P4. Medida DE LA Constante DE UN Resorte PDF

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Teoría de las prácticas de laboratorio de la asignatura....

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Práctica 4. MEDIDA DE LA CONSTANTE DE UN RESORTE OBJETO: Determinar la constante elástica de un resorte: a) por un método estático, (b) por un método dinámico. MATERIAL: Balanza de Jolly. Juego de pesas. Cronómetro. FUNDAMENTO: La denominada balanza de resorte o de Jolly consiste en un muelle metálico helicoidal, sujeto por su extremo superior y libre por el otro extremo, del que cuelga un platillo. Cuando se coloca un cuerpo sobre dicho platillo se alarga el resorte, y el alargamiento se puede medir con la escala graduada en milímetros del soporte. Con este montaje podemos verificar que se cumple la ley de Hooke y determinar la constante elástica del resorte. Cuando de un resorte, sujeto por su extremo superior, se cuelgan pesas de su extremo inferior, el resorte se alarga y los alargamientos que experimenta son proporcionales a las fuerzas aplicadas (ley de Hooke), siempre que no se sobrepase el límite de elasticidad del resorte. Si es F la fuerza aplicada al resorte y x el alargamiento que se produce: F = k x

(1)

donde k es la constante elástica del resorte, que mide la fuerza por unidad de alargamiento. La sensibilidad del resorte, su alargamiento por unidad de fuerza, vale 1/k. Para comprobar la constancia de k y determinar su valor vamos a utilizar dos procedimientos. a) Determinación de la constante elástica de un resorte por el método estático. Se cuelgan del resorte pesas sucesivas, en orden creciente, y se miden los alargamientos correspondientes. Si se representan los valores de la fuerza F en ordenadas y los del alargamiento x en abscisas, debe observarse una relación lineal y la pendiente de la recta de regresión es el valor de k. b) Determinación de k por el método dinámico. Cuando un cuerpo de masa m se suspende del extremo de un resorte, éste se alarga por la acción del peso m g del cuerpo hasta alcanzar una posición de equilibrio. Si aplicamos ahora una fuerza adicional, por ejemplo, tirando del cuerpo hacia abajo de manera que se produzca un alargamiento x, la fuerza necesaria para ello valdrá k x. La fuerza que desarrolla el resorte en cada instante, fuerza recuperadora, tendrá el mismo valor k x y sentido opuesto, de manera que si soltamos la masa, manteniéndola unida al resorte, ésta se moverá con una aceleración, a, dada por la segunda ley de Newton: F = m a. En nuestro caso, (2) - k x = m a de donde: k a = x m

La aceleración resulta proporcional a la elongación y de sentido opuesto y la masa oscila en torno a su posición de equilibrio con movimiento armónico simple. La k y, por tanto, el período de las frecuencia angular de dicho movimiento es: ω2 = m oscilaciones es: m k

T = 2π

(3)

Como se trata de un resorte real, cuya masa no es despreciable, al oscilar la masa m suspendida de su extremo, el resorte también participa de ese movimiento. La ecuación (2) sólo sería correcta en el caso ideal en que la masa del resorte fuese nula pero, si no es despreciable, deberemos añadir a la masa m una fracción f de la masa mr del resorte cuyo valor teórico, como puede demostrarse, es f =1/3. Por tanto, la ecuación (2) ha de ser corregida para un resorte real: - k x = (m + f mr ) a (4) Con ello, la ecuación (3) queda: T = 2π

m + f mr k

de donde: 4π T = k 2

2

(m + f mr )

(5)

Esto implica que si representamos los valores de T2 frente a los correspondientes de m, en la gráfica resultante debe observarse una dependencia lineal (ya que f mr es constante para un resorte dado). Del valor de la pendiente de la recta de regresión se obtiene el valor de k. Valor de la pendiente =

4π k

2

Para deducir el valor de f podemos proceder de dos formas: i) Si en (5) hacemos T2 = 0, resulta m = - f mr. Luego, del punto de intersección de la recta con el eje de abscisas, y del valor de mr se puede obtener el valor de f. ii) El valor de f está relacionado con el valor de la ordenada en el origen de la recta obtenida al representar T2 en función de m. 2 4π Ordenada en el origen = f mr k es decir: Valor de la ordenada en el origen f = Valor de la pendiente × m r

MÉTODO OPERATORIO: a) Método estático.

