Vibración libre de un sistema masa resorte PDF

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICALABORATORIO #2 DE DINÁMICA APLICADAVIBRACIÓN LIBRE DE UN SISTEMA MASA-RESORTEIntegrantes:Ashley RequenézDaniel ChanRafael GonzálezCédulas:8-953- 8-956-8-955-Instructor: Coby AldeanoFecha: 30/04/INTRODUCCIÓNLos sistemas mecánicos cuenta...

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA LABORATORIO #2 DE DINÁMICA APLICADA VIBRACIÓN LIBRE DE UN SISTEMA MASA-RESORTE

Integrantes:

Cédulas:

Instructor: Coby Aldeano

Ashley Requenéz

8-953-706

Fecha: 30/04/2021

Daniel Chan

8-956-1368

Rafael González

8-955-435

INTRODUCCIÓN Los sistemas mecánicos cuentan con medios para almacenar energía cinética (masas o inercias), para almacenar energía potencial (elementos elásticos y por su posición en el campo gravitacional) y elementos para disipar energía (amortiguadores o fricción). Se indica que un sistema experimenta vibración libre cuando oscila sólo debido a una perturbación inicial sin que más adelante actúen fuerzas externas. Algunos ejemplos son las oscilaciones del péndulo del reloj del abuelo, el movimiento oscilatorio vertical percibido por un ciclista después de pasar por un tope y el movimiento de un niño en un columpio después de un empujón inicial. La figura 1 muestra un sistema de resorte y masa que representa el sistema vibratorio más simple posible. Se llama sistema de un solo grado de libertad, ya que una coordenada (x) es suficiente para especificar la posición de la masa en cualquier momento. No existe ninguna fuerza externa aplicada a la masa, de ahí que el movimiento resultante de una perturbación inicial será una vibración libre.

Figura 1. Vibración libre de un sistema masa-resorte.

Para esta segunda experiencia de laboratorio se busca obtener el modelo matemático de un sistema masa-resorte, con tal de comprender el efecto de la no-linealidad sobre la complejidad del modelo y determinar la ecuación diferencial de movimiento para un sistema linealizado.

Entonces, para estudiar las vibraciones libres de este sistema masa-resorte, analizamos el modelo matemático para tres tipos de resorte sin masa de constante elástica k (determinados en la primera experiencia de laboratorio) y distintos valores de masa m aplicado en uno de sus extremos, tal como se muestra en la figura 1, donde m solo puede moverse en dirección vertical. Además, calculamos el periodo y la frecuencia circular de vibración libre resultante, así como el periodo natural de oscilación del modelo matemático con los resultados medidos. Por último, se realiza una comparación de los resultados obtenidos del modelo matemático con los resultados medidos, calculando el porcentaje de error entre los datos de frecuencia natural experimentales y teóricos.

RESULTADOS

Se midió el periodo experimental 𝜏𝑛,𝑒𝑥𝑝 de cada resorte con las distintas masas utilizando un cronometro. Luego se utilizó la fórmula que relaciona el periodo y la frecuencia angular experimental 𝜔𝑛,𝑒𝑥𝑝 para obtener esta última, 𝜔𝑛,𝑒𝑥𝑝 =

2𝜋

𝜏𝑛,𝑒𝑥𝑝 Posteriormente, se calculó la frecuencia angular teórica 𝜔𝑛,𝑡𝑒𝑜𝑟 utilizando la siguiente ecuación, 𝜔𝑛,𝑡𝑒𝑜𝑟 = √

𝑘 𝑚

Con este valor fue posible obtener el periodo teórico 𝜏𝑛,𝑡𝑒𝑜𝑟 2𝜋 𝜏𝑛,𝑡𝑒𝑜𝑟 = 𝜔𝑛,𝑡𝑒𝑜𝑟 Y finalmente, calcular los porcentajes de error utilizando los valores teóricos y experimentales. En las siguientes tablas se resumen los resultados obtenidos para los 3 resortes utilizando masas de 50, 100, 150, 200, 250 y 300 g. Resorte 𝑘1 = 3.0278 𝑁/𝑚 𝑘2 = 8.175 𝑁/𝑚 𝑘3 = 12.2625 𝑁/𝑚

