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Mapa de Karnaugh Ing. Marco Pilatasig Estudiante: Cinthya Chiliquinga Departamento de Eléctrica y Electrónica, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Extensión Latacunga, Latacunga, Ecuador E-mail: [email protected]

Abstract The Karnaugh map or also known as the k-map is a diagram used to simplify logic circuits, it is used as an alternative when simplification with Boolean algebra is considered complicated and extensive. The technique consists in transferring the logical values of a Boolean function or from a truth table by grouping the zeros and ones within the Karnaugh map that helps visualize the logical relationships that exist between the variables and ultimately leads directly to a simplified Boolean function. Keywords: Logic Gate, Boolean Algebra, logic, adjacent. Resumen El mapa de Karnaugh o también conocido como mapa-k es un diagrama utilizado para simplificar circuitos lógicos, se utiliza como forma alternativa cuando la simplificación con algebra de Boole se considera complicada y extensa. La técnica consiste en transferir los valores lógicos de una función booleana o desde una tabla de verdad agrupando los ceros y unos dentro de un mapa de Karnaugh que ayudara a visualizar las relaciones lógicas que existen entre las variables y finalmente conduce directamente a una función booleana simplificada. Palabras claves: Compuerta Lógica, Álgebra Booleana, lógica, adyacente.

2 1.

OBJETIVOS.

reglones =columnas =√ 2

variables

(1)

1.1 OBJETIVO GENERAL 

Simplificar expresiones booleanas mediante la utilización de los mapas de Karnaugh para facilitar la implementación de circuitos lógicos y evitar cálculos extensos e innecesarios.

1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS 



Analizar la simplificación mediante el método de los mapas de Karnaugh y la simplificación booleana para aplicar el método adecuado de acuerdo a la expresión a ser reducida. Comprender los beneficios y ventajas que se tiene al implementar una expresión simplificada en un circuito lógico.

2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA. Una función lógica que representa a un circuito combinatorio, puede expresarse de varias formas, además cuando se diseña un circuito en base al planteo del problema que se ha de resolver (por ejemplo realizando la tabla de verdad correspondiente), puede suceder que la función obtenida no sea la más adecuada, debido por ejemplo a que ésta puede ser simplificada, en el número de términos a emplear y/o de variables asignadas [ CITATION Cec03 \l 12298 ].

Cuando el número de variables es impar el número de renglones igual a la mitad del número de columnas y se calcula mediante las siguientes fórmulas:

columnas=√ 2

variables+1

columnas reglones= 2

(2)

(3)

2.2 Construcción del mapa de Karnaugh Las variables de la expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. La transferencia de los términos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de forma directa, albergando un 0 ó 1, dependiendo del valor que toma la función en cada fila [ CITATION Cec05 \l 12298 ].

Una forma de poder disponer de una herramienta capaz de plantear dicha función y analizar su posible simplificación es empleando la técnica o método del Diagrama de Karnaugh. 2.1. ¿Qué es un mapa de Karnaugh? “El mapa de Karnaugh es una representación bidimensional de la tabla de verdad de la función a simplificar”[ CITATION Jos07 \l 12298 ]. Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa función de la manera más económica posible se utiliza este método. 2.2. Cálculo de renglones y columnas Cuando el número de variables es par se representarse como un mapa de igual número de renglones e igual al número de columnas y se calcula mediante la siguiente fórmula:

Figura 1: Construcción del mapa de Karnaugh a partir de la tabla de verdad. Fuente:[ CITATION Joa98 \l 12298 ].

Para pasar la expresión booleana al mapa de Karnaugh se ubican las variables en la parte superior izquierda y se ubican los “1” en el mapa si las variables están estado alto 1 y si la variable esta negada quiere decir que está en estado bajo 0 y el resto de cuadrículas se rellenan con 0, como se observa en la figura 2 para la ecuación (4).

