MA1 Zusammenfassung zu Kapitel 4 PDF

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Summary

Das Dokument fasst die reellen Funktionen zusammen. Die Struktur orientiert sich an den Unterlagen des Professors, sodass du dich einfacher orientieren kannst. Zudem wurden viele Beispiele eingefügt, sodass du die Rechenweise verstehen kannst....

Description

- KAPITEL 4: REELLE FUNKTIONENDef D4-1 Funktion ➔ Funktion f ist eine Abbildungsvorschrift ➔ jedes Element aus Definitionsmenge D, genau einem Element y aus Zielmenge Z zugeordnet ➔ bei reellen Funktionen: D ⊆ R und Z ⊆ R ➔ Schreibweise: f: D → Z, mit x ↦ f(x) Bsp.: - Zahlenfolge (𝑎 ) mit 𝑛 ∈ 𝑁 ist Spezialfall einer Funktion mit 𝐷 = 𝑁 ⊂ 𝑅 -

𝑓(𝑥) =

-

𝑔(𝑥) =

𝑥+1 𝑥 𝑥+1 𝑥

𝑛

, 𝐷 = 𝑅 \ {0}, 𝑍 = 𝑅 ist eine reelle Funktion , mit 𝑔: 𝑅 → 𝑅 ist keine reelle Funktion, da 𝑔(𝑥) an Stelle 𝑥 = 0 nicht

definiert

maximaler Definitionsbereich alle reellen Funktionen aus𝑅 , die in Funktion einsetzbar bzw. die Funktion rechenbar machen Bsp.: 𝑓(𝑥) =

-

1 𝑥 (𝑥 − 5)

, dann ist 𝐷𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 \ {0, 5}

Grenzwert einer Funktion 𝑓(𝑥) hat an Stelle 𝑥0 den Grenzwert z ⇔ Für jede (!!) Folge (𝑥𝑛) 𝑛 → ∞ gilt: lim 𝑓(𝑥 ) = 𝑧 𝑛 𝑛 →∞ Nützlich bei: ➔ Beweis, dass eine Funktion keinen Grenzwert hat (reicht, wenn eine einzige Folge vorhanden, die nicht konvergent) ➔ Berechnung eines Funktionswertes Bsp.: lim 𝑓(𝑥) = lim ( 2𝑥 + 𝑥² ) 𝑥→ 1 𝑥→ 1 Sei 𝑥 eine beliebige Folge mit Grenzwert 1. Dann gilt: 𝑛

lim 𝑓(𝑥𝑛) = lim (2𝑥𝑛 + 𝑥𝑛 ² ) = 2 * 1 + 1² = 3 𝑛→ ∞ 𝑛→ ∞ ⇒ Also: lim 𝑓(𝑥) = 3 𝑥→ 1 Immer, wenn Grenzwert 𝑥 der Folge problemlos (= ohne unentscheidbare Fälle) 0

ausrechenbar, dann Berechnung von lim 𝑓(𝑥) easy ! 𝑥 → 𝑥0

Bsp.: Wie zeigt man, dass 𝑓(𝑥) = Lösung:

1 𝑥

keinen Grenzwert für 𝑥 → 0 hat ?

1 𝑥

⇒ lim 𝑥 = 0 𝑛 𝑛 →∞ “ fundamentale Nullfolge “ Nehme 𝑥𝑛 =

-

1

⇔ lim Berechne lim 𝑓(𝑥) ⇔ lim 1 (𝑛) 𝑛→ ∞ 𝑛→ ∞ 𝑛 →∞ Daraus folgt: 𝑛 = ± ∞ ⇒ keine Konvergenz ⇒ Funktion hat keinen Grenzwert

-

Einseitiger Grenzwert 𝑓(𝑥) hat an der Stelle 𝑥 , den 0

−

linksseitigen Grenzwert 𝑧 , geschrieben lim 𝑥 → 𝑥0 𝑥 < 𝑥

bzw.

−

lim = 𝑓(𝑥0) = 𝑧 𝑥 → 𝑥0−

0

Für jede Folge (!!) Folge (𝑥 )[ 𝑛 → ∞] → 𝑥 und 𝑥 < 𝑥 gilt: 𝑛

0

0

−

lim 𝑓(𝑥 ) = 𝑧 𝑛

𝑛→∞

+

rechtsseitiger Grenzwert 𝑧 , geschrieben +

+

lim 𝑓(𝑥) bzw. lim 𝑓(𝑥) = 𝑧 ≡ 𝑓(𝑥 ) 0 + 𝑥 → 𝑥0 𝑥 → 𝑥0 𝑥 > 𝑥0

Wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert identisch, dann hat Funktion Grenzwert an dieser Stelle −

+

→ Dann ist 𝑧 = 𝑧 = 𝑔 → 𝑔 = Grenzwert (muss eine Zahl sein !)

