Penerapan Induksi Matematika Dalam Pemasangan Ubin atau Keramik PDF

Preview

Summary

Penerapan Induksi Matematika Dalam Pemasangan Ubin atau Keramik Indawan Cahyo Adi 1, Yuni Kurnia Asih2 1 Universitas Amikom Yogyakarta [email protected] 2 Universitas Amikom Yogyakarta [email protected] ABSTRAK Nama keramik berasal dari Eropa yaitu seorang Yunani yang be...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Penerapan Induksi Matematika Dalam Pemasangan Ubin atau Keramik Indawan C

Cite this paper

Downloaded from Academia.edu 

Get the citation in MLA, APA, or Chicago styles

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

PENGEMBANGAN KEMAMPUAN PEMBUKT IAN DALAM MAT EMAT IKA DISKRIT MENGGUNAKAN … abdul mujib

Buku Mat emat ika SMP Kelas 7 Pegangan Guru Yuliyant o Papaupik MAT EMAT IKA BUKU SISWA Ardi Dark

Penerapan Induksi Matematika Dalam Pemasangan Ubin atau Keramik Indawan Cahyo Adi 1, Yuni Kurnia Asih2 1 Universitas Amikom Yogyakarta [email protected] 2 Universitas Amikom Yogyakarta [email protected]

ABSTRAK Nama keramik berasal dari Eropa yaitu seorang Yunani yang bernama Keramos, seseorang pembuat barang – barang gerabah pada abad XVII. Menurut literatur lain disebutkan bahwa kata keramos artinya adalah bahan yang dibakar. Ada juga yang menyebutkan bahwa keramos berarti bagian dari tanah. Memasang keramik pada sebuah rumah memang mudah dilakukan. Akan tetapi, yang terpenting ialah perhitungan akan jumlah kebutuhannya. Zaman sekarang, walaupun terdapat banyak tempat keramik yang mempunyai metode eksklusif untuk menghitung keramik yang dibutuhkan. Namun, anda tetap perlu memahaminya. Supaya anda bisa tepat dan benar dalam perhitungan jumlah keramik yang di butuhkan serta anggarannya. Pemasangan keramik ini menggunakan prinsip Induksi Matematika. Pada dasarnya, prinsip ini sangat mudah dilakukan dan dibuktikan karena ini adalah suatu gagasan yang simpel namun sangatlah berguna. Kata Kunci : Keramik, prinsip induksi matematika, penerapan induksi dalam pemasangan keramik ABSTRACT The name comes from European ceramics namely a Greek named Keramos, a person making pottery goods in the XVII century. According to other literature it is said that the word shampooing means the material that is burned. There is also a mention that shampooing means part of the ground. Installing ceramics in a house is easy to do. However, the most important thing is the calculation of the number of needs. Today, although there are many ceramic places that have exclusive methods for calculating the ceramics needed. However, you still need to understand it. So you can be precise and correct in calculating the amount of ceramics needed and the budget. This ceramic installation uses the principle of Mathematical Induction. Basically, this principle is very easy to do and prove because this is a simple idea but it is very useful. Keywords : Ceramics, the principle of mathematical induction, the application of induction in the installation of ceramics

2

PENDAHULUAN

Di kehidupan sehari hari, kita pasti sudah tahu yang namanya keramik. Biasanya terdapat pada iklan atau di saat kita lewat jalan ada sebuah toko bangunan. Apakah yang dimaksud dengan keramik ? Keramik merupakan salah satu jenis ubin yang sangat umum digunakan sebagai penutup lantai rumah-rumah Indonesia. Pada saat pemasangan keramik, banyak sekali terjadi hal – hal yang tidak di inginkan seperti keramik pecah, nat berantakan dan sering juga terjadi lantai keramik meledak. Hal seperti ini sering terjadi karena pada saat pemasangan tidak cermat dan pemikiran masyarakat yang hanya memikirkan anggaran pembelian keramik. Anggaran untuk pemasangan keramik dan tukang yang sangat rendah, serta kualitas keramik yang digunakan sangatlah jelek. Sedangkan lantai itu seharusnya dilakukan pemasangan yang teliti dan tersetruktur supaya terlihat rapi dan indah. Karena sesungguhnya lantai adalah sesuatu yang terpenting di dalam sebuah bangunan apapun itu. Oleh karena itu, pemasangan ubin harus menggunakan suatu perhitungan dengan prinsip Induksi Matematika.

