Pau-programacion - Ejercicios resueltos PDF

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PAU: PROGRAMACIÓN LINEALUna confitería es famosa por su dos especialidades de tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima. la tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8  huevos y tiene un precio d1.e venta de  8  €. La tarta de Lima necesita  1  ki...

Description

PAU:PROGRAMACIÓNLINEAL 1.Unaconfiteríaesfamosaporsudosespecialidadesdetartas:latartaImperial yla tartadeLima.latartaImperialrequiereparasuelaboraciónmediokilodeazúcary 8huevosytieneunpreciodeventade8€.LatartadeLimanecesita1kilode azúcary8huevos,ytieneunpreciodeventade10€.Enelalmacénlesquedaban 10kilosdeazúcary120huevos. a)¿Quécombinacionesdeespecialidadespuedenhacer?.Planteaelproblemay representagráficamenteelconjuntodesoluciones. b)¿Cuántasunidadesdecadaespecialidadhandeproducirseparaobtenerel mayoringresoporventas?

Solución: a)Seanx  "númerodetartastipoImperial"e y  "númerodetartastipoLima"

Sehacelatablaparaestablecerlasrestricciones:

Imperial Lima

Azúcar 0,5 x y

Huevos 8x 8y

10

120

 x  0 , y  0   0,5 x  y  10   8x  8y  120 

x  0 , y  0  x  2 y  20 x  y  15 

Lafunciónobjetivo,querepresentalosingresosporventas,yqueconsiderando lasrestriccionesanterioreshayquemaximizar:z  f(x, y)  8x  10y Serepresentanelconjuntoderestriccionesylarecta4x  5y  0,quedala direccióndelasrectasz  f(x,y)  8x  10y

EjerciciosdelaPAU‐PortalEstadísticaAplicada

1

 x  y  15 b)   x  10 y  5  x  2y  20

z  f(x,y)  8x  10y (0,10): f(0,10)  10. 10  100 (10,5): f(10,5)  8. 10  10.5  130 (15,0): f(10,5)  8. 15  120

Elmayoringresoseobtienecon10tartasImperialesy5tartasdeLima.

2.Uncomercianteacudeaciertomercadoa comprarnaranjascon500€.Leofrecen dostiposdenaranjas:lasdetipoAa0,5€elkgylasdetipoBa0,8€elkg. Sabemosquesolodisponeensufurgonetadeespacioparatransportar700kgde naranjascomomáximoyquepiensavender elkilodenaranajasdetipoAa0,58€ yeldetipoBa0,9€.¿Cuántoskilogramosdenaranjasdecadatipodeberácomprar paraobtenerbeneficiomáximo?

Solución: Seanx  "kgde naranjasdetipoA"e y  "kgde naranjasdetipoB"

Lasrestriccionesdelproblemason:  x  0 , y  0  x  0 , y  0    x  y  700   x  y  700  0,5x  0,8y  500  5x  8y  5000  

Lafunciónquedaelbeneficio,sujetaa lasrestriccionesanteriores,es: z  f(x, y)  (0,58  0,5)x  (0,9  0,8)y  0,08x  0,1y Serepresentalarecta0,08x  0,1y  0  8x  10y  0  4x  5y  0

Elmáximoseobtieneenelpuntodeinterseccióndelasrectas: EjerciciosdelaPAU‐PortalEstadísticaAplicada

2

 x  y  700  x  200 y  500  5x  8y  5000

Sedebencomprar200kgdetipoAy500 kgdetipoB

3.Unorfebrefabricadostiposdejoyas.LaunidaddeltipoAsehacecon1gdeoroy 1,5gdeplataysevendea25€.LadetipoBsevendea30€ylleva1,5gdeoroy1gde plata.Sisolodisponede750gdecadametal,¿cuántasjoyashadefabricardecadatipo paraobtenerelmáximobeneficio?