1. Anote la posición x0 del platillo cuando no se ha colocado pesa alguna. 2. Coloque en el platillo, sucesivamente, pesas de diferentes masas mi, cuya precisión es de 0,1 g, y anote en la tabla 1 las correspondientes posiciones xi del platillo. No supere los 40 g de carga. 3. Construya una gráfica representando en ordenadas las fuerzas mi g y en abscisas los correspondientes alargamientos xi = xi - x0. 4. En esa gráfica se puede observar para qué intervalo de fuerzas se cumple la ley de proporcionalidad con más precisión (único intervalo en que debe trabajar). Determine el valor de k, que corresponde a la pendiente de la recta para este intervalo. b) Método dinámico.

1. Pese en el granatario, y por separado, el platillo y el resorte y anote los valores de sus masas. Colóquelos de nuevo en el soporte y proceda como se indica a continuación. 2. Una vez estabilizado el platillo, tire de él suavemente hacia abajo, soltándolo después. Deje que realice algunas oscilaciones, y cronometre después el tiempo que tarda en dar un cierto número N de ellas (unas 10, por ejemplo). 3. Repita la operación colocando diferentes pesas, de masas mi, en el platillo y anote los correspondientes valores del período de oscilación en la tabla 2. 4. Construya una gráfica T2 – m, siendo en nuestro caso m = mplatillo + mpesas. Los puntos deben ajustarse a un comportamiento lineal de manera que, a partir de la correspondiente recta de regresión, puede obtener los valores de k y de f como se ha indicado anteriormente.

RESULTADOS: a) Método estático

x0 =

Tabla 1. Posiciones del platillo, fuerzas y alargamientos del resorte.

Masas mi

Posiciones xi

k=

Fuerzas mi g

Alargamientos

xi

b) Método dinámico

mplatillo=

mresorte= Tabla 2. Valores del período de las oscilaciones.

mplatillo + mpesas

k=

NT

T2

T

f=

OBSERVACIONES:

CUESTIONES: 1. Exprese la constante del resorte y su sensibilidad en unidades del Sistema Internacional. En nuestro caso, ¿resultaría práctico expresar una y otra en este sistema, o es preferible expresarlas en otras unidades?

2. Demuestre teóricamente que f = 1/3 (como se indicó anteriormente), esto es, que la masa efectiva del sistema es m + mr/3. (Para ello, puede proceder de la siguiente manera: Exprese la energía cinética del resorte en función de la masa, dm, y de la velocidad, v, de cada elemento del mismo. La relación entre la velocidad v de cada elemento del resorte y la velocidad v0 de su extremo inferior es la misma que la que existe entre la distancia entre ese elemento y su extremo superior y la longitud total del resorte. Análogamente, si el resorte es uniforme, la relación entre la masa total del resorte, mr, y la de un elemento del mismo, dm, debe ser igual a la que existe entre la longitud del resorte y la longitud de ese elemento. Haciendo las sustituciones oportunas puede calcular la integral, extendida a toda la longitud del resorte, para obtener su energía cinética. Sumando este valor al de la energía cinética del cuerpo suspendido (m v02/2) se obtiene la energía cinética total, de donde es fácil deducir el valor de la masa efectiva del sistema). 3. Determine la masa de un objeto, utilizando la gráfica obtenida a partir de la tabla 1, si al colocarlo en el extremo del resorte produce un alargamiento de 1,7 cm....