Penerapan Induksi Matematika Dalam Pemasangan Keramik Pada saat pemasangan keramik, banyak hal yang harus diperhatikan agar keramik yang dipasang terlihat rapi dan indah. Karena keramik biasanya dipasang tidak tepat maka akan terjadi hal – hal yang tidak di inginkan. Misalnya keramik pecah, nat berantakan dan sering juga terjadi lantai keramik meledak. Maka dari itu, perlu menggunakan metode Induksi Matematika agar tidak terjadi hal – hal yang tidak diinginkan. Di dalam induksi matematika terdapat 3 metode pembuktian yaitu basis induksi, hipotesis induksi dan langkah induksi. Induksi matematika Induksi matematika (mathematical induction) adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli. Berikut adalah suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu prinsip terurut rapi (well-ordering principle) dari bilangan asli. METODE PENELITIAN Pada makalah ini, bukanlah pembahasan mengenai proses pembuatan keramik, bahan – bahan apa saja yang digunakan dalam pembuatan keramik ataupun cara kerja saat proses

pembuatan keramik tersebut. Pada makalah ini akan dibahas mengenai penerapan pemasangan keramik menggunakan Induksi Matematika. Contoh yang sederhana misalkan deret bilangan seperti di bawah ini.

Untuk nilai n tertentu, kita bisa mencari jumlah dari deret bilangan di atas. Sebagai contoh, untuk n=2, kita mendapatkan hasil demikian:

Ternyata untuk n=2, kita mendapatkan bahwa jumlah deretnya adalah 3. Bagaimana dengan n=5?

Jumlahnya adalah 15. Kalau untuk n = 8 :

Kita dapatkan bahwa untuk n = 8, jumlah deret tersebut adalah 40. Kemudian kita mendapatkan informasi bahwa ternyata untuk menghitung jumlah deret tersebut untuk n bilangan asli berapapun.Rumus jumlahnya adalah demikian:

Sebelum masuk ke pembuktian dengan Induksi Matematika, tes dulu apakah nilai Sn itu benar untuk nilai-nilai n yang sebelumnya sudah dihitung. Mulai dari n=2.

4

Hasilnya sama untuk n = 2. Sekarang coba tes untuk n = 5.

Hasilnya sama. Untuk n = 8

Dengan menggunakan Induksi Matematika, bisa membuktikan rumus Sn di atas tanpa perlu menghitung satu per satu nilai Sn seperti di atas. Dengan cara langkah berikut :

1. Buktikan bahwa rumus tersebut benar untuk nilai n dasar (pada contoh di atas, buktikan untuk n=1). 2. Buktikan bahwa jika rumus tersebut benar untuk n=k, maka rumus tersebut juga benar untuk n=k+1. Matematika kuat Misalkan S(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n, dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar, S(a), S(a + 1), ..., dan S(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar) Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ b, jika S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k, maka S(k + 1) benar. (langkah induksi)

Maka untuk semua bilangan bulat n ≥ a, S(n) benar. (Asumsi bahwa S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa S(a), S(a + 1), ..., S(k) semuanya bernilai benar.) Contoh pemasangan ubin induksi matematika Buktikan dengan induksi matematik bahwa setiap lantai berukuran 2 n x 2n (n bilangan asli) dapat ditutupi dengan satu ubin berukuran 1 x 1 dan beberapa ubin berbentuk L – tromino. (Gambar L-tromino yang dimaksud diberikan dibawah)

Basis : Untuk n=1, tutup salah satu pojok dengan ubin 1x1 dan jelas petak yang tersisa merupakan L-tromino Induksi : Misalkan benar bahwa lantai berukuran 2 n x 2n dapat ditutupi dengan satu ubin berukuran

