro puede exigirle a la aseguradora que le reintegre dichos valores garantizados. Valores garantizados: Son valores actuarialmente equivalentes al valor de la reserva matemática de la póliza, menos algunas deducciones que la aseguradora contempla en la propia póliza, por terminación anticipada del contrato de seguro, ya sea a solicitud expresa del asegurado o bien cuando éste ya no efectúe más pago de primas. Entre los valores garantizados más comunes están: Valor de rescate: Valor que constituye un porcentaje de la reserva matemática que tiene acumulada la póliza al final de cada año póliza, y que se pagará en efectivo a solicitud del asegurado. Seguro saldado: Consiste en la emisión de un nuevo seguro en el que se reduce la suma asegurada inicialmente pactada y se mantiene el plazo del seguro original. Seguro prorrogado: Consiste en un nuevo seguro temporal en el que se reduce el plazo del seguro original y se mantiene la suma asegurada contratada inicialmente. Préstamos automáticos para el pago de primas: Garantizan el pago de cualquier prima vencida con cargo a la reserva matemática de la póliza, procedimiento que puede repetirse hasta que se agote el valor de rescate de la póliza.

Prestamos en efectivo sobre la reserva de la póliza: Son préstamos en efectivo que la aseguradora proporciona al asegurado, con la garantía de la reserva matemática de la póliza. Tabla de Mortalidad y de Valores de Conmutación CSO 1980 al 4% anual de interés

RESUMEN NOCIONES DEL CALCULO ACTUARIAL El cálculo actuarial es una técnica que se aplica en muchos sectores, pero principalmente en los mercados de seguros, hipotecas o planes de pensiones, y utiliza estadística, probabilidad y matemáticas financieras, entre otras cosas, para predecir eventos que pueden ocurrir y, en su caso, estimar los costos que estos eventos representarán, encontrando también las posibles modelos de cotizaciones periódicas que puedan crear fondos suficientes para hacerles frente. Matemática o ciencia actuarial: Especialidad en el campo de la matemática aplicada, centra su campo de acción en los seguros. Tabla de mortalidad: Es el instrumento utilizado para calcular las primas de seguros y la probabilidad de viada o muerto de un sector de la población, actualmente existen variedad de tables destinadas a una región en específico como lo son la americana, francesa, inglesa, etc., aunque durante 20 años se utilizó la tabla de experiencia americana para resolver problemas de cálculo actuarial, aunque ya actualmente se utiliza la table CSO 1980, y dependiendo de que tabla se utilice serán diferentes los resultados pues cada una muestra una aceleración distinta de mortalidad. Tabla de mortalidad con valores de conmutación: Estas se generan a partir de unir las tablas de mortalidad y la tasa de interés, su finalidad es simplificar el cálculo de los seguros de vida. Dote pura: Paga cierta cantidad de dinero mientras el beneficiario este con vida. Rentas o anualidades vitalicias: Serie de pagos iguales, durante la persona pueda recibir el beneficio. seguros de vida: su estudio es muy extenso por lo cual solo se limita en lo actuarial al estudio de las primas y reservas matemáticas.

póliza de seguro: Contrato por medio del cual el asegurado se compromete a pagar a la aseguradoara una cantidad y la aseguradora a pagar a los beneficiarios cuando se pruebe la muerte del primero. seguro de vida ordinario: Contrato que garantiza el pago de una suma en favor de los beneficiarios designados. seguro de vida temporal: Se garantiza la protección por un tiempo previamente determinado. seguro de vida mixto: Contrato en el que el asegurado recibe un beneficio económico ya sea que viva o muera dentro del plazo determinado. prima neta nivelada anual: Por lo costoso que es para el asegurado, usualmente no se venden seguros con este método, por lo cual es frecuente que pueda realizarlo por medio de cuotas, mensuales, trimestrales, etc., y esto es gracias al principio de equivalencia financiera. prima comercial o de tarifa: Resultado de agregarle los recargos generados por gastos de adquisición a la prima neta nivelada anual. reserva matemática: Es el resultado de restarle al valor actual de los beneficios futuros el valor actual de las primas futuras, y estas reservas son con para las aseguradoras el principal pasivo. valores garantizados: valores equivalentes al valor de la reserva matemática menos las deducciones que la aseguradora aplica. valor de rescate: porcentaje de la reserva matemática y que se paga si lo solicita el asegurado. seguro saldado: cuando se emite un nuevo seguro reduciendo el beneficio manteniendo el plazo original. seguro prorrogado: nuevo seguro temporal manteniendo el beneficio, pero disminuyendo el plazo. prestamos automáticos para el pago de primas: se utiliza la reserva matemática para garantizar el pago de las primas vencidas hasta que esta se agote

