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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRESFACULTAD DE INGENIERIAResorteAlvarez Chura Aaron DavidLaboratorio Física Básica 1Grupo “B”04-12-La Paz – Bolivia####### Índice CARÁTULA................................................................ ÍNDICE..................................................................

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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA Resorte

Alvarez Chura Aaron David Laboratorio Física Básica 1 Grupo “B” 04-12-2020 La Paz – Bolivia

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Índice 1. 2. 3. 4.

CARÁTULA……………………………………………………….1 ÍNDICE………………………………………………………….…2 OBJETIVOS GENERALES…………………………………….....3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS……………………………………… 3 5. MARCO TEÓRICO………………………………………….. …....3 5.1 Método Estático………………………………………………..3 5.2 Método Dinámico……………………………………………...5 6. PROCEDIMIENTO………………………………………………..5 7. CÁLCULOS Y GRÁFICOS………………………………….......10 7.1 Método Estático…………………………………………….… 10 7.2 Método Dinámico…………………………………………..… 11 8. CUESTIONARIO…………………………………………….......14 9. CONCLUSIONES………………………………………….….....16 10. BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………...16

3

RESORTE 1. OBJETIVOS GENERALES a) Estudio de la ley de Hooke. b) Estudio del movimiento oscilatorio.

2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS a) Verificación de la ley de Hooke. b) Determinación de la constante de rigidez de un resorte por la aplicación de la ley de Hooke. c) Determinación de la ley de Hooke mediante el movimiento oscilatorio.

3. MARCO TEÓRICO MÉTODO ESTÁTICO Un resorte se construye a partir de un alambre de sección uniforme arrollada en forma de hélice cilíndrica, la característica principal de este dispositivo es que, cuando se ejerce una fuerza sobre el resorte, éste puede sufrir deformaciones (compresión o elongación), al cesar la fuerza el resorte recupera su longitud natural. La ley de Hooke establece: que la fuerza requerida para elongar o comprimir un resorte es proporcional a su elongación o compresión siempre y cuando no se sobrepase el límite elástico, (figura 10.1). De conformidad al anterior enunciado, cuando se aplica una fuerza F sobre el resorte (figura 10.2), se lograun desplazamientox proporcional a F.

F=kx

(10.1)

Figura 10.1

A su vez, el resorte ejerce una fuerza recuperadora que es proporcional y opuesta al desplazamiento, esto es, F´  kx . En la ecuación (10.1), que es la expresión matemática de la ley de Hooke, la constante k, se denomina constante de rigidez o elástica del resorte, esta constante depende fundamentalmente del tipo de material del que esta fabricado el resorte, sección transversal del material del resorte (grosor), radio de arrollamiento y número de espiras.

4

La ecuación (10.1) es válida mientras el resorte no sufra deformación permanente, la figura 10.3 muestra la variación de la fuerza aplicada en función alaelongación, antes de llegar a su límite de deformación.Cuando del resorte se cuelga un objeto, este ejerce la fuerza de su peso (es decir F  mg ) y el resorte se estira una distancia x, entonces:

F  mg  kx

(10.2)

Figura 10.2

Si repetimos este procedimiento con distintos objetos de masas conocidas (en consecuencia pesos) y midiendo las elongaciones xi; lograremos un conjunto de valores experimentales (wi, xi), los cuales deben seguir la tendencia de la recta mostrada en la figura 10.3, donde la pendiente de la recta representa la constante de elasticidad del resorte. En el experimento, luego de colgarse el resorte, se emplea un plato para soportar las pesas que se irán colocando, como muestra la figura 10.4. La parte inferior del plato se toma como el cero para la medición de las respectivas elongaciones; Aunque el plato tiene cierto peso (wp) y en consecuencia este estira al resorte cierta distancia xp , esto no modifica la validez de la ecuación (10.1), por cuanto al asignar el valor de cero a xp, los ejes se trasladan como muestra la figura 10.5, la cual es equivalente a la figura 10.3, por ello no consideraremos el peso del plato. Con el propósito de obtener la ecuación experimental de la ley de Hooke, ¿ ¿ ¿ los diferentes pesos que se colocan sobre el plato w 1,∗w2 , w3 , etc. producen diferentes alargamientos ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x 1 ,∗ x2 , x3 , etc., este conjunto de pares de datos ( w i , x i ), mediante ajuste de curvas, proporciona la ecuación experimental buscada, la cual es lineal de la forma:

