Otto Forster, Thomas Szymczak - Übungsbuch zur Analysis 2 Aufgaben und Lösungen, 7. Auflage-Vieweg+Teubner (2011 ) PDF

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Otto Forster | Thomas SzymczakÜbungsbuch zur Analysis 2Otto Forster | Thomas SzymczakÜbungsbuchzur Analysis 2Aufgaben und Lösungen7., aktualisierte AuflageSTUDIUMBibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutsche...

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Otto Forster | Thomas Szymczak Übungsbuch zur Analysis 2

Otto Forster | Thomas Szymczak

Übungsbuch zur Analysis 2 Aufgaben und Lösungen 7., aktualisierte Auflage STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Prof. Dr. Otto Forster Ludwig-Maximilians-Universität München Mathematisches Institut Theresienstraße 39 80333 München [email protected] Dr. Thomas Szymczak [email protected]

1. Auflage1995 2., überarbeitete Auflage1997 2 Nachdrucke 3., durchgesehene Auflage 2003 1 Nachdruck 4., überarbeitete Auflage 2005 5., durchgesehene Auflage 2006 6., aktualisierte Auflage 2008 7., aktualisierte Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und straf bar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Ver arbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1253-7

V

Vorwort zur ersten Auflage ¨ zur Analysis Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Ubungsbuches dar. Wie im ersten Band ist das Buch in einen Aufgaben– und L¨osungsteil untergliedert. Die Aufgaben stammen vorwiegend aus dem Buch Analysis 2“ von ” O. Forster, jedoch auch die zus¨atzlichen Aufgaben setzen stofflich nicht mehr Wissen voraus. Die L¨osungen zu den einzelnen Aufgaben sind weitgehend sehr ausf¨uhrlich dargestellt und an die B¨ucher Analysis 1“ und Analysis 2“ (im folgenden mit ” ” An. 1 und An. 2 zitiert) von O. Forster angelehnt, so daß sie auch ohne zus¨atzliche Literatur zu verstehen sind. Ist zu einer Aufgabe keine L¨osung enthalten, so wurde sie, je nach Schwierigkeitsgrad, mit einer ausf¨uhrlichen Anleitung versehen. Sicherlich wird dieses Buch nicht fehlerfrei sein und zu einigen Aufgaben gibt es k¨urzere bzw. elegantere L¨osungen, doch ich hoffe, daß der Leser mit diesem Buch nicht den Spaß verliert, selbst mathematische Aufgaben zu losen. ¨ Denn man sollte sich in der Regel, bevor man eine L¨osung zu einer Aufgabe in einem Buch nachliest, ausgiebig mit ihr besch¨aftigt haben und versucht haben, selbst eine L¨osung zu finden. Schließlich m¨ochte ich noch einige Danksagungen aussprechen: • Herrn Professor O. Forster, der mit seinen B¨uchern zur Analysis dieses Buch erst m¨oglich gemacht hat. • Herrn Professor Dr. W. K¨uhnel, bei dem ich die Grundvorlesungen zur Analysis geh¨ort habe. • F¨ur die Mithilfe beim Korrekturlesen danke ich Herrn K¨uhn und Herrn Westermann. • Dem Vieweg–Verlag und insbesondere Frau Schmickler–Hirzebruch f¨ur die Herausgabe des Buches.

Dinslaken, Februar 1995

Thomas Szymczak

VI

Vorwort zur 2. Auflage In der vorliegenden zweiten Auflage wurden einige L¨osungen vereinfacht. Weiter wurden diejenigen Aufgaben, zu denen L¨osungen bzw. Hinweise im 2. Teil vorhanden sind, im Aufgabenteil mit einem Stern versehen.