Solución: Seanx  "número unidades de tipo A"e y  "número unidadesdetipoB"

 x 0 , y 0  Lasrestriccionesson:  x  1,5y  750 1,5x  y  750 

Lafunciónamaximizar:z  f(x,y)  25x  30y

Elmáximoseobtieneenelpuntodeinterseccióndelasrectas: 1,5 x  y  750 x 1,5 y 750  x  300 y  300   

Sedebenfabricar300joyasdecadaunodelosdostipos.

4.Unveterinarioaconsejaaungranjerodedicadoalacríadeavesunadietamínimaque consisteen3unidadesdehierroy4unidadesdevitaminasdiarias.Elgranjerosabeque cadakilodemaízproporciona2,5unidadesdehierroy1devitaminasyquecadakilode piensocompuestoproporciona1kilodehierroy2devitaminas.Sabiendoqueelkilode maízvale0,3€yeldepiensocompuesto0,52€,sepide: a)¿Cuáleslacomposicióndeladietadiariaqueminimizaloscostesdelgranjero?Explica lospasosseguidosparaobtenerlarespuesta. b)¿Cambiaríalasolucióndelproblemasiporescasezenelmercadoelgranjeronopudiera disponerdemásde1kilodiariodepiensocompuesto?.Razonalarespuesta.

EjerciciosdelaPAU‐PortalEstadísticaAplicada

3

Solución: a)Seanx  "número kgdemaíz"e y  "número kg depienso"

x  0 , y  0  Lasrestriccionesson:  2,5 x  y  3  x  2y  4 

Lafuncióncosteparaminimizar:z  f(x,y)  0,3x  0,52y

Elconjuntoderestriccionesylarecta0,3x  0,52y  0  15x  26y  0 daladireccióndelasrectasz  0,3x  0,52y Elmínimoseobtieneenelpuntodeinterseccióndelasrectas: 2,5 x  y  3 1  x  2 x  2y  4

y

7 4

Enconsecuencia,paraqueelcosteseamínimosedebendeutilizar 1 7 kgdemaízy kgdepiensocompuesto 2 4 b)Síseañadelarestriccióny  1alasanteriores,laregiónsería:

Lasrestriccionesson:  x  0 , 0  y  1   x  1,5y  750  1,5x  y  750 

Elmínimocosteseobtieneenelpuntodeinterseccióndelasrectas:  y  1  x 2 y 1  x  2y  4

Portanto,sedeberíanutilizar2kgdemaízy1kgdepiensocompuesto. EjerciciosdelaPAU‐PortalEstadísticaAplicada

4

5.Unganaderodebesuministrarunmínimodiariode4mgdevitaminaAy6mgde vitaminaBenelpiensoquedaasusreses.Disponeparaellodedostiposdepienso P1 yP2 ,cuyoscontenidosvitamínicosporkgsonlosqueaparecenenlatabla:

P1

A 2

B 6

P2

4

3

SielkilogramodepiensoP1 vale0,4€yeldelP2 vale0,6€,¿cómodebenmezclarse lospiensosparasuministrarlasvitaminasrequeridasconuncostemínimo?

Solución: a)Seanx  "kgde piensoP1 "e y  "kgde piensoP2 "

Lasrestriccionesson:  x  0 , y  0  x  0 , y  0    2x  4y  4   x  2y  2  6x  3y  6  2x  y  2  

Lafuncióndecosteparaminimizar:z  f(x,y)  0,4 x  0,6 y

Elconjuntoderestriccionesylarecta0,4x  0,6 y  0  2x  3y  0 daladireccióndelasrectasz  0,4x  0,6y Elmínimoseobtieneenelpuntodeinterseccióndelasrectas: 2x  y  2 2 2  x y  3 3 x  2y  2

Enconsecuencia,paraqueelcosteseamínimosedebenmezclar 2 2 kgdepiensoP1 y kgdepiensoP2 3 3

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5

6.Sevaaorganizarunaplantadeuntallerdeautomóvilesdondevanatrabajar electricistasymecánicos.Pornecesidadesdelmercado,esnecesarioquehaya mayoroigualnúmerodemecánicosquedeelectricistasyqueelnúmerode mecánicosnosuperealdoblequedeelectricistas.Entotalhaydisponibles30 electricistasy20mecánicos. Elbeneficiodelaempresaporjornadaesde150€porelectricistay120€por mecánico.¿Cuántostrabajadoresdecadaclasedebenelegirseparaobtenerel máximobeneficio?