¿

w ab x

¿

(10.3) Para que esta ecuación sea equivalente a (10.1), el término experimental “a” debe ser cero o muy próximo a cero, pues, debido a errores experimentales (errores aleatorios), el término “a” puede ser distinto de cero; sin embargo, a través de una prueba de hipótesis debe verificarse que a no difiere significativamente de cero, con lo cual se validará la ecuación (10.1) y en consecuencia la ley de Hooke. La pendiente de la recta, b (en la ecuación (10.3)), es igual a la constante de elasticidad del resorte, k.

5

MÉTODO DINÁMICO La constante de elasticidad del resorte, k, puede también obtenerse por el método dinámico. Para esto, considere un objeto de masa M unido a un resorte de constante, k y masa m despreciable; cuando el objeto está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre él son, su peso W y la fuerza del resorte, kx E, donde xE representa la elongación del resorte (figura 10.6), entonces:

W  kxE (10.4) Si desplazamos el objeto de su punto de equilibrio, hasta la posición xm (figura 10.7) y lo soltamos del reposo, la partícula se moverá hacia arriba y hacia debajo de la posición de equilibrio, O, generando un movimiento oscilatorio de amplitud xm. Con el propósito de analizar el movimiento oscilatorio del bloque, consideremos, para un tiempo t, un punto Pde la figura 10.7. Al desplazamiento, OP, denominaremos, x, medido desde el punto de equilibrio (O). Las fuerzas que actúan sobre el objeto en dicho punto son: el peso, W, y la fuerza del resorte, F R k ( x E +x) ; con el convenio de signos asumido en la figura 10.7, positivo hacia abajo, la sumatoria de fuerzas ( F ma ) resulta.

F  W  FR  Ma De donde: W k(xE  x)  Ma La ecuación (10.4) en (10.6): kxE  k(xE  x)  Ma Ordenando: kx  Ma

(10.5) (10.6)

(10.7)

Figura 10.7

6

Puesto que la aceleración, es igual

M

d2 x +kx=0 dt2

a=

d2 x la expresión (10.7) se escribe: d t2

(10.8)

Ordenando dicha expresión como:

d2 x 2 + p x=0 2 dt

k d 2 x k x=0 2 + y denominando p = la ecuación (10.8) resulta: 2 M M dt (10.9)

La expresión (10.9) es una ecuación diferencial lineal de segundo orden y define el movimiento armónico simple. La característica de este tipo de movimiento es que la aceleración es proporcional al desplazamiento, y de sentido opuesto, además independiente de la aceleración de la gravedad.

Existen dos soluciones particulares que satisfacen la ecuación (10.9), estas son: x1 = sen pt y x2= cos pt . La solución general se obtiene multiplicando las soluciones particulares por las constantes A y B y luego sumando estas:

x Asen pt Bcos pt

(10.10)

Las constantes A y B dependen de las condiciones iniciales del movimiento, para ello diferenciamos una vez la expresión (10.10) para obtener la velocidad,

v

v=

dx dt

dx = Ap cos pt−Bp sen pt dt

(10.11)

Las condiciones iniciales son: v0 y xm para t0 = 0, estas en (10.10) y (10.11) dan como resultado:

A

v0 y B=x m p

(10.12)

En nuestro caso, v0  0 para t0 = 0, con lo que la ecuación (10.10) se escribe: x  B cos pt (10.13) La ecuación (10.13) proporciona la posición del objeto para cualquier tiempo t, el término, B  xm , se denomina amplitud de oscilación con p=

√

k . El análisis de la ecuación (10.13) muestra que se obtiene M

x = B = xm, cuando cos pt 1 lo cual ocurre cuando pt  0, 2,(2  2)rad,......etc , esto señala que el objeto retorna al mismo lugar cada determinado tiempo, a este se denomina periodo de oscilación, T, en consecuencia: pT  2 (10.14) De donde la constante de elasticidad del resorte resulta:

k=

4 π2 M T2

(10.15)