Rostock, M¨arz 1997

Thomas Szymczak

Vorwort zur 4. Auflage Nachdem der Band Analysis 2 mit der 6. Auflage eine umfassende Neube¨ u¨ berarbeitet arbeitung erfahren hat, wurde auch das vorliegende Ubungsbuch ¨ und der Neuauflage der Analysis 2 angepasst. Einige fr¨uhere Ubungsaufgaben sind jetzt in den Haupttext der Analysis 2 aufgenommen; daf¨ur kamen andere Aufgaben und L¨osungen hinzu. April 2005

Otto Forster Thomas Szymczak

Vorwort zur 7. Auflage F¨ur die 7. Auflage wurden bekannt gewordene Druckfehler korrigiert sowie einige neue Aufgaben und L¨osungen hinzugef¨ugt. Außerdem wurden einige L¨osungen vereinfacht. Februar 2011

Otto Forster

VII

Inhaltsverzeichnis I. Aufgaben §1. Topologie metrischer R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §2. Grenzwerte. Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §3. Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §4. Kurven im R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §5. Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 §6. Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 §7. Taylor–Formel. Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . 14 §8. Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 §9. Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 §10. Integrale, die von einem Parameter abh¨angen . . . . . . . . . 18 §11. Elementare L¨osungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 §12. Existenz– und Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 22 §13. Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 23 §14. Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 25 §15. Lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . 28 §16. Systeme von lin. Dgl. mit konstanten Koeffizienten . . . . . . 30 II. L¨osungen §1. Topologie metrischer R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 §2. Grenzwerte. Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 §3. Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 §4. Kurven im R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 §5. Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 §6. Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 §7. Taylor–Formel. Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . 60 §8. Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 §9. Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §10. Integrale, die von einem Parameter abh¨angen . . . . . . . . . 82 §11. Elementare L¨osungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 §12. Existenz– und Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 100 §13. Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 104 §14. Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 110 §15. Lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . 127 §16. Systeme von lin. Dgl. mit konstanten Koeffizienten . . . . . . 137 Literaturverzeichnis 147

Teil I Aufgaben

3

aume §1. Topologie metrischer R¨ Aufgabe 1 A.∗ Auf R werde eine Metrik δ definiert durch δ(x , y) := arctan|x − y|. Man zeige, dass δ die Axiome einer Metrik erf¨ullt und dass die offenen Mengen bzgl. dieser Metrik dieselben sind wie bzgl. der ublichen ¨ Metrik d(x , y) = |x − y|. Aufgabe 1 B. Es sei X die Menge aller komplexer Zahlenfolgen. Man zeige, dass durch ∞

d((an ), (bn)) :=

1

|ai − bi |

∑ 2i+1 · 1 + |ai − bi | i=0

((an ), (bn) ∈ X )

eine Metrik auf X definiert wird. Aufgabe 1 C. (Vierecksungleichung). Es sei (X , d) ein metrischer Raum und a, b, c, d ∈ X . Dann gilt |d(a, b) − d (c, d )| ≤ d(a, c) + d(b, d). Aufgabe 1 D.∗ Seien A, B ⊂ R beliebige Teilmengen. Man zeige: ◦

◦

◦

a) (A × B) = A × B, b) A × B = A × B. Aufgabe 1 E.∗ Seien A, B ⊂ R beliebige Teilmengen. Man zeige, dass f¨ur den Rand von A × B ⊂ R 2 gilt ∂(A × B) = (∂A × B) ∪ (A × ∂B). Aufgabe 1 F.∗ Man zeige, dass in einem metrischen (oder topologischen) Raum die Vereinigung endlich vieler und der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist. ∗ Zu den

mit einem Stern versehenen Aufgaben finden sich Lo¨ sungen im L¨osungsteil

O. Forster, T. Szymczak, Übungsbuch zur Analysis 2, DOI 10.1007/978-3-8348-8140-3_1, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

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Aufgaben

Aufgabe 1 G.∗ Man beweise: a) Eine Teilmenge Y eines topologischen Raumes X ist genau dann offen, wenn Y ∩ ∂Y = 0./ b) Eine Teilmenge Y eines topologischen Raumes X ist genau dann abgeschlossen, wenn ∂Y ⊂ Y .