Grenzwert für eine Funktion für 𝑥 → + ∞ bzw. 𝑥 → − ∞ 𝑓(𝑥) hat für 𝑥 → ∞ den Grenzwert z ⇔ Für jede ( !! ) Folge (𝑥 ) [𝑛 → ∞] → ∞ gilt: lim 𝑓(𝑥𝑛) = 𝑧 𝑛→∞ Man schreibt: lim 𝑓(𝑥) = 𝑧 𝑥 →∞

𝑛

Rechnen mit Grenzwerten Funktion𝑓 , 𝑓 definiert in Umgebung 𝑥 und in 𝑥 konvergente Grenzwerte 𝑧 , 𝑧 1

Bsp.: -

2

0

lim (𝑐 * 𝑓 (𝑥) ± 𝑐

𝑥 → 𝑥0

1

1

2

0

1

* 𝑓 (𝑥)) = 𝑐 * 𝑧 2

1

1

2

± 𝑐 *𝑧 2

2

lim (𝑓1(𝑥) * 𝑓2(𝑥)) = 𝑧1 * 𝑧2

𝑥 → 𝑥0

lim 𝑥 → 𝑥0

𝑓1(𝑥)

=

𝑓2(𝑥)

𝑧

1

𝑧2

für 𝑧2 ≠ 0

lim 𝑓2(𝑓1(𝑥)) = 𝑓2(𝑧1)

𝑥 → 𝑥0

wichtig: 𝑓 muss zusätzlich in 𝑧 und in Umgebung von 𝑧 definiert sein 2

1

1

Merkregel: ➔ 𝑙𝑖𝑚(𝑎#𝑏) = 𝑙𝑖𝑚(𝑎) # 𝑙𝑖𝑚(𝑏) ➔ 𝑙𝑖𝑚(𝑓 (𝑓 (𝑥)) = 𝑓 (𝑙𝑖𝑚(𝑓 (𝑥))) 2

1

2

1

# steht für jede beliebige Grundrechenart

Rezept für Berechnung von 𝑙𝑖𝑚 für Funktionen 1. Ist eine Umgebung von 𝑥 im Definitionsbereich von 𝑓 ? 0

a. JA → weiter bei 2. b. NEIN→ Grenzwert existiert nicht Es ist nicht nötig, dass 𝑥 selbst in 𝐷 von 𝑓 0

2. Kann man𝑥 direkt in𝑓(𝑥) einsetzen, ohne dass unentscheidbare Situation (z.B. 0

∞ − ∞) entsteht ? a. JA → fertig b. NEIN → weiter bei 3. 3. Ist 𝑥 eine Zahl und 𝑓(𝑥) ein Bruch ? 0

a. JA → Versuch, Term im Nenner, der gegen Null geht (also die 𝐷-Lücke) auch in Zähler auszuklammern und zu kürzen b. NEIN → weiter bei 4. 4. Ist 𝑥0 =± ∞ und 𝑓(𝑥) ein Bruch ? → g.P.i.N 5. Bei Brüchen mit unentscheidbarer Situation → Hauptnenner 6. Sonst → Versuch, über Folge 𝑥 , die gegen 𝑥 konvergiert zu argumentieren 𝑛

0

Bsp.:

𝑥+2

𝑥²+2𝑥+3

3 0

lim ⎡ 𝑥−1 − (𝑥²−1) ⎤ = ⎣ ⎦ 𝑥 →1 - Regel 5.:

-

(𝑥+2)*(𝑥+1)

lim ⎡ (𝑥−1)*(𝑥−1) − ⎣ 𝑥 →1

−

6 0

= ∞− ∞

𝑥²+2𝑥+3 ⎤= (𝑥−1)*(𝑥+1) ⎦

1

lim ⎡ ⎣ 𝑥→1

𝑥²+3𝑥+2 − (𝑥²+2𝑥+3) ⎤= (𝑥−1)*(𝑥+1) ⎦

lim 𝑥 →1

1 𝑥+1

=

1 2

für lim 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛→∞ - Vermutung: 𝑧 = 0 - Beweis: 𝑥 = 𝑛² oder 𝑛³ oder … mit lim 𝑥𝑛 = 0 𝑛 𝑛 →∞

