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Description

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.7 Distribuciones muestrales

Capítulo 7 Distribuciones muestrales EJERCICIOS RESUELTOS DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES

1. Solución: µ = 72,1

Z =

σ = 3,1

n = 90

P( x < 71,7) = ?

x −µ 71,7 − 72,1 − 0,4 ( 9,49) = = = − 1,22 3,1 σ 3,1 n 90

Z = − 1,22 → A( 0,3888) P = 0,5000 − 0,3888 = 0,1112 =11,12%

P( x

< 71,7 )

= 11,12%

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.7 Distribuciones muestrales

2. Solución µ = 659.320

Z =

σ = 18.000

n = 400

P( x > 660.000) = ?

660.000 − 659.320 680 ( 20) = = 0,76 18.000 18.000 400

Z = 0,76 → A( 0,2764) P = 0,5000 − 0,2764 = 0,2236

P( x > 660.000) = 22,36%

3. Solución: µ = 864.500

Z =

σ = 15.000

n = 25

P( x < 857.500) = ?

− 7.00 0 ( 5) − 35.000 857.500 − 864.500 = = = − 2,33 15.000 15.000 15.000 25

Z = − 2.33 → A ( 0, 4901)

2

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.7 Distribuciones muestrales

P = 0,5000 − 0,4901 = 0,0099

P( x

< 857. 500)

= 0,99%

4. Solución: µ = 167,42

Z =

σ = 2,58

n = 25

P( x ≥ 168 ) = ?

168 − 167,42 0,58 ( 5) 2,90 1,12 = = = 2,58 2,58 2,58 25

Z = 1,12 → A( 0,3686) P = 0,5000 − 0,3686 = 0,1314

P( x

≥ 168 )

= 13,14%

5. Solución: n1 = 36

2 σ = σ 3 n1 n

2 3

σ  = σ    6 n

σ = σ 9 n

n = 9

n = 81

3

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.7 Distribuciones muestrales

6. Solución: K

σ = n1

σ n2

n1 =

K

K 2 n2 = n1

n2

7. Solución: µ = 23.000

P(x

< 22. 500

)

= 0,09

n = 25

σ =?

A ( 0,4100) → Z = − 1,34 − 1,34 σ

σ =

=( 22.500 − 23.000)

( − 500 ) ( 5 ) − 1,34

25

= 1.865,67

σ = 1.865,67

8. Solución:

4

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

500

∑

xi =

i = 1

µ =

Cap.7 Distribuciones muestrales

( ) n ( n + 1) = 500 501 = 125.250 2 2

Σ xi = 125.250 = 250,5 500 N

(Ver propiedades de la sumatoria) 500

2 ∑ Xi =

i =1

σ2 = σ

=

x= P( x

Σ Xi2 − µ 2 = 41. 791.750 − 250,5 2 = 20.833,25 500 N 20.833,25

= 144,34

Σ xi 3. 000 187,50 = = n 16

> 187,50)

Z =

n ( n + 1) ( 2n + 1) 500 (501 ) (1. 000 + 1) = = 41. 791. 750 6 6

= ?

x − µ

σ n

=

187,5 − 250,5 − 63,0 ( 4 ) = − 1,75 = 144,34 144,34 16

Z = − 1, 75 → A ( 0, 4599 ) P = 0,5000 + 0,4599 = 0,9599

P( x

≥187 , 50 )

= 95,99%

OJO HACER CORRECCION EN LA GRÁFICA EN VEZ DE 251 ESCRIBIR 250,5

5

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Cap.7 Distribuciones muestrales

9. Solución: x =

Z =

5.700 = 70.37 81

2,37 (9 ) 70,37 − 68 21,33 6,09 = = = 3,5 3,5 3,5 81

Z = 6,09 → A( 0,5000) (Muy pequeña la probabilidad, ya que tiende a cero )

P ( x >70,37 ) = 0

10. Solución: µ = 170

Z =

σ = 18

n = 81

P ( x >175 ) = ?

175 − 170 5 (9 ) 45 = = = 2,5 18 18 18 81

Z = 2,5 → A ( 0,4938)

P ( x > 175) = 0,62%

P = 0,5000 − 0,4938 = 0,0062

11. Solución: µ = 5,02

σ = 0,30

n = 100

P

( x >5,10 )

=?

6

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Z =

Cap.7 Distribuciones muestrales

5,10 − 5,02 x −µ = 2,67 = σ 0,30 n 100

Z = 2,67 → A( 0,4962) P = 0,5000 − 0,4962 = 0,0038

P

( x >5,10 )

= 0,38%

12. Solución: µ = 6

σ = 3 = 0,75 4

n = 9

Si 6,5 < x < 5,5 Se suspende el proceso Si 5,5 < x < 6,5 Se deja tal y como está a) Siendo µ = 6

¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso?