1×1

dan

berukuran 2

k+1

k+1

x2

sejumlah

ubin

berbentuk L-tromino Untuk n=k+1, maka lantai

akan tersusun oleh 4 bagian lantai berukuran 2k x 2k Jika ubin 1×1

ditutup di salah satu bagian lantai, bagian tersebut dapat ditutup sejumlah L- tromino. Lalu, terhadap ketiga bagian lainnya, buang pojok bagian yang terdapat di tengah lantai besar. Kini, ketiga bagian tersebut dapat ditutupi sejumlah L-tromino an ketiga pojok yang dibuang pun sebenarnya membentuk L-tromino. Karena lantai berukuran 2k+1 x 2k+1 juga ternyata bisa ditutupi sejumlah L- tromino dan satu ubin 1×1 maka pernyataan pada soal benar dan terbukti oleh induksi matematika.

HASIL DAN PEMBAHASAN Menggunakan teori induksi matematika untuk penerapan atau pemasangan ubin untuk menghindari hal – hal yang tidak diinginkan seperti keramik pecah, nat berantakan dan sering juga terjadi lantai keramik meledak.

6

Perhitungan segitiga sama sisi menggunakan ubin trapesium Misalkan nn adalah bilangan bulat positif. Segitiga sama sisi dipotong menjadi 4 ^ n segitiga sama sisi kongruen, dan satu sudut dihilangkan. Tunjukkan bahwa area yang tersisa dapat ditutupi oleh ubin trapesium seperti ini:

Contoh n = 2. Ubin gelap dihapus.

Untuk lebih jelasnya, sampul yang dimaksud adalah tutup tanpa tumpang tindih, sehingga tidak dapat memiliki dua ubin trapesium yang tumpang tindih.

Seperti halnya solusi induksi matematis, kita mulai dengan kasus dasar, yaitu n = 1, dalam hal ini segitiga terlihat seperti ini:

Dalam kasus ini, jelas bahwa kita dapat menutupi area sisa menggunakan ubin trapesium yang terdiri dari tiga segitiga sama sisi (baris kedua), jadi:

Kasus dasar: n = 1n = 1 maka segitiga memiliki 4 ^ 1 = 4 ubin, dan dengan menghapus ubin paling atas, baris kedua dapat ditutup menggunakan ubin trapesium tunggal.

Sekarang untuk langkah induksi, kita harus menunjukkan bahwa setelah menambahkan 1 ke nn, yaitu, dengan mengalikan ubin dengan 4, kita masih bisa menutupi segitiga dengan ubin trapesium. Untuk menunjukkan ini, kita mulai dengan mengasumsikan kita memiliki segitiga dengan n ^ 4

ubin, yang kita tahu bisa ditutupi oleh ubin trapesium, lalu kita tambahkan ubin baru dan menunjukkan bahwa mereka juga bisa ditutupi oleh ubin trapesium.

Langkah Induksi: Misalkan kita memiliki segitiga yang dipisah menjadi n^4 ubin, dan kita tahu dengan hipotesis induksi bahwa itu dapat ditutupi oleh ubin trapesium. Sekarang anggaplah kita memiliki segitiga lain dengan 4 ^ n ubin, itu artinya, 4 kali lebih banyak segitiga daripada segitiga asli kita. Kita kemudian dapat mengelompokkan segitiga baru yang lebih besar menjadi 4 segitiga kongruen, salah satunya kita ketahui dapat dipecah menjadi ubin trapesium dengan menghapus salah satu ubin itu.

Untuk tiga segitiga kiri, kita dapat menemukan sudut tetangga dan menganggap ubin di sudut itu akan dihapus, dan kemudian menutupi sisanya dengan ubin trapesium. Setelah itu, karena kami memiliki tiga sudut seperti itu, dan mereka adalah sudut yang berdekatan, kami dapat menutupi ketiga sudut ini dengan satu ubin trapesium, sehingga melengkapi segitiga tersebut.

dalam hal yang lebih sederhana, kami mengikuti langkah ini (untuk n = 2):

8

Pertama, kita membagi seluruh segitiga menjadi 4 kelompok kecil:

