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SISTEMA MASA – RESORTERESUMEN – ABSTRACTEl presente laboratorio de física fue realizado el día viernes 28 de Febrero del 2014 entre las 08:30 y 10:30 de la mañana con el fin de ampliar los conocimientos obtenidos en la temática.En el siguiente informe se presenta la evidencia de la realización de la...

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SISTEMA MASA – RESORTE RESUMEN – ABSTRACT El presente laboratorio de física fue realizado el día viernes 28 de Febrero del 2014 entre las 08:30 y 10:30 de la mañana con el fin de ampliar los conocimientos obtenidos en la temática. En el siguiente informe se presenta la evidencia de la realización de la práctica basada en determinar y describir el comportamiento de un sistema masa – resorte a través del movimiento armónico simple, teniendo en cuenta la longitud del resorte con diferentes masas m, el periodo de oscilación, la fuerza aplicada y la constante de elasticidad.

OBJETIVOS Haciendo uso de los conocimientos obtenidos, se han determinado los siguientes objetivos:  Determinar dinámicamente la constante de elasticidad de un resorte.  Comprobar experimentalmente que un sistema masa – resorte oscilando, oscila un tercio de la masa del resorte.  Analizar e identificar el comportamiento de un sistema masa – resorte tomando como base el movimiento armónico simple, sus propiedades y características principales.  Distinguir la relación que se da entre la fuerza aplicada y la deformación obteniendo así la constante del resorte.  Distinguir la relación entre la masa y el cuadrado del periodo obteniendo así la contante de elasticidad del resorte.

TECNICAS EMPLEADAS Mediante la observación y el análisis del fenómeno, se implementaron diversas técnicas como la medición, por medio de la cual se determinó la longitud del resorte con distintas masas m. De igual forma se implementan operaciones, con las cuales se halló la deformación y la constante del resorte y por último el análisis grafico para determinar las relaciones entre las medidas obtenidas durante la experiencia, calculando las distintas constantes de elasticidad. También, se mide el margen de error. Cada una de estas técnicas nos permiten identificar y analizar cómo se da el movimiento armónico simple dentro del sistema masa – resorte.

FUNDAMENTOS TEORICOS

Primeramente se debe describir que es el movimiento armónico simple y como se aplica este dentro de la práctica de laboratorio realizada. El movimiento armónico simple es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio. Para deducir y establecer las ecuaciones que rigen el movimiento armónico simple (unidimensional) es necesario analizar el movimiento de la proyección, sobre un diámetro de una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme (bidimensional). El movimiento armónico simple se puede estudiar desde diferentes puntos de vista: cinemático, dinámico y energético. Entender el movimiento armónico simple es el primer paso para comprender el resto de los tipos de vibraciones complejas. El más sencillo de los movimientos periódicos es el que realizan los cuerpos elásticos. Una clase muy especial de movimiento ocurre cuando la fuerza sobre un cuerpo es proporcional al desplazamiento del cuerpo desde alguna posición de equilibrio. Si esta fuerza se dirige hacia la posición de equilibrio hay un movimiento repetitivo hacia delante y hacia atrás alrededor de esta posición. Un movimiento se llama periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor, es decir repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan. Un movimiento periódico es oscilatorio si la trayectoria se recorre en ambas direcciones en los que la distancia del móvil al centro pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo. El movimiento se realiza hacia adelante y hacia atrás, es decir que va y viene, (en vaivén) sobre una misma trayectoria. Un movimiento oscilatorio es vibratorio si su trayectoria es rectilínea y tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales. Un movimiento vibratorio es Armónico cuando la posición, velocidad y aceleración se puede describir mediante funciones senos y cosenos. En general el movimiento armónico puede ser compuesto de forma que estén presentes varios períodos simultáneamente. Cuando haya un solo período, el movimiento recibe el nombre de Movimiento Armónico Simple o abreviadamente, M.A.S. Además de ser el más sencillo de analizar, constituye una descripción bastante precisa de muchas oscilaciones que se observan en la naturaleza. La ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F . La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida en el resorte con la elongación o alargamiento x producido. F=−kx Donde k es la constante elástica del resorte y x su elongación. El movimiento armónico simple sucede cuando la fuerza de restitución F es directamente proporcional al desplazamiento x con respecto al equilibrio. Esto

ocurre si el resorte es ideal y obedece a la ley de Hooke. La constante de proporcionalidad entre F y x es la constante de fuerza k . La rapidez angular ω esta relacionada con la constante de fuerza k y la masa m del cuerpo oscilante como: k k ω2 = o bien ω= m m La rapidez angular es igual a la frecuencia angular del punto oscilante. Tenemos entonces que siendo T el periodo de oscilación, durante un tiempo t se da una revolución ( 2 π ) radianes, así que la rapidez angular es ω=2 π /T . Así, la ecuación anterior la interpretaremos como una expresión de la frecuencia angular del movimiento armónico simple para un cuerpo de masa m , sobre el que actúa una fuerza de restitución con constante de fuerza k