Aufgabe 1 H.∗ Es sei X eine beliebige Menge. Dann wird durch  0, falls x = y, d(x , y) := 1, falls x = y,

auf X eine Metrik definiert (d heißt triviale Metrik auf X ). Man zeige, dass jede Teilmenge von X bzgl. dieser Metrik zugleich offen und abgeschlossen ist. Aufgabe 1 I. Es sei X ein metrischer Raum und A, B zwei Teilmengen von X . Man zeige folgende Aussagen: ◦  ◦ ◦ a) A = A ⊂ A ⊂ A = A.

b) Die Vereinigung aller offenen Teilmengen von X , die auch Teilmenge ◦ von A sind, ist gleich A. Der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von X , welche A umfassen, ist gleich A. ◦

◦

c) Ist A ⊂ B, so auch A ⊂ B und A ⊂ B. ◦

◦

◦

◦

◦

◦

d) A∩ B = (A ∩ B) , A ∪ B = A ∪ B. e) A ∪ B ⊂ (A ∪ B) , A ∩ B ⊃ A ∩ B.

Gilt i.a. auch Gleichheit?

Aufgabe 1 J.∗ Auf der Menge Z der ganzen Zahlen werde folgende Topologie eingef¨uhrt: Offene Mengen sind außer 0/ und Z alle Teilmengen U ⊂ Z, so dass Z  U endlich ist. Man zeige, dass die Axiome einer Topologie erf¨ullt sind, aber das Hausdorffsche Trennungs-Axiom nicht gilt.

§2. Grenzwerte. Stetigkeit Aufgabe 2 A.∗ Seien f , g : X −→ R zwei stetige Funktionen auf dem metrischen Raum X . F¨ur x ∈ X werde definiert ϕ(x) := max( f (x ), g(x )),

ψ(x) := min( f (x ), g(x )).

§2. Grenzwerte. Stetigkeit

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Man zeige, dass die Funktionen ϕ, ψ : X −→ R stetig sind. Aufgabe 2 B. Es sei f : R 2 −→ R definiert durch ⎧ xy ⎪ , falls (x , y) = (0, 0), ⎨ |x | + y2 f (x , y) := ⎪ ⎩ 0, falls (x , y) = (0, 0).

Man pr¨ufe, ob f in (0, 0) stetig ist.

Aufgabe 2 C.∗ Man zeige, dass der Vektorraum C[a, b] aller stetigen Funktionen f : [a, b] −→ R auf dem Intervall [a, b] ⊂ R mit der Supremums–Norm  f  := sup{| f (x)| : x ∈ [a, b]} vollst¨andig ist. Aufgabe 2 D.∗ Auf dem Vektorraum C1 [a, b] aller einmal stetig differenzierbaren Funktionen f : [a, b] −→ R werde folgende Norm eingef¨uhrt:  f C 1 := sup{| f (x)| + | f ′ (x )| : x ∈ [a, b]}. a) Man zeige, dass C1 [a, b] mit dieser Norm vollstandig ¨ ist. b) Man zeige: Die Abbildung f −→ f ′ ,

D : C1 [a, b] −→ C[a, b],

wird stetig, wenn man C1 [a, b] mit der  C1 –Norm und C[a, b] mit der Supremums–Norm versieht. Aufgabe 2 E. (Hilbertscher Folgenraum). Es sei p ∈ [1, ∞[. Weiter sei ℓ p der Vektorraum aller reellen Zahlenfolgen (x i )i∈N mit 1/p  ∞

∑ |xi | p

< ∞.