Z =

0,5 (3) 6,5 − 6 1,5 = = = 2 0,75 0,75 0,75 3

Z =

5,5 − 6 − 0,5 ( 3) = = − 1,5 = − 2 0,75 0,75 0,75 3 7

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.7 Distribuciones muestrales

Z = 2 → A ( 0,4772) ; Z = − 2 → A (0, 4772 )

0,4772 + 0,4772 = 0,9544;

ó

A( 0,4773)

P = 1 − 0,9544 = 0,0456 = 4,56 %

P( 6,5 ≤

x ≤ 5,5)

= 4,56%

b) Siendo µ = 6,18

¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso?

Z =

6,5 − 6,18 0,32 ( 3) 0,96 = = = 1,28 0,75 0,75 0,75 3

Z =

5,5 − 6,18 − 0,68 ( 3) − 2,04 = − 2,72 = = 0,75 0,75 0,75 3

Z = 1,28 → A ( 0,3997) ; Z = − 2,72 → A( 0,4967) P = 0,3997 + 0,4967 = 0,8964

P = 1 − 0,8964 = 0,1036 = 10,36%

P( 6,5 ≤

x ≤ 5,5)

= 10,36%

c) Siendo µ = 6,4 ¿Cuál es la probabilidad de continuar el proceso?

Z =

6,5 − 6,4 0,1( 3) 0,3 = = = 0,40 0,75 0,75 0,75 3

Z =

5,5 − 6,4 − 0,9 (3 ) − 2,7 = − 3,60 = = 0,75 0,75 0,75 3

Z = 0,40 → A (0,1554 ) ;

Z = − 3,60 → A( 0,4998)

8

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Cap.7 Distribuciones muestrales

P = 0,1554 + 0,4998 = 0,6552 = 65,52%

P( 5,5 ≤

x ≤ 6,5)

= 65,52%

d) Siendo µ = 5,8

¿Cuál es la probabilidad de continuar el proceso?

Z =

6,5 − 5,8 0,7 ( 3) 2,1 = = = 2,80 0,75 0,75 0,75 3

Z =

5,5 − 5,8 − 0,3 (3 ) = = − 0,9 = − 1,20 0,75 0,75 0,75 3

Z = 2,80 → A ( 0,4974 ) ; Z = − 1,20 → A ( 0,3849) P = 0,4974 + 0,3849 = 0,8823 =88,23%

P( 5,5

≤ x ≤ 6,5)

= 88,23%

13. Solución: µ = 0,5

Z =

Z =

σ = 0,01

n=4

P ( 0, 49 < x < 0,51) = ?

0,49 − 0,50 − 0,01 ( 2 ) = −2 = 0,01 0,01 4 0,01 ( 2) 0,51 − 0,50 = = 2 0,01 0,01 4

9

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Cap.7 Distribuciones muestrales

Z = 2 → A ( 0, 4772) ; Z = − 2 → A ( 0, 4772) ó A ( 0, 4773) P = 0,4772 + 0,4772 = 0,9544

P

= 95,44%

(0, 49 < x < 0,51 )

14. Solución: µ = 120

Z =

σ = 10

x = 115

n = 25

P ( x ≤ 115 ) = ?

115 − 120 x −µ − 5( 5) = − 2,5 = = 10 σ 10 n 25

Z = − 2,5 → A( 0,4938) P = 0,5000 − 0,4938 = 0,0062

P

(x ≤115 )

= 0,62%

15. Solución: µ − x =4

µ − x = −4

σ =?

n = 10

P (x −µ >

4

) = 0,02

A ( 0,4900) → Z = 2,33

2,33 =

4 σ 10

⇒

2,33 σ = 4 ( 3,16)

10

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σ =

4 ( 3,16) = 5,42 2,33

Cap.7 Distribuciones muestrales

σ = 5,42

16. Solución: µ = 900

σ = 70

n = 36

P (870 < x < 925 ) = ?

Z =

− 30 ( 6) 870 − 900 = = − 2,57 70 70 36

Z =

25 ( 6 ) 925 − 900 = = 2,14 70 70 36

Z = − 2,57 → A (0, 4949 ) ; Z = 2,14 → A ( 0, 4838) P = 0,4949 + 0,4838 = 0,9787

P

(870 < x < 925 )

= 97,87%

17. Solución: µ = 32.900

σ = 1.500

n = 100

P ( x > 33.259, 3) = ?