√

Cuando un cuerpo comienza a oscilar en un M.A.S., no podemos elegir un valor de ω , pues esta predeterminado por los valores de k y m . Según las ecuaciones del movimiento circular uniforme (MCU), la frecuencia y el periodo son: w 1 k f= = 2π 2π m

√

√

1 2π m T= = =2 π f k ω

Entonces, aplicado a la práctica de laboratorio tenemos que:

√

m+m 0 1 2π =2 π T= = ω k f Donde m 0 es la masa equivalente del resorte que oscila, k es la constante del resorte, m es la masa del cuerpo que pende del resorte. Esta ecuación se puede describir así: 2

2

T =

4π 4 π2 m0 m+ k k

MATERIAL UTILIZADO Dentro del material utilizado se implementaron: una regla o cinta métrica, un resorte, distintas masas, dos soportes con varillas, y nueces. Regla o cinta métrica: Es un instrumento de medida, cuyas medidas se dan en mm (milímetros) y cm (centímetros). Resorte: Se conoce como resorte o muelle a un operador elástico capaz de almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir deformación permanente cuando cesan las

fuerzas o la tensión a las que es sometido, en la mecánica es conocido erróneamente como "la muelle" varían así de la región o cultura. Se les emplean en una gran cantidad de aplicaciones, desde cables de conexión hasta disquetes, productos de uso cotidiano, herramientas especiales o suspensiones de vehículos. Su propósito, con frecuencia, se adapta a las situaciones en las que se requiere aplicar una fuerza y que esta sea retornada en forma de energía. Siempre están diseñados para ofrecer resistencia o amortiguar las solicitaciones externas. Masas Diferentes: Son pequeñas piezas cuyas masas son 100 g, 120 g, 150 g, 170 g, 200g, 220 g, 250 g, 270 g, 300 g, 320 g, 350 g. Soporte con varilla: Un soporte de laboratorio, soporte universal o pie universal es una pieza del equipamiento de laboratorio donde se sujetan las pinzas de laboratorio, mediante dobles nueces. Sirve para sujetar tubos de ensayo, buretas, embudos de filtración, criba de decantación o embudos de decantación, etc.

PROCEDIMIENTO Montaje: Como se indica en la figura, dispóngase de un soporte universal al que se le ha colocado una nuez con una varilla de 20 cm, de la que cuelga un resorte con espiral longitudinal, en el extremo inferior del resorte cuelgan diferentes cargas deformadas y un índice que marcara sobre la regla vertical colocada en la otra varilla del otro soporte universal los alargamientos que se produzcan en el resorte.

1. Para determinar la constante de elasticidad del resorte estáticamente. Anote la longitud inicial del resorte x 0 (con una masa de 100 g) marcada por el índice sobre la regla. Se colgó una nueva masa y anote la nueva longitud x del resorte que marca el índice sobre la regla. La deformación del resorte viene dada por ∆ x=x − x 0 . Se añaden nuevas masas y se repite el mismo procedimiento con distintas masas. NOTA: Evitar colocar un peso muy grande que rebase el límite de elasticidad del resorte y por tanto le cause deformación permanente (lo dañe). Registrar estas mediciones en una tabla.

2. Para determinar la constante del resorte dinámicamente, se cuelga una masa en el extremo del resorte y con la mano se estira y se suelta, haciéndolo oscilar para medir su periodo de oscilación. Añadir nuevas masas y repetir este procedimiento con cada una de ellas. Registrar estas mediciones en una tabla. 3. Graficar fuerza aplicada vs deformación (Tabla 1) y a partir de este grafico obtener la constante del resorte. 4. Graficar el cuadrado del periodo vs la masa (Tabla 2) y a partir de este grafico obtener la constante de elasticidad del resorte y la masa del resorte que oscila, para comprobar experimentalmente que es 1/3 de la masa total del resorte.