i=0

Dann wird durch (x n )ℓ p :=



∞

∑ |x i | p i=0

1/p

6

Aufgaben

eine Norm auf ℓ p erkl¨art. Man zeige, dass (ℓ p ,  ℓ p ) vollst¨andig ist, d.h. ein Banach–Raum ist. Aufgabe 2 F.∗ Sei W der offene W¨urfel im R n , W := {(x 1 , . . . , x n ) ∈ R n : |x i | < 1 f¨ur i = 1, . . . , n} Man konstruiere einen Hom¨oomorphismus von W auf die Einheitskugel B1 (0) = {x ∈ R n : x < 1}. Aufgabe 2 G. Die Funktion g : R −→ R mit Periode 2 sei definiert durch g(t) :=

⎧ ⎨

0, f¨ur |t| ≤ 1/3, 3t − 1, f¨ur 1/3 < |t| < 2/3, ⎩ 1, f¨ur 2/3 ≤ |t| ≤ 1

und g(t + 2) = g(t) f¨ur alle t ∈ R . Die Abbildung c : [0, 1] −→ R 2 werde definiert durch c(t) :=



 g(42n+2t) ∞ g(42n+1t) ∑ 2n+1 , ∑ 2n+1 . n=0 n=0 ∞

Man zeige, dass c stetig ist und das Bild das ganze Einheitsquadrat ausf¨ullt, d.h. c([0, 1]) = [0, 1]2 (eine sogenannte Peano–Kurve). Anleitung. F¨ur ∞

t=

a

k ∑ 4k+1

k=0

ist g(4nt) = an−1 , n ≥ 1, also c(t) :=



mit ak ∈ {0, 1}

∞ a a2n , ∑ 22n+1 n+1 ∑ 2n+1 n=0 n=0 ∞



.

Die Behauptung folgt dann mit Hilfe dyadischer Br¨uche (vgl. An. 1, §5).

§3. Kompaktheit

§3.

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Kompaktheit

Aufgabe 3 A. Sei X ein kompakter metrischer Raum und f : X −→ R lokal beschrankt, ¨ d.h. zu jedem Punkt p ∈ X gibt es eine Umgebung U von p, so dass f | U beschr¨ankt ist. Dann ist f auf ganz X beschr¨ankt. Aufgabe 3 B.∗ Man zeige, dass die Vereinigung von endlich vielen kompakten Teilmengen eines metrischen Raumes wieder kompakt ist. Aufgabe 3 C.∗ Es sei A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ . . . eine absteigende Folge von nichtleeren kompakten Teilmengen eines Hausdorff-Raumes. Man zeige, dass dann auch die Menge A :=

∞ \

An

n=0

nichtleer und kompakt ist. Aufgabe 3 D.∗ Sei A eine Teilmenge von R n . Zu jeder Folge (x i )i∈N von Punkten x i ∈ A gebe es eine Teilfolge (x ik )k∈N , die gegen einen Punkt a ∈ A konvergiert. Man zeige, dass A dann kompakt ist. Aufgabe 3 E.∗ Seien K und L kompakte Teilmengen von R n . Man zeige, dass dann auch die Menge K + L := {x + y : x ∈ K, y ∈ L} kompakt ist. Aufgabe 3 F. Seien K ⊂ R n und L ⊂ R m . Man zeige: K × L ⊂ R n+m ist genau dann kompakt, wenn K und L kompakt sind. Aufgabe 3 G.∗ (Lebesguesches Lemma). Sei K eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes X und (Ui )i∈I eine ¨ offene Uberdeckung von K . Man zeige: Es gibt eine Zahl λ > 0 mit folgender Eigenschaft: Zu jeder Teilmenge A ⊂ K mit diam(A) ≤ λ existiert ein i ∈ I mit A ⊂ U i . Aufgabe 3 H.∗ Man beweise: Jeder kompakte metrische Raum ist vollst¨andig. Aufgabe 3 I.∗ Seien X ,Y Hausdorff-R¨aume, X kompakt und f : X → Y eine stetige bijektive Abbildung. Man beweise: Die Umkehrabbildung f −1 :Y → X ist stetig, d.h. f ist ein Hom¨oomorphismus.