Masa 50 g 50 g 50 g

𝜏𝑛 𝑒𝑥𝑝 0.84 0.54 0.49

𝜏𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟 0.81 0.49 0.40

𝜔𝑛 𝑒𝑥𝑝 7.48 11.64 12.82

𝜔𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟 7.78 12.79 15.66

% 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 3.86 8.99 18.14

Resorte 𝑘1 = 3.0278 𝑁/𝑚 𝑘2 = 8.175 𝑁/𝑚 𝑘3 = 12.2625 𝑁/𝑚

Masa 100 g 100 g 100 g

𝜏𝑛 𝑒𝑥𝑝 1.16 0.86 0.62

𝜏𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟 1.14 0.70 0.57

𝜔𝑛 𝑒𝑥𝑝 5.42 7.31 10.13

𝜔𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟 5.50 9.04 11.07

% 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 1.45 19.14 8.49

Resorte 𝑘1 = 3.0278 𝑁/𝑚 𝑘2 = 8.175 𝑁/𝑚

Masa 150 g 150 g

𝜏𝑛 𝑒𝑥𝑝 1.40 0.95

𝜏𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟 1.398 0.85

𝜔𝑛 𝑒𝑥𝑝 4.488 6.614

𝜔𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟 4.493 7.382

% 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 0.1113 10.404

𝑘3 = 12.2625 𝑁/𝑚

150 g

0.71

0.695

8.849

9.042

2.134

Resorte 𝑘1 = 3.0278 𝑁/𝑚 𝑘2 = 8.175 𝑁/𝑚 𝑘3 = 12.2625 𝑁/𝑚

Masa 200 g 200 g 200 g

𝜏𝑛 𝑒𝑥𝑝 1.63 1.05 0.87

𝜏𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟 1.615 0.983 0.802

𝜔𝑛 𝑒𝑥𝑝 3.855 5.984 7.222

𝜔𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟 3.891 6.393 7.830

% 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 0.925 6.397 7.765

Resorte 𝑘1 = 3.0278 𝑁/𝑚 𝑘2 = 8.175 𝑁/𝑚 𝑘3 = 12.2625 𝑁/𝑚

Masa 250 g 250 g 250 g

𝜏𝑛 𝑒𝑥𝑝 1.85 1.19 0.92

𝜏𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟 1.806 1.099 0.897

𝜔𝑛 𝑒𝑥𝑝 3.396 5.280 6.830

𝜔𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟 3.480 5.718 7.004

% 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 2.414 7.660 2.484

Resorte 𝑘1 = 3.0278 𝑁/𝑚 𝑘2 = 8.175 𝑁/𝑚 𝑘3 = 12.2625 𝑁/𝑚

Masa 300 g 300 g 300 g

𝜏𝑛 𝑒𝑥𝑝 1.97 1.27 0.99

𝜏𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟 1.978 1.204 0.983

𝜔𝑛 𝑒𝑥𝑝 3.189 4.947 6.347

𝜔𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟 3.177 5.220 6.393

% 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 0.378 5.230 0.720

PREGUNTAS 1. Posibles fuentes de error en la realización del laboratorio ✓ Algunas posibles fuentes de error en el laboratorio pueden ser los errores humanos. Al medir el período del ciclo, se usó un cronómetro accionado y detenido manualmente, lo que puede generar errores al momento del cálculo del período y la velocidad angular, y, también al calcular la K, la misma fue calculada por medio de la obtención de la pendiente de una gráfica generada a partir de datos también calculados. 2. ¿Qué suposiciones son necesarias para la realización de la experiencia? ✓ La deformación es pequeña en comparación con la longitud total de la barra. ✓ No hay amortiguamiento. 3. Demostrar matemáticamente la obtención de la frecuencia natural de este sistema, detallando los pasos para la misma. Mediante la Primera Ley de Newton 𝑑 Σ𝐹 = (𝑚𝑥) = 𝑚𝑥󰇘 𝑑𝑡 𝑚𝑔 − 𝑘 (𝑥 + 𝛿) = 𝑚𝑥󰇘 Puesto que en la posición de equilibrio el peso es igual a la fuerza del resorte sobre la masa 𝑚𝑥󰇘 + 𝑘𝑥 = 0

Utilizando la Transformada de Laplace y suponiendo que la condición inicial de la primera derivada es cero, ℒ{𝑚𝑥󰇘 } + ℒ{𝑘𝑥} = ℒ{0}

𝑚(𝑠 2 𝑥(𝑠) − 𝑠𝑥(0) − 𝑥󰇗 (0)) + 𝑘𝑥 (𝑠) = 0

𝑚𝑠 2 𝑥(𝑠) + 𝑘𝑥 (𝑠) = 0

𝑥(𝑠)(𝑚𝑠 2 + 𝑘) = 𝑚𝑠𝑥0 𝑚𝑠𝑥0 𝑚𝑠 2 + 𝑘 𝑠𝑥0 𝑥(𝑠) = 𝑘 𝑠2 + 𝑚 𝑠𝑥0 𝑥(𝑠) = 2 𝑠 + 𝜔2

𝑥(𝑠) =

Al aplicar la Transformada de Laplace inversa se obtiene 𝑥(𝑡) = 𝑥0 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