prestamos en efectivo sobre la reserva de la póliza: efectivo que se recibe garantizado por la reserva matemática de la póliza.

ejemplos: 1. Una empresa desea otorgar a sus trabajadores que alcanzan la edad de 45 años, los siguientes beneficios: a) Una renta vitalicia de Q.10,000.00 al principio de cada año, durante 6 años y los pagos se iniciarán al principio del 5º. año después de cumplir sus 45 años; b) En caso de que el trabajador sobreviva al período de pago de las rentas, se le entregaría una dote pura de Q.26,000.00. El señor Américo Díaz tiene ahora 45 años y desea determinar cuánto valen los beneficios que le otorga la empresa utilizando para los cálculos la Tabla de Mortalidad CSO 1980 y la tasa del 4%. Respuesta: nmAx= Q.44,903.96 + nEx= Q.16,422.81=Q.61,326.78 2. Utilizando la tabla de mortalidad y valores de conmutación CSO 1980 al 4% de interés técnico, un piloto aviador le solicita a usted que determine la Prima Neta Única que tendrá que pagar para un Seguro Ordinario, un Temporal a 15 años y un Dotal a 15 años. Si tiene actualmente 33 años de edad y la cantidad asegurada es de Q.480,000.00. Respuesta: Ordinario de Vida Temporal Dotal

Q.110,876.73 Q. 16,081.88 Q.269,904.92

3. El señor Filadelfo Castillo, de 38 años de edad está interesada en contratar: a) un seguro Temporal o b) un Seguro Dotal a 20 años por la cantidad de Q.72,000.00. Para tomar la decisión respectiva desea que se le establezca la Prima Comercial para cada tipo de Seguro, considerando que la aseguradora tiene gastos fijos que ascienden a Q.6.00 por millar asegurado y que los gastos variables son del 10% sobre la prima comercial. Utilice en sus cálculos la Tabla de Mortalidad CSO 1980 con valores de Conmutación del 4% anual de interés. Respuesta: Seguro Temporal Q. 904.88 Seguro Dotal Q.3,265.69

4. Hace 10 años cuando el Sr. Julio Reyes tenía 40 años de edad, contrató un seguro de vida dotal a 20 años por Q.100,000.00 en una compañía de seguros que utiliza valores de Conmutación del 4% sobre la tabla de Mortalidad CSO 1980. Derivado de unos cálculos que está efectuando, desea conocer hoy; ¿Cuál es el valor de la Reserva Matemática de la póliza de seguros? Respuesta: RESERVA MATEMATICA Q.39,975.43 5. Una Empresa de Servicios de Limpieza ha venido separando del salario de cada trabajador el 2.8% mensual para la constitución de un fondo destinado a financiar una Renta Vitalicia a los trabajadores que se retiren por edad. Ese fondo se está constituyendo al 9% anual de interés y ahora precisamente ante la posibilidad que este año se retiren los primeros trabajadores que cumplan la edad de retiro de 65 años, se está pensando en otorgarle a cada uno, con lo que individualmente tenga acumulado, una Renta Vitalicia Anual Anticipada por el termino de 15 años. ¿De cuánto tendrá que ser la Renta Vitalicia Anual para un trabajador que durante los 15 años que tiene el fondo devengó Q 3,000.00 mensuales? Utiliza la Tabla De Mortalidad CSO 1980 al 4% anual de interés. Respuesta: R = Q 3,342.92

Conclusión: el cálculo de los diferentes hechos económicos tiene que ser coherentes y justificados ya que estos determinaran el costo que estos hechos generaran y la...