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Aufgaben

Aufgabe 3 J.∗ Sei X ein metrischer Raum, A ⊂ X und x ∈ X  A ein Punkt mit dist(x , A) = 0. Man zeige, dass x Randpunkt von A ist. Aufgabe 3 K.∗ Seien I, J ⊂ R kompakte Intervalle und f : I × J −→ R eine stetige Funktion. Die Funktion F : I −→ R werde definiert durch F(x ) := sup{ f (x , y) : y ∈ J}. Man zeige, dass F stetig ist. Aufgabe 3 L.∗ Sei X ein topologischer Raum. Eine Funktion f : X → R heißt halbstetig von unten (bzw.von oben ), wenn f¨ur jedes c ∈ R die Menge {x ∈ X : f (x ) > c}

(bzw. {x ∈ X : f (x ) < c})

offen in X ist. Man beweise: a) Eine Funktion f : X → R ist genau dann stetig, wenn sie halbstetig von unten und halbstetig von oben ist. b) Ist X kompakt, so nimmt jede von unten (oben) halbstetige Funktion f : X → R ihr Minimum (Maximum) an. Aufgabe 3 M. Es sei X ein metrischer Raum und A ⊂ X . A heißt total beschr ¨ankt, wenn es zu jedem ε > 0 endlich viele Punkte x 1 , x 2 , . . . , x m ∈ A gibt, so dass A⊂

m [

B(x i , ε).

i=1

Man zeige: Eine abgeschlossene Teilmenge K ⊂ X eines vollst¨andigen metrischen Raumes X ist genau dann kompakt, wenn K total beschr¨ankt ist.

§4. Kurven im Rn Aufgabe 4 A.∗ Seien a, b, c, r ∈ R mit a < b, r > 0. Man berechne die Bogenl¨ange der Kurve

Aufgabe 4

B.∗

f : [a, b] −→ R 3 , Sei c

∈ R∗

f (t) := (r cost , r sin t , ct).

und

f : R −→ R 2 ,

f (t) := (ect cost, ect sint).

Die Kurve f heißt logarithmische Spirale.

§4. Kurven im R n

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1 a) Man skizziere die Kurve f¨ur c = 2π im Bereich −2π ≤ t ≤ 2π.

b) F¨ur [a, b] ⊂ R sei La,b die Bogenl¨ange der Kurve f | [a, b]. Man berechne La,b . c) Existiert lim La,0 ? a→−∞

d) Man zeige, dass die logarithmische Spirale jeden Kreis um den Nullpunkt in genau einem Punkt schneidet und berechne den Cosinus des Schnittwinkels. Aufgabe 4 C. Es sei f : [−π, π] −→ R 2 definiert durch f (t) := (sin(2t) cos(t), sin(2t) sint). Man skizziere die Kurve und zeige, dass f | ]0, π[ injektiv und regular ¨ ist. Aufgabe 4 D.∗ a) Man zeige, dass f¨ur jedes k ∈ [0, 1] das uneigentliche Integral E(k) :=

Z1 √ 0

1 − k2t 2 √ dt 1 −t2

existiert. E(k) heißt vollst ¨andiges elliptisches Integral. b) Man dr¨ucke die Bogenl¨ange der Ellipse f : [0, 2π] −→ R 2 ,

t −→ (a cost, bsint),

mit den Halbachsen a, b ∈ R+∗ mit Hilfe von E(k) aus. Aufgabe 4 E. Es sei f : [a, b] −→ R n eine regul¨are Kurve. Dann existiert eine Parametertransformation ϕ : [α, β] −→ [a, b], so dass die Kurve g := f ◦ ϕ nach der Bogenl a¨ nge parametrisiert ist, d.h. f¨ur alle t ∈ [α, β] gilt g′ (t) = 1.