´ A B´ C ´ D+ ´ ABCD+ ABC D+ ´ AB ´ CD+ A B ´C x= AB C´ D+ (4)

3  La formación de grupos también se pueden producir con las celdas extremas de la tabla.

Figura 2: Mapa de Karnaugh para la ecuación (4) Fuente:[ CITATION Joa98 \l 12298 ]. Figura 6: Agrupación de números 1. Fuente: [ CITATION Fer16 \l 12298 ].

Las tablas de Karnaugh se pueden fácilmente realizar a mano con funciones de hasta 6 variables, para funciones de mayor cantidad de variables es más eficiente el uso de software especializado.

 Debemos considerar el menor número de agrupaciones o grupos posibles obedeciendo las reglas anteriores.

2.3. Reglas de agrupación 

Las agrupaciones o el término a considerar únicamente será del número “1”.

Figura 3: Agrupación de números 1. Fuente: [ CITATION Fer16 \l 12298 ].

 Las agrupaciones únicamente se deben hacer en horizontal y vertical.

3.

EJEMPLOS DE SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS MEDIANTE MAPAS DE KARNAUGH. 3.1. Utilizando la ecuación (4) simplificar utilizando mapas de Karnaugh.

´ D+ ´ AB ´C ´ D+ ´ ABCD+ABC D+ ´ AB ´ CD+ A B x= AB C Solución mediante Álgebra booleana

´ D+ ´ AB ´C ´ D+ ´ ABCD+ ABC D+ ´ AB ´ CD+ A x= AB C ´ D ´ ( AB+ A B ´ ) + ABC + A BC ´ x= C Figura 4: Formas de agrupación de números 1. Fuente: [ CITATION Fer16 \l 12298 ].

 Las agrupaciones a considerar deben contener 2n elementos. Es decir cada agrupación que contiene cada grupo tendrá 1, 2, 4,8,…, 2n cantidad de número de uno o unos.  Para una mejor simplificación se debe considerar el grupo más grande posible de “1”.  Al agrupar se debe considerar todos los números “1”.  Es posible solapar grupos de “1”.

Figura 5: Agrupación de números 1 solapando. Fuente: [ CITATION Fer16 \l 12298 ].

´ D ´ + ABC +A B ´C x= A C ´ D ´ + AC x= A C Solución mediante mapas de Karnaugh Primero pasamos la expresión booleana al mapa de Karnaugh, agrupamos los números “1” de acuerdo a las reglas mencionadas y se ubica las variables en caso de tener estado alto (1) para todo el grupo de 1 y en caso de que los grupo de 1 compartan el estado bajo (0) se coloca el nombre de la variable negada.

4 7. CONCLUSIONES 

 Figura 7: Mapa de Karnaugh para el ejercicio 3.1. Fuente:[ CITATION Góm05 \l 12298 ].

Finalmente se realiza la suma de productos de los datos obtenidos en el mapa.

´ x= AC+ A D 3.2. De la figura 8 obtener la ecuación simplificada mediante mapas de Karnaugh.

Figura 8: Tabla de verdad para el ejercicio 3.2. Fuente: [ CITATION Góm05 \l 12298 ].

Solución: Realizamos el mapa de acuerdo a la figura 7 para hallar la expresión simplificada.

Figura 9: Mapa para resolver el ejercicio 3.2. Fuente: [ CITATION Góm05 \l 12298 ].

Entonces se obtiene:

x=BC + AB + AC

Finalmente se pudo comprender que los mapas de Karnaugh toman tablas de verdad y proporcionan una forma visual de producir una fórmula mucho más sencilla para expresar la misma lógica y poder implementar los circuitos lógicos de una forma más fácil y rápida. Para el ejercicio 3.1 se ha simplificado utilizando dos métodos, el primero mediante álgebra booleana con el cual no represento mayor complejidad pero al simplificar la misma expresión utilizando el segundo método con los mapas de Karnaugh se obtuvo una expresión más pequeña en relación al primer método....