Sistema masa resorte PDF

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Se muestra una práctica realizada en Matlab de un sistema masa resorte en donde se analiza los diferentes estados que puede tener (subamortiguado, sobre amortiguado y críticamente amortiguado)...

Description

SISTEMA MASA RESORTE AMORTIGUADOR ESNEYDER MORCILLO OCAMPO

m ẍ+ b ẋ +kx =0 Se asume una solución de la forma x ( t ) =c∗e λ t Reemplazando 2 en 1 mc λ2 e λ t +bc λ e λ t +kc e λ t=0 2 λt ce [ m λ + b λ + k ]=0

λ=

2 −b √b −4 mk ± 2m 2m

1. Subamortiguado m=2, b=0.4, k=0.8 Desarrollando la ecuación 3 tenemos λ=−0.1 ± j0.624 (−0.1+ j 0.624 t)

x ( t )=c 1 e

−0.1 t

x ( t )=c 1 e

(−0.1− j 0.624 )t

+c2e

e j 0.624 t +c 2 e−0.1 t e− j 0.624 t

Factorizando e−0.1t

[ c 1 e j 0.624 t +c 2 e− j 0.624 t]

−0.1 t

x ( t ) =e

Usando la fórmula de Euler se tiene: x ( t )=e−0.1 t [ c 1 ( cos 0.624 t + jsen 0.624 t )+c 2 ( cos 0.624 t− jsen0.624 t ) ] −0.1 t

x ( t )=e

[ (c 1+ c 2)cos 0.624 t+(c 1−c 2)sen 0.624 t ] Asumiendo A= j(c 1−c 2) B=c 1+c 2 Y reemplazando en 4 −0.1 t

x ( t ) =e

[ Asen 0.624 t+ Bcos 0.624 t ]

Asumiendo las siguientes condiciones iniciales x ( 0 )=0.5

ẋ ( 0) =0 B=0.5

Derivando 5 −0.1 t

ẋ ( t )=−0.1 e

[ Asen 0.624 t + Bcos 0.624 t ]+e−0.1 t [0.624 Acos 0.624 t−0.624 Bsen 0.624 t ] ẋ ( 0) =0=−0.1 B+0.624 A A=0.0801

Reemplazando los valores obtenidos de A y B tenemos la siguiente solución a la EDO −0.1 t

x ( t ) =e

[ 0.0801 sen 0.624 t+0.5 cos 0.624 t]

Solución en Matlab Solución de Ode45 function dx=subaEDO(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(2); dx(2)=(-0.4*x(2)-0.8*x(1))/2; end t=linspace(0,70,100); CI=[1,0]; [t,y]=ode45(@subaEDO,t,CI); figure (2) plot(t,y(:,1),'y','linewidth',2);

Fig1. Grafica sub amortiguada obtenida de ODE45

Verificando con Dsolve: S=dsolve('2*D2x+0.4*Dx+0.8*x=0','x(0)=1,Dx(0)=0'); t=linspace(0,70,100); y=eval(vectorize(S)); plot(t,y,'r','linewidth',2);

Fig2. Grafica sub amortiguada obtenida por Dsolve Análisis En el fenómeno de la sub amortiguación, se encuentra una gráfica muy similar a una señal periódica pero con tendencia a decrementar, esto es debido a el análisis complejo que se le dio y a los cambios alternos de igualdades (Euler a sin y cos). Examinando la gráfica podemos finiquitar que la fuerza causada por la elasticidad es mucho mayor que la fuerza implicada del amortiguamiento; lo anterior ocasiona que la masa oscile en un determinado tiempo y concluido este vuelva a su posición de arranque (origen).

2. Sobre amortiguado m=1, b=7, k=10 solución en Matlab Solución en Ode45 function dx=sobrebEDO(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(2); dx(2)=-10*x(2)-7*x(1); end

t=linspace(0,25,100); CI=[3,0.5]; [t,y]=ode45(@sobrebEDO,t,CI); plot(t,y(:,1),'g','linewidth',3);

Fig3. Grafica sobre amortiguada obtenida por Ode45

Verificando por Dsolve: S=dsolve('1*D2x+7*Dx+10*x=0','x(0)=3,Dx(0)=0.5'); t=linspace(0,25,100); y=eval(vectorize(S)); plot(t,y,'b','linewidth',2);

Fig4. Grafica sobre amortiguada obtenida por Dsolve Análisis Analizando la gráfica obtenida del movimiento de sobre amortiguación, se puede decir discurrir que la fuerza de amortiguamiento es mucho mayor que la fuerza que se ejerce en la elasticidad y esto es debido a las raíces que toman valores reales haciendo que la masa empiece con una velocidad que a medida que varía el tiempo tiende a posicionarse en su estado origen o de reposo de forma muy lenta

3. Críticamente amortiguada m=1, b=12, k=36 Código de la solución en Matlab Solución por medio de Ode45: function dx=caEDO(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(2); dx(2)=-12*x(2)-36*x(1); end

t=linspace(0,10,100); CI=[1.5,2]; [t,y]=ode45(@caEDO,t,CI); plot(t,y(:,1),'m','linewidth',3);

Fig5. Grafica críticamente amortiguada obtenida por Ode45

Verificando por Dsolve:

S=dsolve('1*D2x+12*Dx+36*x=0','x(0)=1.5,Dx(0)=2'); t=linspace(0,10,100); y=eval(vectorize(S)); plot(t,y,'r','linewidth',3)

Fig6. Grafica críticamente amortiguada obtenida por Dsolve

Análisis Al analizar la respuesta obtenida de la gráfica se podría concluir que al ser las raíces iguales, la fuerza de amortiguamiento se limita a ser igual que a la fuerza ocasionada por la elasticidad, ahora la masa tiende a ocupar el entorno de reposo que conllevaba al principio pero a su vez la velocidad inicial incrementa lentamente...