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Aufgaben

Aufgabe 4 F. Man zeige, dass f : [0, 1] −→ R 2 , definiert durch  (t ,t cos(π/t )), falls t ∈ ]0, 1], f (t) := (0, 0), falls t = 0, eine stetige Kurve ist, die nicht rektifizierbar ist. Aufgabe 4 G. F¨ur zwei Punkte x, y ∈ R n bezeichne < x, y > := {λx + (1 − λ)y : 0 ≤ λ ≤ 1} die Verbindungsstrecke von x nach y. Eine Teilmenge P ⊂ R n heißt ein Polygonzug, wenn es Punkte x 1 , x 2 , . . ., x k ∈ R n gibt, so dass P=

k−1 [

< x i , x i+1 > .

i=1

a) Man beweise: Die Funktion f : [0, 1] −→ R, definiert durch ⎧   ⎪ ⎨ exp − 1 , falls x ∈ ]0, 1[, x (1 − x ) f (x) := ⎪ ⎩ 0, falls x ∈ {0, 1},

ist in [0, 1] beliebig oft differenzierbar (in 0 und 1 einseitig differenzierbar), und es gilt f (k) (0) = f (k) (1) = 0

f¨ur alle k ∈ N.

b) Es sei f die Funktion aus a) und C :=

Z1

f (x) dx.

0

Dann ist C > 0. Wir definieren eine Funktion F : [0, 1] −→ R durch F(x) :=

1 C

Zx 0

Man zeige:

f (ξ) dξ.

§5. Partielle Ableitungen

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i) F ist streng monoton wachsend mit F(0) = 0 und F(1) = 1. ii) F ist in [0, 1] beliebig oft differenzierbar mit F (k) (0) = F (k) (1) = 0

f¨ur alle k ≥ 1.

c) Man beweise mit b), dass jeder Polygonzug P die Bildmenge c([a, b]) einer beliebig oft differenzierbaren Kurve c : [a, b] −→ R n ist.

§5. Partielle Ableitungen Aufgabe 5 A.∗ Man untersuche, an welchen Stellen die Funktion  f : R 2 −→ R, (x , y) −→ y 2x 2 + y2

(einmal) partiell differenzierbar ist und berechne dort ihre partiellen Ableitungen. Aufgabe 5 B.∗ Die Funktion F : R 2 −→ R sei definiert durch ⎧ 2 2 ⎪ ⎨ xy x − y , falls (x , y) = (0, 0), 2 2 x +y F(x , y) := ⎪ ⎩ 0, falls (x , y) = (0, 0).

Man zeige, dass F uberall ¨ zweimal partiell differenzierbar ist, dass aber D1 D2 F(0, 0) = D2 D1 F(0, 0). Ist F im Nullpunkt stetig? Aufgabe 5 C.∗ Sei U ⊂ R 3 offen und v : U −→ R 3 ein zweimal stetig differenzierbares Vektorfeld. Man zeige, dass div rot v = 0. Aufgabe 5 D. Sei U ⊂ R 3 offen und v = (v1 , v2 , v3 ) : U −→ R 3 ein zweimal stetig differenzierbares Vektorfeld. Man zeige, dass rot (rot v) = ∇(div v) − (Δv1 , Δv2 , Δv3 ).

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Aufgaben

Aufgabe 5 E.∗ Sei U ⊂ R n offen und seien f , g : U −→ R zweimal stetig partiell differenzierbare Funktionen. Man zeige Δ( f g) = f Δg + 2∇ f , ∇g + gΔ f . Aufgabe 5 F.∗ Man zeige: Die Funktion F : R n × R+∗ −→ R, definiert durch   x2 , F(x,t) := t −n/2 exp − 4t ist eine L¨osung der W¨armeleitungsgleichung ΔF −

∂F = 0. ∂t

Aufgabe 5 G. ∗ Sei c > 0, k ∈ R n und ω := kc. Sei f : R −→ R eine beliebige, zweimal stetig differenzierbare Funktion. Man zeige: Die Funktion F : R n × R −→ R,

F(x,t) := f (k, x − ωt)

ist eine L¨osung der Wellengleichung ΔF −

1 ∂2...