Nu Ma1 UB002 - Numerik 1 für Mathematiker PDF

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Numerik 1 für Mathematiker...

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Institut f¨ur Angewandte und Numerische Mathematik Prof. Dr. Christian Wieners

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Johannes Ernesti, Lydia Wagner

Numerische Mathematik I

¨ bungsblatt 2 U

Wintersemester 2017/2018

Pflichtaufgabe 5 (Die regul¨aren Matrizen sind offen) 8 Punkte Betrachten Sie die Funktion f : GL(N ) −→ GL(N ), f (A) = A−1 . Dabei ist GL(N ) die allgemeine lineare Gruppe, d.h. GL(N ) = {A ∈ RN ×N : det(A) 6= 0}. Zeigen Sie zuerst, dass GL(N ) in RN×N offen ist, und berechnen Sie anschließend die Richtungsableitung von f an einem Punkt A ∈ GL(N ) in Richtung B ∈ RN×N   ∂B f (A) := lim 1t f (A + tB) − f (A) . t→0

Tutoriumsaufgabe 2.1

(Vektornormen)

a) Sei | · | eine Norm auf RM und T ∈ RM×N eine Matrix mit vollem Spaltenrang. Zeigen Sie, dass dann durch |x|T = |T x|, x ∈ RN eine Norm auf RN gegeben ist. b) Sei A ∈ R

N×N

symmetrisch und positiv definit.

Zeigen Sie, dass (x, y)A := x⊤ Ay, x, y ∈ RN , ein Skalarprodukt definiert. Tutoriumsaufgabe 2.2 (Matrixnormen) PM PN 2 Die Frobeniusnorm von A ∈ RM×N ist durch kAk2F := m=1 n=1 amn definiert.

Hinweis: Verwenden Sie die Neumannsche Reihe.

Pflichtaufgabe 6 (St¨orungsrechnung) 6 Punkte Betrachten Sie zu symmetrisch und positiv definitem A ∈ RN×N das Gleichungssystem Ax = b mit b ∈ RN , sowie das gest¨orte System A˜ x = ˜b, wobei ˜b = b + △b und △b 6= 0. |2 Konstruieren Sie ein Beispiel, sodass f¨ur den relativen Fehler |△x atzung aus |x|2 die Absch¨ Satz (2.11) der Vorlesung (mit △A = 0) bzgl. der Euklidschen Norm scharf ist, d.h. mit |△x|2 |△b|2 κ(A) = kAk2 kA−1 k2 gilt: = κ(A) . |x|2 |b|2

Zeigen Sie:

kAk2F = spur(A⊤ A) =

X

λ.

λ∈σ(A⊤ A)

Hierbei bezeichnet σ(A⊤ A) das Spektrum von A⊤ A. Tutoriumsaufgabe 2.3 (Die Kondition einer Matrix) s1 , . . . , sN ∈ RN , d.h. A = (s1 , . . . , sN ). Ferner Sei A ∈ RN ×N regul¨ar mit den Spalten  −1 . Zeigen Sie: κ1 (ADs ) = min κ1 (AD) sei Ds ..= diag |s1 |−1 , . . . , |s | N 1 1 D∈D

Hierbei bezeichnet D die Menge der regul¨aren (N × N )-Diagonalmatrizen. Tutoriumsaufgabe 2.4 (Householder vs Givens) Seien v ∈ R2 \ {0} und die Matrix Kv ∈ R2×2 folgendermaßen definiert:   v1 v2 c s mit c= , s= . Kv = s −c |v|2 |v|2

a) Zeigen Sie, dass Kv eine orthogonale Abbildung auf R2 definiert, die v auf ein Vielfaches des ersten Einheitsvektors e1 ∈ R2 abbildet.

Pflichtaufgabe 7 (LR-Zerlegung in Maschinenarithmerik) 8 Punkte Betrachten Sie die folgenden (offenbar ¨aquivalenten) Gleichungssysteme           −3 8 x1 1 1 −4 x1 10 −1 = und = −3 −4 x2 10 −1 8 x2 1 1 auf einem Rechner mit dreistelliger Dezimaldarstellung, also mit relativer Maschinengenauigkeit eps = 5 · 10−3 .   4008 ⊤ Die exakte L¨osung der Gleichungssysteme lautet x = 4000 , d.h. In der Arith1001 , 1001 metik dieses wird die L¨osung durch x1 = 4 und x2 = 4. dargestellt. F¨uhren Sie die Gauß-Elimination (ohne Pivotisierung) f¨ur beide Gleichungssysteme auf diesem fiktiven Rechner durch und vergleichen Sie die erhaltenen Ergebnisse. −→ Bitte wenden.

b) Zeigen Sie, dass Kv keine Givens-Rotation ist. c) Seien w ∈ RN , N ∈ N und k, l ∈ {1, . . . , N }, sodass k < l . Bestimmen Sie mithilfe von Aufgabe a) eine orthogonale Matrix Tw (k, l) ∈ RN×N , sodass gilt:     Tw (k, l)w l = 0 , und f¨ur i ∈ {1, . . . , N } \ {k, l} : Tw (k, l)w i = wi

Besprechung: Mittwoch, 29. November 2017, 09:45 Uhr, Kl. HS, Geb. 10.50. ¨ Abgabe: Direkt vor der Ubung im Kleinen H¨orsaal bei den Bauingenieuren, oder bis 09:30 Uhr am 29. November 2017 im Abgabekasten (Eingangsbereich von Geb. 20.30). Homepage: http://www.math.kit.edu/ianm3/lehre/numa1 2017ws2017w/

Programmieraufgabe 3

(Ausl¨oschung)

f (x+h)−f (x) und den zentralen DiffeVerwenden Sie den Vorw¨artsdifferenzenquotienten h f (x+h)−f (x−h) , um die Ableitung einer Funktion f an einer bestimmrenzenquotienten 2h ten Stelle x zu approximieren. F¨uhren Sie diese Approximation f¨ur verschiedene, immer kleiner werdende h durch und beschreiben Sie, was Sie beobachten k¨ onnen. Genauer:

a) Schreiben Sie eine Funktion testfunktion mit den Eingabewerten x und n und dem Ausgabewert y. Diese soll f¨ur x und n=0 den Wert der Funktion f (x) = xex zur¨uckliefern und f¨ur n=1 den Wert der Ableitung an der entsprechenden Stelle. b) Schreiben Sie eine Funktion diffquot mit den Eingabewerten x, h und n sowie dem Ausgabewert y, welche f¨ur n=1 den Wert des Vorw¨artsdifferenzenquotienten f (x + h) − f (x) h und f¨ur n=2 den Wert des zentralen Differenzenquotienten f (x + h) − f (x − h) , 2h zur¨uckgibt. c) Schreiben Sie eine Funktion fehlerplot ohne Ein- und Ausgabewerte, welche das Folgende leistet: Berechnen Sie den Fehler der Approximation der Ableitung von f an der Stelle x=2 f¨ ur beide Differenzenquotienten f¨ur h = 10−1 , 10−2 , . . . , 10−20 ohne for-Schleife (passen Sie, wenn notwendig, ihre bisherigen Funktionen an) und plotten Sie den Fehler beider Verfahren ¨uber h in einem loglog-Plot. d) Was f¨allt bei den Plots auf und wie ist dieses Verhalten zu erkl¨aren?

Abgabe: Im Programmiertutorium in der Woche vom 20. November 2017 bis zum 24. November 2017....