Solución: Denotandoporx  "númerodeelectricistas"e y  "númerodemecánicos"

xeysonenteros 0  x  30 , 0  y  20  Lasrestriccionesestablecidasson:   y  x  y  2x Lafunciónbeneficioquehayquemaximizar:z  f(x, y)  150x  120y

Serepresentanelconjuntoderestriccionesylarecta150x  120y  0   5x  4 y  0quedaladireccióndelasrectasz  f(x, y)  150x  120y

 z  f(x, y)  150x  120y Enelconjuntoderestriccionessolo hay4puntos:  (0, 0) , (10, 10) , (10, 20) , (20, 20) Elmáximosealcanzaenel(20,20). Seeligen20electricistasy20mecánicos.

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6

7.Unapersonatiene15.000€parainvertirendostiposdeacciones,AyB.Eltipo Atieneuninterésanualdel9%,yeltipoB,del5%.Decideinvertir,comomáximo, 9.000€enA,ycomomínimo,3.000€enB.Además,quiereinvertirenAtantoo másqueenB. a)Dibujalaregiónfactible. b)¿Cómodebeinvertirlos15.000€paraqueelbeneficioseamáximo? c)¿Cuálesesebeneficioanualmáximo?

Solución: a)Denotandopor:x  "eurosinvertidosen accionestipoA"e  y  "eurosinvertidosenaccionestipoB" 0  x  9.000 , y  3.000  Lasrestriccionesestablecidasson:  x  y   x  y  15.000  Lafunciónobjetivoquehayquemaximizares:z  f(x, y)  0,09 x  0,05y

b)Seanalizadondesehacemáximalafunciónobjetivoenlosvérticesdela regiónfactible.  f(3000, 3000)  0,09 . 3000  0,05. 3000  420  f(9000, 3000)  0,09 . 9000  0,05. 3000 960 z  f(x, y)  0,09 x  0,05y   f(9000, 6000)  0,09 . 9000  0,05. 6000  1110  f(7500, 7500)  0,09 . 7500  0,05 . 7500  1050

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7

Paraqueelbeneficioseamáximodedebendeinvertir9000eurosenacciones detipoAy6000eurosenaccionesdetipoB. c)Elbeneficiomáximoanualesde1110 euros

8.Untallerdeconfecciónhacechaquetasypantalonesparaniños.Parahacer unachaqueta,senecesitan1mdetelay 2botones;yparahacerunospantalones, hacenfalta2mdetela,1botóny1cremallera.Eltallerdisponede500mdetela, 400botonesy225cremalleras.Elbeneficioqueseobtieneporlaventadeuna chaquetaesde20€,yporladeunospantolones,30€. Suponiendoquesevendetodoloquesefabrica,calculaelnúmerodechaquetas ydepantalonesquesetienenquehacerparaobtenerunbeneficiomáximo.

Solución: Seax  "númerodechaquetas" e y  "número depantalones"

Sehacelatablaparaestablecerlasrestricciones:

Tela Botones Cremalleras Beneficio

Chaqueta x 2x 20x

Pantalones 2y y y 30y

Disponible 500 400 225

 x  0 , 0  y  225  Lasrestriccionesson:  x  2y  500  2x  y  400  Lafunciónobjetivoquehayquemaximizares:z  f(x, y)  20x  30y

Serepresentaelconjuntoderestriccionesylarecta20x  30y  0, quedaladireccióndelasrectas20x  30y  k

x  100 x  2y  500    y  200 2x  y  400

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8

Elmáximoseencuentraenunodelosvérticesdelaregiónfactible(zonaverde):  f(0, 225)  30 . 225  6750  f(50, 225)  20. 50  30. 225  7750  z  f(x, y)  20x  30 y   f(100, 200)  20. 100  30. 200  8000  f(200,0)  20. 200  4000 Elmáximobeneficioseobtieneconfeccionando100chaquetasy200pantalones.

