Nummath 1 ws10 10 - aaaa PDF

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Technische Universit¨at Berlin

Wintersemester 2010/2011

¨ Mathematik Fakult¨at II; Institut fur Christian Mehl, Martin Weiser, Falk Ebert

10. Januar 2011

Numerische Mathematik 1 ¨ 10. Ubungsblatt Abgabe im Tutorium: 17. Januar – 21. Januar 2011

Tutoriumsaufgabe 10.1 Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit  −3    10 1 1 A= . , b= 2 1 1 (a) Bestimme die L¨osung x exakt. (b) Bestimme κ∞ (A). (c) Gib x in M(10,2,*) an. (d) Bestimme die L¨osung x des Gleichungssystems mittels einer LR-Zerlegung ohne Pivotisierung in M(10,2,*). (e) Bestimme die L¨osung x des Gleichungssystems mittels einer LR-Zerlegung mit Pivotisierung in M(10,2,*). (f) Erkl¨are die auftretenden Unterschiede. Tutoriumsaufgabe 10.2 Gegeben sei die Matrix  2 4 1 A =  −4 −5 −1  . 6 6 0 

(a) Bestimme eine LR-Zerlegung von A ohne Pivotisierung. (b) Bestimme eine LR-Zerlegung von A mit Pivotisierung. (c) Bestimme die L¨osung des Gleichungssystems Ax = b mit b = [1 0 0]T . Hausaufgabe 10.1

5 Punkte

Seien A=



101 100 100 99



,

b=



(a) Bestimme die L¨osung x des Gleichungssystems Ax = b. (b) Bestimme κ∞ (A).

201 199



.

(c) Bestimme die L¨osung des Gleichungssystems A˜ x = ˜b mit b˜ = (d) Bestimme die relativen Fehler

kx−˜ xk ∞ kxk ∞

und

˜ ∞ kb−bk k bk ∞



 200, 99 . 199

und erkl¨are die enormen Unterschiede.

Hausaufgabe 10.2

8 Punkte

Gegeben seien die Gleichungssystem Ax = b und A˜ x = ˜b. (a) Zeige, dass die Ungleichung kb − ˜bk∞ kx − x ˜ k∞ ≤ κ∞ (A) kxk∞ kbk∞

(1)

scharf ist, d.h. dass Vektoren b 6= 0 sowie b˜ 6= b existieren, damit in (1) Gleichheit gilt. ˜ wenn in (1) die ∞-Norm durch die 1-Norm ersetzt wird? (b) Wie andern ¨ sich b, b, (c) Bestimme f¨ur  101 100 99 A =  100 99 98  99 98 96 

ein b und ein b˜ mit kb − ˜bk1 = 1, so dass in (1) mit der 1-Norm Gleichheit gilt. Hausaufgabe 10.3

7 Punkte

Die Matrix A=



1 300 −300 10000



hat eine Konditionszahl κ∞ (A) ≈ 103 . (a) Bestimme eine Diagonalmatrix D, so dass DA in jeder Zeile die Zeilensummennorm 1 hat. (b) Bestimme κ∞ (DA). ˜ ∈ R2,2 gilt (c) Zeige, dass f¨ur jede nichtsingul¨are Diagonalmatrix D ˜ ) ≥ κ(DA). κ∞ (DA

Programmieraufgabe 10 Abgabe im UNIX-Pool: 17. Januar – 04. Februar 2011 LR-Zerlegung mit Pivotisierung Schreibe eine Matlab-Funktion [LR,p]=lr(A) welche zu einer gegebenen Matrix A die LRZerlegung mit partieller Pivotisierung P A = LR bestimmt. Die beiden Dreiecksfaktoren sollen in speicherplatzsparender Form in einer Matrix LR gespeichert werden. Die Permutatonsmatrix soll als werden. Weiterhin soll eine Funktion x=vorrueck(LR,p,b) Permutationsvektor p zuruckgegeben ¨ geschrieben werden, die die L¨osung des Gleichungssystems Ax = b bei gegebener Faktorisierung von A bestimmt. Auf der Homepage der Veranstaltung findet sich eine Datei runme10.m. Mit Hilfe dieses Programms sollen die geschriebenen Funktionen getestet werden....