RESULTADOS Datos Obtenidos – Para fabricación tabla 1. Masa (M) 100 g = 0,1 kg (MEDIDA BASE) 120 g = 0,12 kg 150 g = 0,15 kg 170 g = 0,17 kg 200 g = 0,2 kg 220 g = 0,22 kg 250 g = 0,25 kg 270 g = 0,27 kg 300 g = 0,3 kg 320 g = 0,32 kg 350 g = 0,35 kg 370 g = 0,37 kg

Distancia (x) 30,0 cm = 0,3 m (MEDIDA BASE) 33,0 cm = 0,330 m 37,5 cm = 0,375 m 40,5 cm = 0,405 m 45,0 cm = 0,450 m 48,0 cm = 0,480 m 52,5 cm = 0,525 m 55,5 cm = 0,555 m 60,0 cm = 0,600 m 63,0 cm = 0,630 m 67,5 cm = 0,675 m 70,5 cm = 0,705 m

Medidas tomadas durante la práctica de laboratorio, masa, y la distancia que toma el resorte con cada una de las masas. Utilizados para hacer tabla 1. (Ver tabla 1)

Datos Obtenidos – Para fabricación tabla 2. Oscilaciones = 10

Masa (M)

100 g = 0,1 kg

120 g = 0,12 kg

Tiempo 08,700 s 08,900 s 08,800 s 08,750 s 08,740 s 09,500 s 09,300 s

Tiempo Promedio

8,7780 s

9,4400 s

Error Absoluto 8,7780s ± 0,1000 s 9,4400s ± 0,1350 s

150 g = 0,15 kg

170 g = 0,17 kg

200 g = 0,2 kg

220 g = 0,22 kg

250 g = 0,25 kg

270 g = 0,27 kg

300 g = 0,3 kg

320 g = 0,32 kg

350 g = 0,35 kg

09,540 s 09,290 s 09,570 s 10,300 s 10,500 s 10,400 s 10,460 s 10,410 s 10,940 s 10,937 s 11,003 s 10,947 s 10,977 s 11,614 s 11,743 s 11,703 s 11,801 s 11,641 s 12,349 s 12,229 s 12,315 s 12,337 s 12,163 s 13,098 s 13,102 s 13,028 s 13,074 s 12,983 s 13,709 s 13,501 s 13,385 s 13,547 s 13,315 s 14,082 s 14,251 s 14,261 s 14,144 s 14,226 s 14,562 s 14,319 s 14,720 s 14,570 s 14,573 s 15,126 s 15,219 s

10,4140 s

10,4140s ± 0,1000 s

10,9608 s

10,9608s ± 0,0330 s

11,7010 s

11,7010s ± 0,0935 s

12,2786 s

12,2786s ± 0,0930 s

13,0570 s

13,0570s ± 0,0595 s

13,4914 s

13,4914s ± 0,1970 s

14,1928 s

14,1928s ± 0,0895 s

14,5488 s

14,5488s ± 0,2005 s

15,2076 s

15,2076s ± 0,0590 s

370 g = 0,37 kg

15,221 s 15,228 s 15,244 s 15,499 s 15,493 s 15,379 s 15,456 s 15,495 s

15,4644s ± 0,0600 s

15,4644 s

Medidas tomadas durante la práctica de laboratorio, tiempo por 10 oscilaciones, su promedio y su error absoluto. Utilizados para hacer tabla 2. (Ver tabla 2)

TABLA 1 Después de realizar el paso 1 (ver procedimiento), se obtuvo: Fuerza aplicada (P) (masa) Kg 0,120 kg 0,150 kg 0,170 kg 0,200 kg 0,220 kg 0,250 kg 0,270 kg 0,300 kg 0,320 kg 0,350 kg 0,370 kg

Deformación Δx = x - x 0

N 1,176 N 1,470 N 1,666 N 1,960 N 2,156 N 2,450 N 2,646 N 2,940 N 3,136 N 3,430 N 3,626 N

X 0,330 m 0,375 m 0,405 m 0,450 m 0,480 m 0,525 m 0,555 m 0,600 m 0,630 m 0,675 m 0,705 m

X0 0,300 m 0,300 m 0,300 m 0,300 m 0,300 m 0,300 m 0,300 m 0,300 m 0,300 m 0,300 m 0,300 m

k = P/Δx

X - X0 (m) 0,030 m 0,075 m 0,105 m 0,150 m 0,180 m 0,225 m 0,255 m 0,300 m 0,330 m 0,375 m 0,405 m

39,20 kg/s2 19,60 kg/s2 15,87 kg/s2 13,07 kg/s2 11,98 kg/s2 10,89 kg/s2 10,38 kg/s2 09,80 kg/s2 09,50 kg/s2 09,15 kg/s2 08,95 kg/s2

Tabla 1. Medidas tomadas de fuerza; desplazamiento; deformación; constante del resorte; Kg (kilogramos); N (newton); m (metros); s (segundos).