9.Unartesanofabricacollaresypulseras.Haceruncollarlellevadoshorasyhacer unapulseraunahora.Elmaterialdequedisponenolepermitehacermásde50piezas. Comomucho,elartesanopuedededicaraltrabajo80horas.Porcadacollargana5 eurosyporcadapulsera4euros.Elartesanodeseadeterminarelnúmerodecollares ypulserasquedebefabricarparaoptimizarsusbeneficios. 1.Expréseselafunciónobjetivoylasrestriccionesdelproblema. 2.Represéntesegráficamenteelrecintodefinido. 3.Obténgaseelnúmerodecollaresypulserascorrespondientesalmáximobeneficio.

Solución: 1.Seax  "númerodecollares" e y  "númerodepulseras" x  0 , y  0  Lasrestriccionesson:  x  y  50  2x  y  80  Lafunciónobjetivoquehayquemaximizares:z  f(x, y)  5x  4y

2.Serepresentaelconjuntoderestriccionesylarecta5x  4 y  0,  quedaladireccióndelasrectas5x  4 y  k

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9

3.Elmáximoseencuentraenunodelos vérticesdelaregión factible(zonaazul): f(0, 50)  4 . 50  200  z  f(x, y)  5x  4y  f(30, 20) 5. 30 4. 20  230 f(40, 0)  5. 40  200  Elartesanotienequefabricar30collaresy20pulseraspara obtenerelbeneficiomáximode230euros.

10. Unaempresaquesirvecomidaspreparadastienequediseñarunmenúutilizando dosingredientes.ElingredienteAcontiene35gdegrasasy150Kilocaloríasporcada 100gdeingrediente,mientrasqueelBcontiene15gdegrasasy100Kilocaloríaspor cada100g.Elcosteesde1,5eurosporcada100g.delingredienteAyde1euros porcada100gdelingredienteB. Elmenúadiseñardeberíacontenernomásde30gdegrasasyalmenos110 Kilocaloríasporcada100gdealimento.Sepidedeterminarlasproporcionesde cadaingredienteaemplearenelmenúdemaneraquesucostesealomásreducido posible. 1.Indíqueselaexpresióndelasrestriccionesylafuncionobjetivo. 2.Represéntesegráficamentelaregióndelimitadaporlasrestricciones. 3.Calcúleseelporcentajeóptimodecadaingredienteaincluirenelmenú.

Solución: 1.Seax  "cantidaddeA"e y  "cantidad deB"

Paraestablecerlasrestriccionessehacelasiguientetabla:

A B

Grasas 35 15  30

Kilocalorías 150 100  110

Coste 1,5 2

 x  0 , y  0  Lasrestriccionesson:  35x  15y  30  150x  100 y  110 

 x  0 , y  0   7x  3y  6 15x  10y  11 

Lafunciónobjetivoquehayqueminimizares:z  f(x, y)  1,5 x  y

2.Serepresentaelconjuntoderestriccionesylarecta1,5 x  y  0,  quedaladireccióndelasrectas1,5 x y  k

EjerciciosdelaPAU‐PortalEstadísticaAplicada

10

Losvérticesson: (0,2) , (0, 11/10) , (11/15, 0) y (6/7, 0)

3.Elvalormínimoescualquierpuntodelarecta15x  10y  11

 15x  10y  11 Paraobtenerelporcentajeseresuelveelsistema:  x  y  1 x  0,2 (20%)ey  0,8 (80%)

Laproporciónbuscadaseríael20%deAyel80%deB

11. Unpintornecesitapinturaparapintarcomomínimounasuperciede480m2 .Puede comprarlapinturaadosproveedores,AyB.ElproveedorAleofreceunapinturacon 2

unrendimientode6m porkgyunpreciode1europorkg.LapinturadelproveedorB tieneunpreciode1,2eurosporkgyunrendimientode8m2 porkg.Ningúnproveedor lepuedeproporcionarmasde75kgyelpresupuestomáximodelpintoresde120euros. Calcúleselacantidaddepinturaqueelpintortienequecompraracadaproveedorpara obtenerelmínimocoste.Calcúlesedicho costemínimo.