Ecuación que nos permitirá determinar la constante de elasticidad del resorte a través de las medidas de masa m y periodo de oscilación T. La ecuación (10.15) se puede escibir:

7

( ) 2

2

T =

4π M k

(10.16)

La determinación de k, por este método requiere de la medición de la masa del objeto, medida que no plantea dificultad; sin embargo, en la medida del periodo T, esta magnitud puede resultar muy pequeña y la desviación en la manipulación del cronómetro (e = 0,20 s) resulta significativa. Para evitar este problema, es decir, para que el error en la determinación del periodo sea lo más pequeña posible, es conveniente medir el tiempo para n oscilaciones, tn, de modo que: t n nT (10.17) De donde:

T=

tn (10.18) n

El gráfico de la ecuación (10.16) nos indica que la pendiente de la recta nos permite calcular la constante de elasticidad del resorte

4. PROCEDIMIENTO MATERIALES

 Resorte  Cronómetro  Juego de masas  Cinta adhesiva PROCEDIMIENTO MÉTODO ESTÁTICO

 Reglas  Balanza  Prensa

Cuelgue verticalmente el resorte Coloque en la parte inferior del resorte, el plato que soportará las masas Cuelgue una carga inicial m0 para aliviar la tensión de compresión que los resortes traen de fábrica, esta carga inicial corrige además la separación no uniforme de las espiras del resorte (el resorte esta torcido). 4. Señale la parte inferior del plato como el cero. 5. Coloque en el plato una masa (m). 6. A partir del cero (punto 4) mida la respectiva elongación xi. 7. Retire la masa y verifique que la parte inferior del plato retorne al cero, es decir, que el resorte no sufra deformación permanente. 8. Para distintas masas o combinación de ellas, repita los pasos 5 a 7. 9. Mida las masas de las distintas pesas. El experimento se realizará de manera virtual, siguiendo el video de Youtube, de la universidad de Alicante, cuya dirección es: https://www.youtube.com/watch?v=gw-hkp4Ai7U Analice el video, en este Ud. Debe tomar nota de la elongación del resorte para cada masa que se coloca en el resorte, así como el valor de la masa “m”. Como se muestra en las imágenes tomadas del video 1. 2. 3.

8 MÉTODO DINÁMICO El experimento se realizará de manera virtual, con ayuda del video de la Universidad de Alicante, cuya dirección es:

https://www.youtube.com/watch?v=Mqx8HmU2FYM

Se coloca una pesa en el resorte. Desplace la pesa una pequeña distancia hacia abajo y suéltelo. Mida el tiempo para 30 oscilaciones, t30, puede emplear el cronómetro del video o medir Ud. con el cronómetro de su celular. 4. Se repite el procedimiento para varias pesas que se indica en el video. La imagen debajo muestra partes del video. 1. 2. 3.

MÉTODO DINÁMICO CON SIMULADOR El procedimiento a seguir es el mismo de la anterior sección (10.4.2). Debe acceder a la página de la Universidad de Colorado: https://phet.colorado.edu/es/simulation/mass-spring-lab Le mostrará lo siguiente: Para acceder al simulador con el cursor del ratón de la computadora, seleccione el ícono de masas y resortes

Con el ratón de la computadora seleccione “ laboratorio”, como se muestra en la imagen:

Seleccione este ícono

9 Una vez que accede a laboratorio, con el ratón de la computadora, seleccione la pesa de 100 g y arrástrelo sobre el resorte.

otón rojo ue detiene la cilación del sorte

Una vez colocada la pesa en el resorte, este oscilará de manera automática, para detener pinche en el botón rojo en la parte superior central, seleccione “Desplazamiento Longitud natural”, “Masa en equilibrio”, “referencia móvil” y “Rastro de periodo”. En amortiguamiento, arrastre el cursor hasta “nada” y está listo para empezar, en la siguiente imagen se muestra todo lo indicado.