Lalu, kita tahu bahwa salah satu segitiga dapat ditutupi oleh ubin trapesium jika kita menghapus salah satu ubin itu, itulah hipotesis induksi (kasus untuk 4 ^n yang dibuktikan dalam kasus dasar):

Meninggalkan segitiga atas di belakang, kita sekarang menemukan sudut tetangga di antara tiga segitiga kiri, dan kita menganggap ubin di sudut-sudut itu akan dihapus (mereka tidak benar-benar dihapus karena kami terpaksa menghapus hanya satu ubin):

Sekarang kita dapat menutupi sisa segitiga ini dengan ubin trapesium tunggal, mirip dengan kasus n=1. Setelah itu, kita melihat bahwa tiga ubin berdekatanmembentuk ubin trapesium, oleh karena itu sekarang kita dapat meletakkan potongan terakhir di sana untuk menyelesaikan ubin.

Prosedur ini dapat diterapkan secara rekursif pada nilai nn yang lebih besar juga, jadi ini menyimpulkan bukti ubin segitiga sama sisi dibagi menjadi 4 ^ n segitiga sama sisi menggunakan ubin trapesium setelah melepas satu bagian.

KESIMPULAN Induksi matematika merupakan suatu metode pembuktian deduktif dalam matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli. Suatu prinsip yang

digunakan

untuk

membuktikan

induksi

matematika,

yaitu

prinsip

induksi

sederhana, induksi yang dirapatkan (Generalized) dan induksi kuat dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, dsb Induksi matematik digunakan untuk membuktikan hasil tentang kompleksitas algoritma, pembetulan tipe program komputer tertentu, teorema tentang graf dan pohon, dan juga suatu range luas dari identitas dan pertidaksamaan. Induksi Matematika juga merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Selain itu Induksi Matematika juga digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu.

10

REKOMENDASI Metode ini diarahkan pada pemasangan keramik yang menggunakan metode induksi matematika untuk penerapannya. Akan tetapi metode induksi matematika ini bisa diarahkan pada hal yang lain misalnya nominal uang atm, menyusun kepingan domino dan lain-lain.

UCAPAN TERIMAKASIH atau CATATAN Alhamdulillah puji syukur kepada Allah SWT, karena atas ridhonya paper telah selesai sesuai dengan harapan kami. Paper ini tidak akan selesai tanpa doa, usaha, dukungan dari berbagai pihak. Adapun pada kesempatan ini mengucapkan banyak terima kasih kepada dosen kami Bpk. Ferry Wahyu Wibowo, S.Si, M.Cs yang telah memberikan materi perkuliahan untuk menyelesaikan paper ini.

REFERENSI Ryani Miftaqul Jannah (2014). Pendidikan Matematika . (Online), (https://ryanimj.wordpress.com/2014/10/11/ubin-dan-keramik/), diakses 1 November 2019 T I A R A S Y A H R A S Y A B A N (2018). 9 JENIS UBIN TERBAIK UNTUK RUMAH (HARGA,DESAIN, HINGGA KETAHANANNYA. (Online), (https://www.99.co/blog/indonesia/jenis-ubin/),diakses 1 November 2019 Yosep Dwi Kristanto (2013). Induksi Matematika. (Online), (https://yos3prens.wordpress.com/2013/10/06/induksi-matematika/), diakses 1 November 2019 WISNU SUBEKTI (2016). Membuktikan Rumus Dengan Induksi. (Online), (https://www.zenius.net/blog/13735/induksi-matematika), diakses 1 November 2019 Wikipedia (2019). Induksi Matematika. (Online), (https://id.wikipedia.org/wiki/Induksi_matematika), diakses 2 November 2019 STUDY LIB (2013). Soal Kuis 2. (Online), (https://studylibid.com/doc/483922/solusi-kuis-2), diakses 2 November 2019 Yosep Dwi Kristanto (2013). Sumber belajar matematika online . (Online), (https://yos3prens.wordpress.com/2013/10/06/induksi-matematika/), diakses 2 November 2019

Mehdi

(2017).Mathematical

Induction

for

proving

tiling

methods.

(Online),

(https://mahdi.blog/mathematical-induction-proving-tiling-methods/), diakses 2 November 2019...