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Universidad Tecnológica de PanamáFacultad de Ingeniería EléctricaIngeniería ElectromecánicaLaboratorio de Dinámica AplicadaVibración libre de un sistema masa-resorteInstructor DanielGonzalesElaborado por:Ariel Ortiz 8- 953-Carlos Nash 8- 932-Davis Almanza 8- 957-1IE141(A)Fecha de entregaMiércoles 12...

Description

Laboratorio de Dinámica Aplicada 1IE141(A)

Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Eléctrica Ingeniería Electromecánica

Laboratorio de Dinámica Aplicada Vibración libre de un sistema masa-resorte

Instructor Daniel Gonzales

Elaborado por: Ariel Ortiz

8-953-1545

Carlos Nash

8-932-2469

Davis Almanza

8-957-644

1IE141(A)

Fecha de entrega Miércoles 12 de mayo 2021

Laboratorio de Dinámica Aplicada 1IE141(A)

Introducción La vibración libre ocurre cuando una masa se desplaza una distancia X y se deja vibrar libremente. El desplazamiento se debe a una excitación tipo impulso de la estructura, sin la aplicación de ninguna fuerza externa a la misma. La masa oscila alrededor de su punto de equilibrio. Cuando la estructura está en equilibrio estático, el peso de la masa (mg) es igual a la fuerza del muelle (Δk), tal como muestra la siguiente imagen. La fuerza del muelle se define como el producto de la constante de rigidez del muelle, k, y la elongación del muelle en reposo, Δ. Cada estructura tiene una o más frecuencias naturales de vibración. Las frecuencias naturales (también llamadas frecuencias de resonancia) es la frecuencia a la cual la rigidez y las fuerzas de inercia se anulan entre sí.

Marco Teórico Los sistemas mecánicos cuentan con medios para almacenar energía cinética (masas o inercias), para almacenar energía potencial (elementos elásticos y por su posición en el campo gravitacional) y elementos para disipar energía (amortiguadores o fricción). Para un resorte lineal, la relación entre la fuerza F y la deformación x, mostrada en la figura 1, esta dad por la siguiente ecuación: 𝐹 = 𝑘𝑥

Ecuación 1

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Figura 1

La energía potencia de un resorte está dada por la siguiente ecuación (2). 1 𝐸𝑝 = 𝑘𝑥 2 2 Ecuación 2

Tal como se estale en la ecuación 1, existe una proporción directa entre la fuerza aplicada al resorte y la deformación producida al mismo, la constante de proporcionalidad, que es la pendiente de la curva fuerza-deformación representa la constante k del resorte. Para una masa o inercia, la relación entre la fuerza y la aceleración 𝑥󰇘 esta dada por: 𝐹 = 𝑚𝑥󰇘

Ecuación 3

La energía cinética de una masa con movimiento de traslación esta dad por la ecuación (4). 𝐸𝐶 =

1 𝑚𝑥󰇗 2 2

Ecuación 4

Asumiendo despreciable el amortiguamiento en el sistema, la energía total se conserva. Por lo tanto, 𝐸𝑇 = 𝐸𝑃 + 𝐸𝐶 Ecuación 5

1 1 𝐸𝑇 = 𝑘𝑥 2 + 𝑚𝑥󰇗 2 2 2 Ecuación 6

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La ecuación diferencial de movimiento de la masa suspendida de un resorte puede determinarse por varios métodos, entre los cueles podemos mencionar: Segunda Ley de Newton: ∑𝐹 =

𝑑 (𝑚𝑥) = 𝑚𝑥󰇘 𝑑𝑡

Ecuación 7

𝑚𝑔 − 𝑘(𝑥 + 𝛿 ) = 𝑚𝑥󰇘 Ecuación 8

𝑚𝑥󰇘 + 𝑘𝑥 = 0 Ecuación 9

Debido a que, en el equilibrio estático:

𝑚𝑔 − 𝑘𝛿 = 0 Ecuación 10

Conservación de la Energía:

𝑑 (𝐸 ) = 0 𝑑𝑡 𝑇 Ecuación 11

𝑑 1 2 1 ( 𝑘𝑥 + 𝑚𝑥󰇗 2 ) = 0 2 𝑑𝑡 2 Ecuación 12

𝑚𝑥󰇘 + 𝑘𝑥 = 0 Ecuación 13

La solución de esta ecuación diferencial homogénea, de segundo grado, con coeficientes constante es la siguiente: 𝑥(𝑡) = Asin 𝜔𝑛 + Bcos 𝜔𝑛 Ecuación 14

Donde las constantes A y B se obtienen a partir de las condiciones iniciales 𝑥0 = 𝑥(𝑡 = 0) 𝑦 𝑣0 = 𝑥󰇗 0 = 𝑥󰇗 (𝑡 = 0) Ecuación 15

Podemos resolver este problema gráficamente de la siguiente manera: Un integrador está representado por la figura 2

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Figura 2

Aplicando integradores para resolver la ecuación (9), primero despejamos 𝑥󰇘 y luego integramos dos veces, resultan en el diagrama de la figura 3: 𝑥󰇘 = −