-

lim 𝑓(𝑥𝑛) = lim 𝑛→ ∞ 𝑛→∞ -

1 𝑥𝑛

=

1 ∞

= 0

Genauso: lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑥 → −∞ 𝑥 → −∞

Jede Folge mit ∞ erzeugt Null

( ) = 0 , da

1 −∞

1 𝑥

= 0

Polstelle = eine nicht aufhebbare 𝐷 -lücke, in deren Umgebung 𝑓(𝑥) =± ∞ laufen 𝑥 heißt Polstelle von 𝑓(𝑥) 0

|

|

➔ eine Umgebung von𝑥 vorhanden, in der der Betrag 𝑓(𝑥 ) über jede Schranke 𝐾 0 0 wächst ➔ eine Folge (𝑥 ) [𝑛 → ∞] → 𝑥 vorhanden, für die die Folge 𝑓(𝑥 ) 𝑛

0

𝑛

bestimmt-divergent ist ➔ lim =± ∞ oder lim 𝑓(𝑥) = − + 𝑥→0 𝑥→ 0

± ∞

Funktion auf Polstellen untersuchen: 1. Nenner auf Nullstelle/ 𝐷 -lücke untersuchen 2. Wenn vorhanden, gucken, ob diese auch Nullstelle des Zählers a. nein → Polstelle Bsp.: 𝑓(𝑥) =

{

𝑥²−1 𝑥−1

+

}

{

𝑓ü𝑟 𝑥 ∈ 𝑅 \ {1} oder −

1 𝑥

}

𝑓ü𝑟 𝑥 < 0 mit folgenden Grenzwerten:

“ \ {1} “ ist Nullstelle im Nenner und damit 𝐷 -lücke

-

lim

𝑥 → −∞

𝑓(𝑥) = 0

lim 𝑓(𝑥) =+ ∞ (Polstelle)

𝑥 → 0−

lim 𝑓(𝑥) = 1

𝑥 → 0+

lim 𝑓(𝑥) nicht definiert

𝑥→ 0

lim 𝑓(𝑥) = 2

𝑥 →1

lim 𝑓(𝑥) =

𝑥 →∞

+ ∞

Stetigkeit einer Funktion Def D4-6 Stetigkeit einer Funktion ➔ eine Funktion 𝑓: 𝐷 → 𝑍 mit 𝑦 = 𝑓(𝑥) ➔ heißt an Stelle𝑥 stetig, wenn Funktionswert & Grenzwert existent und identisch 0

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 ) 0 𝑥 → 𝑥0 ➔ 𝑓 heißt auf Intervall [𝑎, 𝑏] stetig, wenn 𝑓 für jedes 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] stetig ist 0

𝑓(𝑥) heißt rechtsseitig stetig bzw. linksseitig stetig in 𝑥 , wenn 𝑓(𝑥 +) bzw. 𝑓(𝑥 −) mit 0

0

0

𝑓(𝑥 ) identisch. 0

Bemerkungen ➔ Voraussetzung für Stetigkeit an Stelle 𝑥 ∈ 𝐷 0

1. rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert in 𝑥 ∈ 𝐷 existent und identisch −

Also: 𝑧 2.

0

+

=𝑧 = 𝑔

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) muss erfüllt sein,

𝑥 → 𝑥0

Also: Grenzwert 𝑔 von 𝑓(𝑥) = 𝑔 von 𝑓(𝑥 ) 0

➔ Funktion unstetig in 𝑥 ∈ 𝐷 , falls 𝑓 in Umgebung von 𝑥 definiert, 𝑓 aber in 𝑥 nicht 0

0

0

stetig ist. Bsp.: 𝑓(𝑥) =

{

𝑥²−1 𝑥−1

}

+

{

𝑓ü𝑟 𝑥 ∈ 𝑅 \{1} oder −

1 𝑥

}

𝑓ü𝑟 𝑥 < 0

𝑓 für alle 𝑥 aus den Intervallen (− ∞, 0) und (1, ∞) stetig mit zusätzl. Definition 𝑓(1) = 2 wäre f auch an der Stelle 𝑥 = 1 stetig (behebbare Unstetigkeit) - 𝑓 an der Stelle 𝑥 = 0 rechtsseitig stetig, aber nicht linksseitig stetig (keine behebbare Unstetigkeit) Bemerkungen: Eine Funktion ist in 𝑥 unstetig, wenn 𝑓(𝑥 ) nicht existiert. -

