Ohmsches Gesetz Protokoll PDF

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Wintersemester 19/20...

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Physikalisches Praktikum

Ohmsches Gesetz und Wheatstone’sche Messbrücke Versuchstag 2 am 06.11.2019

Inhaltsverzeichnis 1. Ohmsches Gesetz - Reihenschaltung - Spannungsteiler - Parallelschaltung - Strom- und Spannungsmessung

2. Wheatstone’sche Messbrücke

3. Auswertung & Aufgaben

4. Anhang Messergebnisse

1. Ohmsches Gesetz Um den Widerstand R eines elektrisch leitfähigen Materials zu messen, wird eine Spannung U an das Material angelegt und dabei der Stromfluss I gemessen. Der U . Die Einheit des Widerstand lässt sich dann wie folgt berechnen: R= I Widerstands R ist das Ohm, Ω. Wird der Widerstand von einem zylindrisch geformten, metallischen, homogenen Leiters bestimmt (zum Beispiel ein Draht), l ergibt sich die Gleichung R= ᵨ × . ᵨ bezeichnet den spezifischen A Widerstand des Leiters in der Einheit Ωm.

1.1 Reihenschaltung von Widerständen Bei der Reihenschaltung wird eine beliebige Anzahl von n Widerständen (R 1, R2, …,Rn) hintereinander geschaltet. Wird eine Spannung Uges angelegt, dann fließt die Stromstärke Iges durch jeden Widerstand, über jedem einzelnen Widerstand fällt dabei eine bestimme Spannung U i ab. Uges berechnet sich dann so: Uges= (R1+R2+…+Rn) × Iges

1.2 Spannungsteiler Ein Spannungsteiler besteht aus 2 Widerständen, die in Reihe geschaltet sind. Es wird eine Spannung Uges angelegt, dabei fließt die Stromstärke Iges durch die Anordnung. Dabei fällt am ersten Widerstand R1 eine Spannung U1 ab. R1 × Uges. An einem Draht mit der Gesamtlänge l und Für U1 gilt: U1= R 1+ R 2 einem konstanten Querschnitt A kann ein variabler Spannungsteiler (Potentiometer) angelegt werden. Der Spannungsteiler kann hin- und her bewegt werden, somit wird die Gesamtlänge l in 2 Längen geteilt, l1 und l2.

1.3 Parallelschaltung Bei der Parallelschaltung ist jeder Widerstand R mit der Spannungsquelle verbunden, dabei fällt über jedem Widerstand die Spannung Uges ab. Die Gesamtstromstärke ergibt sich aus der Addition der einzelnen Stromstärken. Durch Umformung der Gleichung des Ohmschen Gesetzes erhält man: Iges= 1 1 1 + …+ + Rn ) × Uges. In einer Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand R1 R2 ¿ Rges immer kleiner als die einzelnen Widerstände.

1.4 Strom- und Spannungsmessung

Um die elektrische Stromstärke in einem Stromkreis messen zu können, wird ein Strommessgerät (Amperemeter) in Reihe an den Stromkreis geschalten. Der Spannungsabfall über einem bestimmten Bauteil wird mit einem Spannungsmessgerät (Voltmeter) gemessen, das Gerät wird dabei parallel geschaltet. Jedes Messinstrument besitzt einen eigenen Innenwiderstand, der ebenfalls berücksichtigt werden muss. Um einen Widerstand R zu bestimmen, muss der Spannungsabfall U und die Stromstärke I gleichzeitig gemessen werden. Dabei müssen beide Geräte in den Stromkreis eingebaut werden. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten: a) Bei der Stromfehlerschaltung wird durch das Voltmeter der korrekte Spannungsabfall am Widerstand gemessen, es wird parallel geschaltet. Allerdings wird die Stromstärke I nicht korrekt gemessen, da der Strom durch den Widerstand und das Voltmeter fließt und beides gemessen wird. Große Widerstände lassen sich damit nur ungenau bestimmen. b) Bei der Spannungsfehlerschaltung wird durch das Amperemeter die Stromstärke durch den Widerstand korrekt gemessen, dabei wird es in Reihe geschaltet. Das Voltmeter misst den Spannungsabfall über dem Widerstand und dem Amperemeter. Kleine Widerstände lassen sich nur ungenau bestimmen. Die Zielsetzung des ersten Versuchs ist die Bestimmung eines Widerstands R durch Berechnung aus der Spannung U und der Stromstärke I, einmal bei der Stromfehlerschaltung und bei der Spannungsfehlerschaltung.