TABLA 2 Después de realizar el paso 1 (ver procedimiento), se obtuvo: Masa [k] g 100 120 150 170 200 220 250 270 300 320

kg 0,10 0,12 0,15 0,17 0,20 0,22 0,25 0,27 0,30 0,32

Período [s] s 0,88 0,95 1,04 1,10 1,16 1,23 1,31 1,35 1,42 1,45

Período [s²] s² 0,77 0,90 1,08 1,20 1,34 1,51 1,70 1,81 2,01 2,11

350 370

0,35 0,37

1,52 1,55

2,31 2,39

Tabla 2. Medidas tomadas de masa; periodo; cuadrado del periodo; g (gramos); Kg (kilogramos); s (segundos).

GRAFICO 1 En base de los datos de la tabla 1, se grafica fuerza vs deformación o distancias para hallar la K del resorte

Fuerza vs deformación(distancia) 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Grafica 1. Fuerza aplicada vs Deformación.

La grafica presenta una recta creciente, es decir que las fuerzas es proporcional a una constante por el desplazamiento. Como sobre la fuerza actúa la fuerza que es el peso de las masas usadas y se conoce la distancia, entonces es posible conocer la constate de restitución del resorte a través de la ecuación ∑ f =−kx=ma , como el sistema está en dirección vertical, la aceleración que influye es la gravitatoria. Por lo tanto mg k= , es decir, que la pendiente de la gráfica representa y es la constate de x elasticidad del resorte. La pendiente la podemos hallar manualmente por la fórmula: Pendiente =

Δf Δx

=

f 2−f 1 , sin embargo, La hallamos mediante la Excel ya que nos dará un resultado x 2− x 1 más exacto, y este fue de 6,53 kg/s2 Siendo esto nuestra pendiente del resorte. El error absoluto fue de 4.2% y esto se obtuvo a través de la formula EA=

Valor obtenido−valor teorico . 2

GRAFICO 2 En base de los datos de la tabla 2, se grafica masa vs cuadrado del periodo para hallar la K dinámica del resorte

Periodo(s²) vs longuitud(masa) 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00 0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Grafica 2. Cuadrado del período vs masa

Se conoce que el periodo para una masa que oscila ligada a un resorte es: T =2 π M +Mo , donde Mo es la masa del resorte que oscila, k es la constante del K resorte, M es la masa del cuerpo que depende del resorte. Esta ecuación se puede escribir así: 2 2 M + Mo T 2 =4 π 2 ( ) Y esto es igual a T 2 = 4 π M + 4 π Mo . De esto se deduce K K K 2 4π que m= K Como nuestro objetivó es sacar obtener la constate de elasticidad proseguimos a 2 despejar K= 4 π , para completar nuestra formula debemos hacer la pendiente de M nuestra gráfica y la hallamos con la ayuda de Excel y es de 6,09 kg /s 2 , ahora 4 π2 remplazamos este valor en nuestra formula. k = Nuestra constate del 2 . 6,09 kg /s resorte es 6,48 kg /s 2 .

√

Nuestro error absoluto 0,2% y esto se obtuvo a través de la formula Valor obtenido−valor teorico EA= . 2 Además podemos hallar o conocer la masa del resorte, al despejar en la primera ecuación mencionada, cabe recordar y esto fue con artificios matemáticos.

kb 4 π2 . Fue Mo , se despeja b ya que nuestra incógnita es hallar Mo, Mo= 4 π2 K necesario recurrir a un programa de grafica para poder hallar nuestro valor b y este fue de 0,28. b=

Mo=

6,48 kg/s 2∗( 0.22 s2 ) =0,0361kg 4 π2

En el laboratorio se calculó la masa del resorte y esta fue 68,5g lo que es igual a 0.0685Kg se divide entre 3 y se obtiene: 0.0685 kg =0.022 kg 3 Este es nuestra masa del resorte experimentalmente. Nuestro error absoluto fue de 0.14% y esto se obtuvo a través de la formula. EA=

Valor obtenido−valor teorico . 2

CONCLUSIONES Finalmente se logró cumplir con los objetivos mencionados al inicio de este informe, siendo así, que confirmamos las leyes que nos brindan el movimiento armónico simple. Específicamente para nuestra primera parte, la constante del resorte fue hallada mediante el uso de pendiente de nuestro gráfico, obteniéndola y comparando con la teoría y concluyendo así que la constate de un resorte es igual k = P/Δx, es necesario mencionar que esto se obtuvo con la ayuda de ciertos artíficos matemáticos. Para nuestro segunda parte también le logro hallar correctamente la constate de elasticidad de un resorte cuando este se encuentra en movimiento, además se puedo encontrar la masa de este resorte cuando en su sistema contenía masas ajenas a su sistemas, acabe aclarar que se requirió la ayuda de una gráfica para poder hallar un valor que se mencionó en el informe y por supuesto un estudio en matemáticas pero que fue mencionado ya que es el estudio de la física....