0

0

Vier Typen von Unstetigkeitsstellen Typ (be)hebbare Unstetigkeit

Beschreibung

Beispiel

➔ rechts- und linksseitiger Grenzwert existent −

und identisch 𝑧

+

=𝑧 = 𝑔

➔ ABER: 𝑓(𝑥 ) anders oder gar nicht definiert 0

𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥

𝑏𝑒𝑖 𝑥 = 0 0

+

−

➔ Mit Umdefinition 𝑓(𝑥0) = 𝑧 = 𝑧 Unstetigkeit behebbar Sprungstelle

➔ rechts- und linksseitiger Grenzwert existent, + − aber ungleich (𝑧 ≠ 𝑧 )

Polstelle

➔ zumindest für eine Seite ist lim 𝑓(𝑥) → ± ∞ 𝑥 →𝑥0 (uneigentlicher Grenzwert)

Oszillationspunkt

➔ weder rechts- noch linksseitiger Grenzwert existieren ➔ auch nicht uneigentlicher Grenzwert vorhanden

𝑥 |𝑥|

𝑏𝑒𝑖 𝑥 = 0 0

1 𝑥−2

𝑠𝑖𝑛

𝑏𝑒𝑖 𝑥 = 2 0

( ) 𝑓ü𝑟 𝑥 1 𝑥

0

→0

Bsp. für stetige Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich: ● 𝑥 ● 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ● 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ● 𝑙𝑛(𝑥) 𝑥

●

𝑒

●

𝑥 für 𝑏 ∈ 𝑅

𝑏

Satz S4-4

+

Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen

| |

1.) Wenn 𝑓 , 𝑓 in 𝑥 stetig, dann sind 𝑓 ± 𝑓 , 𝑓 * 𝑓 und 𝑓 in 𝑥 stetig . 1 2 0 1 2 1 2 1 0 2.) Es sei zusätzl. 𝑓2(𝑥0) ≠ 0 , dann ist

𝑓 (𝑥 ) 1

0

𝑓2(𝑥0)

stetig. 𝑠

3.) Es sei zusätzl. 𝑓2(𝑥0) > 0 , dann ist (𝑓2(𝑥0)) stetig für beliebiges 𝑠 ∈ 𝑅 .

4.) Es sei zusätzl. 𝑔 eine in 𝑓(𝑥 ) stetige Funktion, dann ist 𝑔(𝑓(𝑥)) stetig in 𝑥 . 0

0

−1

5.) Es sei 𝑓 auf einem Intervall 𝐼 stetig und umkehrbar, dann ist Umkehrfunktion 𝑓 auf einem Intervall 𝑓( 𝐼 ) stetig. Bsp.:

⇒nicht stetig

⇒ nicht stetig

⇒ stetig

⇒ Definitionsbereich nicht definiert ⇒ weder stetig noch unstetig

Satz S4-5 Beschränktheit einer Funktion Ist eine Funktion𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑍 auf dem abgeschlossenen Intervall [𝑎, 𝑏] stetig, dann ist sie dort beschränkt.

Satz S4-6 Zwischenwertsatz für stetige Funktionen Ist eine Funktion𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑍 auf dem abgeschlossenen Intervall [𝑎, 𝑏] stetig und 𝑉 eine Zahl zwischen 𝑓(𝑎) und 𝑓(𝑏) , dann gibt es mindestens ein 𝑢 ∈ [𝑎, 𝑏] mit 𝑓(𝑢) = 𝑉 Ist eine Funktion𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑍 auf dem abgeschlossenen Intervall [𝑎, 𝑏] stetig und gilt 𝑓(𝑎) * 𝑓(𝑏) < 0 , so gibt es mindestens ein 𝑢 ∈ [𝑎, 𝑏] mit 𝑓(𝑢) = 0 Bemerkung: ➔ Der erste Teil besagt: Jeder Zwischenwert zwischen a und b wird angenommen (daher Name des Satzes) ➔ Der zweite ist eine Spezialisierung für 𝑉 = 0 : Die Bedingung 𝑓(𝑎) * 𝑓(𝑏) < 0 kann interpretiert werden als 𝑓(𝑎) * 𝑓(𝑏) < 0 ⇔ (es gilt 𝑓(𝑎) > 0 und 𝑓(𝑏) < 0) oder (es gilt 𝑓(𝑎) < 0 und 𝑓(𝑏) > 0)...