Empiece con una masa de 100 g, mida el tiempo de 30 oscilaciones con el cronómetro de su celular, o puede emplear el cronómetro del simulador, para ello arrastre el cronómetro a la parte inferior de la región de trabajo y accionando esta, empieza a funcionar el cronómetro. Para que vuelva a oscilar la pesa y resorte tiene que arrastrar la pesa una pequeña distancia hacia abajo con el cursor y luego soltar, cuando este la pesa en la parte inferior, accione el cronómetro y mida el tiempo como se indicó anteriormente.

Cronómetr o

Repita el procedimiento incrementado la masa de la pesa de 40 en 40 gramos.

10 Una oscilación es el recorrido de la pesa desde la parte inferior hasta volver a la misma posición es decir a la parte inferior.

5. CÁLCULOS Y GRÁFICOS MÉTODO ESTÁTICO N º 1 2 3 4 5 6 7 8

Mas a M (g ) 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0

Elongació nx (cm) 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0

Para los distintos valores de masa, m, calcule sus respectivos pesos (W*) Constan Elongació Peso N te k nx (K º (N/m) (cm) g) 0,0978 0,03 3,26 1 0,196 0,06 3,26 2 0,293 0,09 3,26 3 0,391 0,12 3,26 4 0,489 0,15 3,26 5 0,587 0,18 3,26 6 0,684 0,21 3,26 7 0,782 0,24 3,26 8

1.

2.

Con el conjunto de valores experimentales (W*, x*) y ajustando por mínimos cuadrados, obtenga la ecuación experimental de la ley de Hooke (ecuación 10.3),además del coeficiente de correlación r.

∑ F y =0 F=kx ¿ w =a+bBx Por mínimos cuadrados: Nro peso(kg) 1 0,0978 2 0,196 3 0,293 4 0,391 5 0,489 6 0,587

W −F=0

W =kx

elongacion(m) 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18

(wi*)^2 0,0096 0,0382 0,0860 0,1529 0,2389 0,3440

(xi*)^2 0,0009 0,0036 0,0081 0,0144 0,0225 0,0324

xi*yi* 8,60E-06 1,38E-04 6,97E-04 2,20E-03 5,37E-03 1,11E-02

11 7 0,684 8 0,782 Total 3,5190 Obtenemos la ecuación: y = 3,2583x

3.

0,4682 0,6115 1,9492

0,21 0,24 1,08

0,0441 0,0576 0,1836

2,06E-02 3,52E-02 7,54E-02

Comparando la ecuación ajustada con la ecuación (10.1), determine la constante elástica k del resorte. y = 3,2583x = F=k x

k =3,26 N /m 4.

Represente en un gráfico W vs. x el conjunto de valores experimentales (W*, x*) y la ecuación ajustada (10.3).

Gráfica w* vs x* 0.85 0.75

Peso(Kg)

0.65

f(x) = 3.26 x R² = 1

0.55 0.45 0.35 0.25 0.15 0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

Elongación (m)

5.

Para verificar la validez de la expresión (10.1) y en consecuencia de la ley de Hooke, efectúe la prueba de significación verificando que el intercepto en el eje W*, a, no difiere significativamente de cero, para la probabilidad del 95%. En la ecuación obtenida y = 3,2583x el valor de a es 0, a lo que la pendiente indica el valor de la constante de elasticidad.

MÉTODO DINÁMICO 1. Mediante la ecuación (10.18) determine el periodo de oscilación para cada pesa M

T=

tn 30 N 1 2 3 4 5 6

(S) 23 26,5 29 34 36,5 39

T(S) 0,767 0,883 0,967 1,133 1,217 1,300

T2(S2) 0,588 0,780 0,934 1,284 1,480 1,690

M (KG) 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

12

2.

Elabore un gráfico de T2 vs M.