11

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Z =

x −µ

σ

n

=

Cap.7 Distribuciones muestrales

33.259,3 − 32.900 359,3 (10 ) 3.593 = = = 2,40 1.500 1.500 1.500 100

Z = 2,40 → A( 0,4918)

P ( x > 33.259 , 3 ) = 0,82%

P = 0,5000 − 0,4918 = 0,0082

E = np = 50 ( 0,0082 ) = 1 Aproximadamente un restaurante

E =1

18. Solución:

Z =

612,24 − 580 32,24 ( 7 ) = 80 80 49

= 2,82

Z = 2,82 → A (0, 4976 ) P = 0,5000 − 0,4976 = 0,0024

P (x

> 612, 24 )

= 0,24%

19. Solución: µ = 3,5

Z =

σ =1

n = 36

P

(x > 3,7 )

=?

x − µ 3,7 − 3,5 0,2 (6 ) = = = 1,20 1 σ 1 36 n

Z = 1,20 → A ( 0,3849 )

12

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P = 0,5000 − 0,3849 = 0,1151

P

(x > 3,7 )

Cap.7 Distribuciones muestrales

= 11,51%

20. Solución: µ = 25.900

Z =

σ = 1800

n = 200

P (x

> 26.100)

=?

26.100 − 25.900 200 (14,14) x −µ 2828 = = = 1,57 = 1800 σ 1800 1800 n 200

Z = 1,57 → A ( 0,4418) P = 0,5000 − 0,4418 = 0,0582

P

(x ≥ 26.100 )

= 5,82%

21. Solución:

µ = 68 Z =

σ = 15

x = 2.700 = 75 36

n = 36

P ( x > 75) = ?

6 ( 7) 75 − 68 = = 2,8 15 15 36

Z = 2,8 → A (0,4974 ) P = 0,5000 − 0,4974 = 0,0026

P ( x 〉 75 ) = 0,26% 22. Solución: n = 36

a) µ = 59

x = 60

σ =3

ó más se acepta

P(x >

60)

x < 60

se rechaza

= ?

13

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Z =

Cap.7 Distribuciones muestrales

60 − 59 = 2 3 36

Z = 2 → A ( 0,4773) P = 0,5000 − 0,4773 = 0,0227

b) µ = 60,5 Z =

σ =3

P (x

P

< 60)

(x

≥ 60 )

= 2,27%

=?

60 − 60,5 = −1 3 36

Z = − 1 → A ( 0,3413) P = 0,5000 − 0,3413 = 0,1587

P

(x

< 60 )

= 15,87%

23. Solución: µ = 520.000

Z =

n = 36

P(x

> 630.000)

=?

σ = 222.960

630.000 − 520.000 = 2,96 222.960 36

Z = 2,96 → A ( 0,4985) P = 0,5000 − 0,4985 = 0,0015

P

(x ≥ 630.000 )

= 0,15%

24. Solución: µ = 68

σ 2 = 441 ⇒ σ = 21

n = 36

P ( x < 60 ) = ?

14

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.7 Distribuciones muestrales

σ 2 = 441 puntaje2

Z =

60 − 68 = − 2,29 21 36

Z = − 2,29 → A ( 0,4890) P = 0,5000 − 0,4890 = 0,0110

P(x

< 60)

= 1,1%

25. Solución: µ = 400.000

Z =

σ = 78.600

n = 25

P (x

> 440.000 )

=?

440.000 − 400.000 = 2,54 78.600 25

Z = 2,54 ⇒ A( 0,4945) P = 0,5000 − 0,4945 = 0,0055

P

(x ≥ 440.000 )

= 0,55%

26. Solución: µ = 58

Z =

Z =

σ = 16

n = 16

P ( 50

< x < 70)

=?

70 − 58 = 3,00 ⇒ A (0,4987 ) 16 16 50 − 58 = − 2 ⇒ A ( 0,4773) 16 16

P = 0,4987 + 0,4773 = 0,9760

P

( 50 ≤ x ≤ 70 )

= 97,60%

27. Solución:

15

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

µ = 240.000

Z =

σ = 8.200

n = 25

Cap.7 Distribuciones muestrales

P

( x < 237.000 )

=?

237.000 − 240.000 = − 1,83 ⇒ A ( 0,4664) 8.200 25

P = 0,5000 − 0,4664 = 0,0336

P

( x ≤ 237.000 )

= 3,36%

28. Solución: µ = 1,03 libras

Z =

σ = 0,05

n = 28

P

(x > 1,02 )

=?

1,02 − 1,03 = − 1,06 ⇒ A( 0,3554) 0,05 28

P = 0,5000 + 0,3554 = 0,8554

P

(x > 1,02)

= 85,54%

29. Solución: µ = 226.000

Z =

σ = 93.800

n = 49

P

( x < 206.000 )

=?