2. Wheatstone’sche Messbrücke Mit Hilfe der Wheatstone’schen Messbrücke lässt sich ein unbekannter Widerstand Rx genau bestimmen. Die Schaltung kann als zwei von derselben Spannungsquelle gespeisten Spannungsteilerschaltung beschrieben werden Ein Spannungsteiler wird durch einen Messdraht mit variablem Schleifkontakt realisiert, der andere durch die beiden Widerstände R x und RN. Zwischen den Widerständen und dem Schleifkontakt wird ein Spannungsmessgerät geschaltet. Der Spannungsabfall über dem Teilstück l1 wird so eingestellt, dass 0V am Voltmeter angezeigt werden, dadurch wird die Messbrücke abgeglichen. Der Spannungsabfall U1 über l1 ist gleich dem Spannungsabfall Ux über Rx. Das gleiche gilt für U2 über l2 ist analog zu UN über RN. Durch den Messdraht fließt der Strom ID und durch die Widerstände der Strom Iw. Durch Umformungen der Gleichung des Ohmschen Gesetzes kommt man l1 × RN. letztendlich zur Gleichung: Rx= l2 Die Zielsetzung des zweiten Versuchs ist die Bestimmung von zwei unbekannten Widerständen mithilfe der Messbrücke. Dabei wird noch der Unterschied in einer Parallel- und Reihenschaltung betrachtet.

3. Auswertung & Aufgaben Aufgabe 1a)

Strom-Spannungskennlinie bei der Stromfehlerschaltung 0.27 0.24 f(x) = 0.14 x 0.21 0.18 0.15 0.12 0.09 0.06 0.03 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Die Ausgleichsgerade lautet y=1,38×10-1 und ist im Diagramm grün hinterlegt. Berechnung des Widerstands mit Hilfe der Ausgleichsgeraden: 1 , umgestellt ergibt sich R= R 1 A = 7,2464 Ω. 1,38 ×10−1 V

m=

1 , eingesetzt ergibt sich R= m

Die Unsicherheit der Steigung sm wurde mit Excel mit dem RGP-Befehl A gerechnet und ergibt Δsm = 5,53674×10-5 . V Die Messunsicherheit des Widerstands berechnet sich aus 1 eingesetzt ergibt sich dann ΔuR =

0,138

A V

2

× 5,53674×10-5

1 m2 A V

× sm, = 0,0030Ω.

Der Widerstand R mit absoluter Messunsicherheit beträgt (7,2464 ±0,0030) Ω.

Aufgabe 1b) Gemessener Wert für d mit Hilfe eines Messschiebers: 0,5mm Die Messungenauigkeit des Messschiebers beträgt ±0,05mm (Angabe auf dem Messschieber). Berechneter Wert: R= ᵨ ×

l , dabei ergibt sich A aus: 0,25 ×π × d2 A

Eingesetzt ergibt sich dann: R= ᵨ ×

l 0,25 × π × d 2

Durch Umstellen der Gleichung nach d erhält man: d=

√

ᵨ×l 1 × R 0,25× π

Setzt man alle bekannten Werte ein, erhält man: 1 1,43 µΩm ×1 m × = (0,5 ±0,05) mm. d= 0,25× π 7,22Ω

√

Die Berechnung und die Messung stimmen also überein.

Aufgabe 1c)

Strom-Spannungskennlinie bei der Spannungsfehlerschaltung 0.2 0.18 0.16 f(x) = 0.1 x 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Die Ausgleichsgerade lautet y=0,0956x und ist im Diagramm grün hinterlegt. Berechnung des Widerstand mithilfe des Ausgleichsgeraden: 1 m= , umgestellt ergibt sich R= R = 10,46 Ω

1 1 A , eingesetzt ergibt sich: R= 0,0956 m V

Die Unsicherheit der Steigung sm wurde mit Excel mit dem RGP-Befehl gerechnet A und ergibt Δsm = 0,0018 . V Die Messunsicherheit des Widerstands berechnet sich aus 1 ergibt sich dann ΔuR =

A 0,0956 V

2

× 0,0018

A V

1 m2

× sm, eingesetzt

= 0,20Ω.