Gráfica T^2 vsM

Perioco Osciolación()T^2

1.700

f(x) = 11.37 x + 0.1

1.500 1.300 1.100 0.900 0.700 0.500 0.03

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

0.15

MasaKg

3. Con los datos elabore otra tabla de datos de T2 y M. T2(S2) 0,588 0,780 0,934 1,284 1,480 1,690

M (Kg) 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

4. Ajuste por mínimos cuadrados los datos de T2 y M, vea la ecuación (10.16). Coeficientes de Regresión Lineal:

∑ x¿i 2 ∑ y¿i −∑ x i ∑ x i yi =0.1026 2 n ∑ x i¿2−( ∑ x ¿2 i ) ¿ n ∑ x i y i −∑ x i ∑ y i =11.3714 b= 2 n ∑ x i¿2−( ∑ x¿2 i ) a=

Coeficiente de correlación lineal:

13 ¿

r=

√ [n ∑ x

n ∑ x¿i y i −∑ x¿i ∑ yi¿

]

=0,9899

−( ∑ x ) [ n ∑ y − ( ∑ y ) ] Obtenemos la ecuación: y=11.3714 x+ 0.1026 ¿ 2 i

¿2 i

¿2 i

¿2 i

5. La pendiente de la recta es:

b=

4 π2 k

, calcule el error de la pendiente (vea en el libro

Medidas y Errores, de los autores Alvarez y Huayta en la sección 4.7 el detalle del cálculo) ¿

T2(S2)

Nro

M (Kg)

2∗¿=a+ b x ¿ T teórico

e i=( T teórico −T 2

2∗¿=0,1+1 ¿ T teórico 1 2 3 4 5 6

0,588 0,780 0,934 1,284 1,480 1,690 6,757

∑

S y= x

√

0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,54

∑ ( y i teorico− y exp )2 n−2

√∑

( ∑ x¿ )

2∗¿−

x

S b= b±tα 2

;v=4

Sb b=11,3 ± 1,16

Sy x

¿

0,552 0,778 1,004 1,23 1,456 1,682 6,702

0,001 0,000 0,005 0,003 0,001 0,000 0,010

S y =0,05 x

2

n

S b=0,598

14

6. Calcule el valor de k, mediante la ecuación

k k´ Ek

k=

4 π2 y exprese esta en la forma b

(Nota debe realizar propagación de errores)

k=

2 4 π2 4 π = b 11,3

k =3,49 N /m

db dk =0− b k

ln k =ln 4 π 2 −ln b

Ek =3,49[

t × Sb ] 11,3

[ ]

Ek Eb = b k

Eb Ek =k´ b´

Ek =0,129

7. Calcule el error relativo porcentual de k y compárelo con el error asignado por el instructor. El error prefijado por el instructor es 0,3%

|ϵk −ϵkteorico| × 100 %diferencia= ϵk

|

|

Ek −0,3 k %diferencia= × 100 Ek k

%diferencia=7,1 %

8. Compare los valores de k obtenidos por los métodos estático y dinámico, ¿En qué porcentaje difieren?, ¿Por qué? Para este cálculo emplee la expresión:

|k est −k din|

%diferencia= %diferencia=

6.

k est

× 100

|3,26−3,49| 3,49

×100

%diferencia=6,50 %

CUESTIONARIO 1.

Un alumno ha realizado la práctica de resortes mediante su estudio estático y dinámico. Observa que ha obtenido dos valores diferentes de la constante elástica del muelle. (K1 para el estudio estático y K2 para el estudio dinámico) ¿Es normal que obtenga dos valores diferentes o debe repetir la práctica hasta que obtenga un único valor?

15

2.

3.

4.

En un gráfico FR vs. x, ¿cuál es el significado del área bajo la curva?; ¿cuál el significado de la pendiente? El área bajo la curva en un gráfico Fr vs x es igual al trabajo realizado por la fuerza del resorte cuando el bloque lo comprime o lo estira una determinada distancia; mientras que la pendiente es el valor de la constante de restitución de un resorte K. ¿Qué sucede si excedemos el límite de elasticidad del resorte? Cuando se excede el límite de elasticidad del resorte, debido a una fuerza deformadora, este sufre una deformación permanente y no recupera su longitud natural. ¿Cómo se calcula la constante equivalente de dos resortes acoplados: a) En serie, b) En paralelo? La ecuación para calcular la constante equivalente de dos resortes en paralelo es:

Requivalente = 5.

6.

7.

R1 × R2 R1 + R2

En serie es kx1+kx2 son aditivas. Si u...