1 (𝑘𝑥) 𝑚

Ecuación 16

Figura 3

Contenido Periodo natural y frecuencia circular natural resultante con el tiempo experimental. 𝑓𝑛 =

1 (𝐻𝑧 𝑜 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠/𝑠) 𝜏𝑛 Ecuación 17

𝜔𝑛 = 2𝜋𝑓𝑛 Ecuación 18

Periodo natural teórica resultante de la ecuación diferencial y porcentaje de error

Laboratorio de Dinámica Aplicada 1IE141(A) 𝑘 𝜔𝑛 = √𝑚 Ecuación 19

𝜔𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝜔𝑛 𝑒𝑥𝑝 %𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = | | ∗ 100 𝜔𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜

Figura 4 primera constante k

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Figura 5 segunda constante k

Figura 6 tercera constante k

Laboratorio de Dinámica Aplicada 1IE141(A) k(N/m)

masa(kg)

fn teórica

fn exper.

Ƭ teórica

Ƭ experi.

Wn teori.

Wn exper.

%Error

5.9161

0.13

1.07366

1.159797

0.93139

0.86222

6.746

7.2872182

8.022802

8.9819

0.13

1.32291

1.417314

0.75591

0.70556

8.3121

8.9052459

7.135933

11.864

0.13

1.88821

1.510574

0.5296

0.662

9.5531

9.4912165

0.647785

Preguntas 1. Explique las posibles fuentes de error en la realización del laboratorio. Como todo trabajo hecho por humanos pueden haber errores, en este laboratorio uno de los errores más posible que sucedan seria medición del tiempo de manera errónea, como también sería una mala posición para el resorte 2. ¿Qué suposiciones son necesarias para la simplificación del modelo matemático Estudiado en el laboratorio? Para la simplificación del modelo matemático estudiado en el laboratorio debemos de tomar en cuenta dos suposiciones sumamente importantes:  suponer que se trata de un sistema mecánico que no posee amortiguamiento.  suponer que la gravedad es despreciable. 3. Demuestre matemáticamente la obtención de la frecuencia natural de oscilación analítica. Usando la conservación de energía 1 1 𝐸𝑡 = 2 𝑘𝑥 2 + 2 𝑚𝑥 2󰇗 1 1 1󰇗 𝑘𝑥 2 + 2 𝑚𝑥 2 = 𝐴𝑥 2 2 2 La integración se puede hacer para cada miembro que resulta en forma independiente como: 𝝎𝒏=√𝒌/𝒎 Y despejando x nos resulta la ecuación de movimiento de este sistema 𝑥(𝑡)=𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛𝑡+𝜑) 4. ¿De qué parámetros depende la rigidez de un sistema? Explique. Esto va depender directamente de la elasticidad, ya que esta es la que va a permitir que el elemento se pueda deformar de acuerdo con la fuerza que se le aplique, además la longitud del elemento, que se refiere hasta donde es posible que este se extienda sin deformarse. 5. ¿De qué parámetros depende la frecuencia natural de oscilación del sistema masaResorte? Explique. Esta frecuencia natural en muy sensible ya que esta solo dependerá de la rigidez del elemento y su masa. En otras palabras mientras más grande sea la rigidez, la frecuencia natural ira en aumento.

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Conclusiones Davis Almanza 8-957-644. En esta experiencia de laboratorio se pudo observar como la frecuencia natural está relacionada por la rigidez del elemento y su masa, esto es lo que permite un movimiento armónico simple, gracias al simulador se pudo obtener lo que eran los ciclos/segundos que se ejercían por la masa determinada, debido a esto pudimos ver que el tiempo también está relacionado directamente con la masa, porque mientras mayor sea la masa mayor será el tiempo de oscilación que habrá en el sistema. Ariel Ortiz 8-953-1545. En este laboratorio fue de mucha utilidad ya que nos pudimos enterar que para que un sistema este compacto o la rigidez de un sistema va a depender directamente con la elasticidad de este ya va a permitir que un elemento cualquiera puedo deformarse con la fuerza adecuada. Otro punto importante que tocamos en el laboratorio es que la frecuencia natural de oscilación ira aumentando siempre y cuando la rigidez sea más grande. Carlos Nash 8-932-2469. En esta experiencia medimos el periodo natural de un sistema masa resorte de manera experimental y luego lo comparamos con el periodo natural que nos arroja el valor de la ecuación diferencial. Al observar los datos notamos que existen algunas pequeñas diferencias entre el valor experimental y el valor teórico. Esto puede deberse a diferentes factores. El primero es el resorte. Si nos acordamos de laboratorio pasado, los resortes reales pueden llegar a tener una deviación no lineal. Esto puede provocar diferencias entre el modelo y el sistema real. Y por último el error humano de medición, este siempre está presente en las mediciones y pudo haber provocado la deviación de los valores experimentales. Considero que esto fue lo que más afecto en el medición ya que el error no es tan alto.

Referencias bibliográficas 

Blas, M. (22 de Enero de 2016). Teoría de Vibraciones Mecánicas. Femap y Simcenter Nastran. https://iberisa.wordpress.com/tag/teoria-devibraciones/#:~:text=La%20vibraci%C3%B3n%20libre%20ocu rre%20cuando,de%20su%20punto%20de%20equilibrio....