206.000 − 226.000 = −1,49 ⇒ A (0,4319 ) 93.800 49

P = 0,5000 − 0,4319 = 0,0681

P(x

< 206.000)

= 6,81 %

30. Solución:

16

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

µ = 417.500

Z =

σ = 17.000

Cap.7 Distribuciones muestrales

n = 0,08( 500) = 40

P ( x > 420.000) = ?

420.000 − 417.500 = 0,93 ⇒ A ( 0,3238) 17.000 40

P = 0,5000 − 0,3238 = 0,1762

P

( x ≥ 420.000 )

= 17,62%

31. Solución: µ = 112.000

a) P ( x Z =

> 113. 500)

σ = 5.500

n = 36

=?

113.500 − 112.000 = 1,64 ⇒ A (0,4495 ) 5.500 36 P = 0,5000 − 0,4495 = 0,0505

b) P ( 111.500 > x Z =

Z =

> 113. 200)

P

(x > 113. 500 )

= 5,05%

= ?

111 .500 − 112 .000 = − 0,55 ⇒ A ( 0,2088) 5.500 36 113 .200 − 112.000 = 1,31 ⇒ A ( 0,4049) 5.500 36 = 1 − [ 0,2088 + 0, 4049] = 0,3863

P 111 ( .500

≥ x ≥ 113. 700 )

= 38,63%

32. Solución:

17

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

µ = 16

Z =

σ = 3,5

n = 36

Cap.7 Distribuciones muestrales

P

( x < 15,3)

= ?

15,3 − 16 = − 1,2 ⇒ A ( 0,3849 ) 3,5 36

P = 0,5000 − 0,3849 = 0,1151

P

(x ≤ 15,3 )

= 11,51%

33. Solución: µ = 70

Z =

σ = 20

n = 36

P (x > 75 ) = ?

75 − 70 = 1,5 ⇒ A ( 0,4332) 20 36

P = 0,5000 − 0,4332 = 0,0668

P(x

≥ 75)

= 6,68%

34. Solución: µ = 300

Z =

σ 2 = 2.500

σ = 50

n = 25

x =

8.200 = 328 25

P( x >

328)

=?

328 − 300 = 2,8 ⇒ A (0,4974 ) 50 25

P = 0,5000 − 0,4974 = 0,0026

P(x

≥ 328)

= 0,26%

35. Solución:

18

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

σ =5

n = 100

1 = 2 5 100

Z =

P (x −

µ > 1)

Cap.7 Distribuciones muestrales

=?

−2

y

Z = 2 ⇒ A (0,4773 ) P = 0,5000 − 0,4773 = 0,0227

0,0227( 2) = 0,0454 = 4,54%

P (x

− µ > 1

) = 4,54 %

P (x

− µ>

) = 2,50 %

36. Solución: σ =8

n =20

4 = 2,24 8 20

Z =

P(x

y

−µ > 4

) =?

− 2,24

Z = 2,24 ⇒ A (0, 4875 ) = 1 − [0,4875 + 0,4875 ] = 0,0250 = 2,50 %

4

37. Solución: µ = 700

Z =

σ

2

= 14.400

⇒

σ = 120

n = 144

P ( x ≤ 680 ) = ?

680 − 700 = − 2 ⇒ A ( 0,4773) 120 144

P = 0,5000 − 0,4773 = 0,0227 = 2,27 %

P(x

≤ 680)

= 2,27%

38. Solución: 19

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

µ = 8,10

σ = 2 meses y 5 días

x = 7 meses y 15 días

Z =

Cap.7 Distribuciones muestrales

σ = 2,17 meses

n = 36

P (x

< 7,5 )

=?

x = 7,5 meses

7,5 − 8,10 = − 1,66 ⇒ A ( 0,4515) 2,17 36

P = 0,5000 − 0,4515 = 0,0485 = 4,85 %

P

(x

< 7, 5 )

= 4,85%

DISTRIBUCIONES DE MEDIAS PROPORCIONALES

39. Solución: p = 65 %

n = 100

a) P( p < 68% ) = ?

Z =

0,68 − 0,65 p− P = = PQ ( 0,65) ( 0,35) 100 n

0,03 = 0,2275 100

0,03 = 0,63 0,002275

Z = 0,63 → A (0, 2357 ) P = 0,5000 + 0,2357 = 0,7357

20

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.7 Distribuciones muestrales

P( p < 68%) = 73,57%

b) P(65,5% < Z =

Z =

p < 66,5% )

=?

( ya que P(

p = 66)

= 0)

p − P 0,665 − 0,65 0,015 = = = 0,31 0,0477 0,...