Der Mittelwert R mit absoluter Messunsicherheit beträgt (10,46±0,20) Ω.

Aufgabe 1d) Bei der Stromfehlerschaltung beträgt der Widerstand R 7,2464 Ω. Bei der Spannungsfehlerschaltung beträgt er 10,46 Ω. U , ändert sich bei der jeweiligen Messung die Spannung oder die I Stromstärke. Bei der Stromfehlerschaltung wird die Spannung korrekt gemessen, die Stromstärke allerdings zu hoch. Bei der Spannungsfehlerschaltung wird die Stromstärke korrekt gemessen, der Spannungsabfall allerdings zu hoch. Der Widerstand ist zwar bei beiden Messungen gleich groß, der Unterschied ergibt sich aber aus den nicht korrekt gemessenen Strom- bzw. Spannungsabfallswerten durch die jeweiligen Fehler bei der Messung. Da R=

Da die berechneten Widerstände relativ klein sind, ist die Stromfehlerschaltung besser geeignet, da mit dieser Methode kleine Widerstände genauer bestimmt werden können.

Aufgabe 1e) Um den wahren Wert für den Widerstand unter Berücksichtigung des Innenwiderstands zu berechnen, benötigt man folgende Gleichung: xc = x+e c. eingesetzt ergibt sich: xc= 9,83Ω - 2Ω = 7,83 Ω. Der Widerstand unter Berücksichtigung des Innenwiderstandes ist größer als der tatsächlich gemessene bzw. gerechnete Wert. Allerdings unterscheidet er sich nicht mehr so stark vom Widerstand, der bei der Stromfehlerschaltung ermittelt wurde.

Aufgabe 2

U in V

pannungsabfall in Abhängigkeit der Länge (Potentiometer)

2 1.8 f(x) = 1.8 x 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

Die Ausgleichsgerade ist im Diagramm grün hinterlegt und lautet y=1,7953× x. Der Korrelationseffizient der Ausgleichsgeraden beträgt 0,99997462, beträgt also fast +1. Das bedeutet, dass die Proportionalität zwischen der Spannung U und der Länge l1 bestätigt werden kann. Aufgabe 3a) Bei diesem Versuchsteil wurde eine Wheatstone’sche Messbrücke aufgebaut. Der Normalwiderstand RN wird durch ein Stöpsel-Rheostat realisiert, damit werden die verschiedenen Widerstände eingestellt. Es liegt eine Versorgungsspannung von 1,6V an. Nach dem ein Widerstand RN eingestellt wurde, wird das Potentiometer am Messdraht so lange bewegt, bis auf dem Voltmeter eine Spannung von 0V angezeigt wird, damit ist die Brücke abgeglichen. Das wird für alle Widerstände RN wiederholt. Rx und RY ergibt sich jeweils aus der Gleichung

l1 l2

× RN. Die Bestimmung von

Rx und Ry erfolgt unter gleichen Bedingungen.

Tabelle 1: Bestimmung des Widerstands Rx l1 in cm 73 67 61,8 57,3 53,4 50,1 47,2 44,6

l2 in cm 27 33 38,2 42,7 46,6 49,9 52,8 55,4

RN in Ω 30 40 50 60 70 80 90 100

Rx (R17) in Ω 81,11 81,21 80,89 80,52 80,22 80,32 80,46 80,51

Tabelle 2: Bestimmung des Widerstands RY l1 in cm 69,5 63 57,6 53 49,1 45,8 42,8 40,2

Rx

l2 in cm 30,5 37 42,4 47 50,9 54,2 57,2 59,8

Mittelwer t 80,65Ω

RY 67,72Ω

RN in Ω 30 40 50 60 70 80 90 100

Standardabweichun g 0,36820026Ω 0,38487243Ω

RY (R18) in Ω 68,36 68,11 67,93 67,66 67,53 67,60 67,35 67,23

ΔuR

ΔuR (absolut)

ΔuR (relativ)

0,26 Ω 0,28 Ω

(80,65±0,26) Ω (67,72±0,28) Ω

80,65(1±0,35%) Ω 67,72(1±0,42%) Ω

Δ RY ΔR x lassen sich so berechnen, dabei und ΔuRY= 2 × √n √n entspricht der Bruch der Standardabweichung des Mittelwerts.