Solución: Seax  "númerodekilosdepinturacompradosalproveedorA"e  y  "númerodekilosdepinturacompradosalproveedorB" Paraestablecerlasrestriccionessehacelasiguientetabla: Proveedor A B

Rendimiento 6 8

Precio 1 1,2

0  x  75 , 0  y  75  Lasrestriccionesson:  6x  8y  480    x  1,2y  120  EjerciciosdelaPAU‐PortalEstadísticaAplicada

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0  x  75 , 0  y  75   3x  4 y  240 5x  6y  600 

Lafunciónobjetivoquehayqueminimizares:z  f(x, y)  x  1,2y

 f(0, 75)  1,2. 75  90  f(0, 60)  1,2. 60  72  z  f(x, y)  x  1,2y    f(75, 15 / 4) 75 1,2.(15 / 4) 79,5  f(75, 75 / 2)  75 1,2.(75 / 2)  120   f(30, 75)  30  1,2.75  120

Paratenerelmínimocostesedebencomprar0kgdelproveedorA y60kgdelproveedorB. 12. DetermínenselosvaloresdeaybparaquelafunciónobjetivoF(x,y) 3x y alcancesuvalormáximoenelpunto(6,3)delaregiónfactibledefinidapor: x  0 y  0     x  ay  3 2x  y  b 2.Represénteselaregiónfactibleparaesosvaloresycalcúlenselascoordenadas detodossusvértices.

Solución:  x  ay  3  6  3a  3 a   1 máx (6, 3) 1.         2x  y  b  12 3  b  b  15

x  0 y  0  2.restricciones:   x  y  3 2x  y  15 Vértices : (3,0) ,(6, 3) , (0, 15)

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F(3,0)  3.3  9  F(x,y)  3x  y  F(6, 3) 3.6 3 21máximo   F(0, 15)  15

13. Unafábricadepiensosparaanimalesproducediariamentecomomuchoseis toneladasdepiensodeltipoAycomomáximocuatrotoneladasdepiensodel tipoB.Además,laproduccióndiariadepiensodeltipoBnopuedesuperarel dobledeladeltipoAy,porúltimo,eldobledelafabricacióndepiensodeltipo AsumadaconladeltipoBdebesercomopococuatrotoneladasdiarias. Teniendoencuentaqueelcostedefabricacióndeuna toneladadepiensodel tipoAesde1000eurosyeldeunatoneladadeltipoBde2000euros, ¿cuáleslaproduccióndiariaparaquelafábricacumplaconsusobligaciones conuncostemínimo?Calcúlesedichocostediariomínimo.

Solución: Seax  "cantidaddepiensodeA"e y  "cantidaddepiensodeB" 0  x  6 , 0  y  4 0  x  6 , 0  y  4   Lasrestriccionesson:  y  2x   2x  y  0   2x  y  4  2x  y  4   Lafunciónobjetivoparaminimizares: z  f(x, y) 1000 x  2000y

Losvérticesson:(2, 0) , (6, 0) , (6, 4) , (2, 4) , (1, 2)  f(2, 0)  1000 . 2  2000  f(6, 0)  1000 . 6  6000 f(6, 4)  1000 . 6 2000 . 4  14000 

f(2, 4)  1000 . 2  2000 . 4  10000 f(1, 2)  1000  2000 . 2  5000

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Elcostemínimoesde2000eurosysealcanzaproduciendo2toneladas depiensoAyningunatoneladadepiensoB.

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