4. ¿De qué parámetros depende la rigidez de un sistema? La rigidez de un sistema depende del valor de la contaste de resorte. Entre mayor sea su valor, asimismo será la cantidad de fuerza requerida para mover el resorte de una cantidad fija de distancia y producir movimientos de elongación/deformación. Además, esto depende del material del alambre, el diámetro del alambre y del resorte, el número de espiras y la distancia entre espiras. 5. ¿Se puede representar el movimiento de este sistema en otra coordenada que no sea 𝑥? ¿Haría más fácil o difícil el análisis? En este laboratorio el modelado matemático se representó en el eje x, debido a que no variaba en sus otros ejes, en cambio, si fuera el caso en el que el resorte varía en más de un eje, entonces el movimiento podría ser representado en varias coordenadas, lo que generaría un movimiento relativo y haría más difícil el análisis. 6. Resolver el modelo matemático para varias condiciones iniciales en Xcos o Simulink. Resolución del modelo matemático:

Figura 2. Modelo matemático del sistema masa-resorte.

Resultado del modelo matemático para:

x󰇗 (0) = 5 y x(0) = 6

Deformación = 20 cm m = 50 g = 0.05 kg

Figura 3. Gráfico para el modelo matemático con condiciones iniciales de 𝑥󰇗 (0) = 5 𝑦 𝑥(0) = 6.

Resultado del modelo matemático para:

x󰇗 (0) = 4 y x(0) = 7 Deformación = 9 𝑐𝑚

m = 50 g = 0.050 kg

Figura 5. Gráfico para el modelo matemático con condiciones iniciales de 𝑥󰇗 (0) = 4 𝑦 𝑥(0) = 7.

Resultado del modelo matemático para:

x󰇗 (0) = 3 y x(0) = 5 Deformación = 16 𝑐𝑚 m = 50 g = 0.050 kg

Figura 6. Gráfico para el modelo matemático con condiciones iniciales de 𝑥󰇗 (0) = 3 𝑦 𝑥(0) = 5..

7. Suponga que el resorte del sistema es real. Si fuese el caso, ¿Es totalmente exacto el modelo matemático en: el agua, el aire, el espacio exterior? Sustente su respuesta. ✓ En agua el modelo matemático podría no ser exacto, ya que, en el caso del modelado matemático del resorte, factores como la resistencia opuesta al movimiento que presenta el medio en el que se mueve se desprecia, lo cual no es una suposición correcta en un medio como el agua, debido a que en este medio el agua ejercerá una fuerza opuesta al movimiento del resorte. En el caso del aire, el modelo puede considerarse exacto, debido a que la resistencia al movimiento de parte del aire puede despreciarse, aunque el movimiento no será perpetuo, ya que, aunque sea mínima, el aire se opondrá al movimiento del resorte. En el espacio, si se desprecian factores disipadores de energía, el modelo matemático sería totalmente exacto, ya que no hay fuerzas opuestas al movimiento del resorte.

CONCLUSIÓN Durante este laboratorio se pudo observar el movimiento armónico simple, un movimiento periódico en el que un cuerpo oscila con un período igual de tiempo. Al colocar distintas masas en los extremos de varios resortes con distintas constantes “k”, se logró realizar una comparación entre los resultados esperados mediante cálculos teóricos, los cuales fueron obtenidos mediante el empleo de la segunda ley de Newton, despreciando la fricción que podría oponer el medio y hallando la función que describía este movimiento y los resultados experimentales, al compararlos se notó que los resultados eran bastante parecidos, corroborando la aplicación de los conocimientos teóricos a la práctica. Mediante las preguntas de análisis se comprendió que, al momento de determinar el modelo matemático de un

movimiento, se deben considerar muchos factores que pudieran afectar nuestro sistema, ya que, precisamente estos son los que podrían volver inútil el modelo planteado.

REFERENCIAS (S/f-b).

Recuperado

el

28

de

abril

de

2021,

del

sitio

web

Brainly.lat:

https://brainly.lat/tarea/11226479 del Carmen Cornejo Serrano, M. (s/f). SISTEMA MAS A RESORTE CON MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO, CASOS: SOBREAMORTIGUADO, CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO Y SUBAMORTIGUADO, SU MODELADO Y SOLUCIÓN, CON EL APOYO DE GEOGEBRA. Recuperado el 27 de abril de 2021, del sitio web Edu.mx: http://www.itcelaya.edu.mx/ojs/index.php/pistas/article/download/664/578...