ΔuRx= 2 ×

Aufgabe 3b) Mittelwert von Rges=

Rx x Ry Rx + Ry

=

80,65 Ω × 67,72 Ω 80,65 Ω+ 67,72 Ω

= 36,81Ω

2

ΔuRges=

67,72Ω 2 2 80,65 Ω (80,65 Ω+67,72 Ω)❑ 2 × 0,28Ω ¿ ) +( 2 ¿ (80,65 Ω+67,72 Ω)❑ ¿ √¿

2

= 0,09Ω

Die Messunsicherheit ΔuRges wird durch die Gauß’sche Fehlerfortpflanzung berechnet. Die oben verwendete Formel ergibt sich aus der Ableitung der Formel OG.12 im Skript. Der Mittelwert von Rges mit absoluter Messunsicherheit beträgt (36,81±0,09) Ω. Der Mittelwert von Rges mit relativer Messunsicherheit beträgt 36,81 (1±0,25%) Ω.

Aufgabe 3c) Der Mittelwert des Widerstands bei der Parallelschaltung beträgt 36,50Ω.

Die Standardabweichung beträgt 0,28256162Ω. Daraus lässt sich die 2 × 0,28256162Ω Messunsicherheit berechnen ΔuR = ≈ 0,20Ω. √8 Der Mittelwert Rges mit absoluter Messunsicherheit beträgt dann (36,50±0,20) Ω. Der Mittelwert Rges mit relativer Messunsicherheit beträgt 36,50 (1±0,55%) Ω.

Aufgabe 3d) Die Mittelwerte aus den vorherigen Aufgaben unterscheiden sich nur geringfügig (36,81Ω-36,5Ω= 0,31Ω), ebenso die Messunsicherheiten (0,2Ω-0,09Ω= 0,11Ω). Insgesamt gesehen unterscheiden sich die Werte der beiden Messungen bei der Parallelschaltung kaum, man kann also bei beiden Messungen auf ein genaues Ergebnis kommen.

Aufgabe 3e) Bei einer Reihenschaltung werden die Widerstände addiert, also gilt für den Mittelwert des Gesamtwiderstands Rges= 80,65Ω + 67,72Ω = 148,37Ω. Die gesamte Messunsicherheit lässt sich aus den einzelnen Messunsicherheiten der einzelnen Widerstände berechnen, unter Berücksichtigung der Gaußschen Fehlerfortpflanzung: ΔuRges = √ Δ u RX 2 + Δ u RY2 Mit unseren Werten: ΔuRges =

√ 0,26 Ω2+0,28 Ω2

= 0,39Ω.

Daraus ergibt sich dann der Mittelwert Rges mit absoluter Messunsicherheit von (148,37±0,39) Ω und mit relativer Messunsicherheit von 148,37 (1±0,27%) Ω.

Aufgabe 3f) Der Mittelwert beträgt R= 150,17Ω. Die Standardabweichung lautet ΔR= 1,38019085Ω. Daraus lässt sich die Messunsicherheit berechnen, ΔuR =

2 ×1,38019085 Ω = √8

0,98 Ω. Der Mittelwert Rges mit absoluter Messunsicherheit beträgt demnach (150,17±0,98) Ω und mit relativer Messunsicherheit 150,17 (1±0,66%) Ω.

Aufgabe 3g) Die Mittelwerte der beiden Messungen bei der Reihenschaltung unterscheiden sich etwas mehr als die bei der Parallelschaltung (150,17Ω-148,37Ω= 1,8Ω), die Messunsicherheiten unterscheiden sich auch stärker (0,98Ω-0,39Ω= 0,59Ω).

Daraus kann man schließen, dass die beiden Bestimmungen bei der Reihenschaltung nicht so genau und präzise sind wie bei der Parallelschaltung.

4. Anhang Messergebnisse...