PENYELESAIAN SUATU PERSAMAAN UNTUK MENCARI AKAR DENGAN BANTUAN PROGRAM KOMPUTER MENGGUNAKAN BAHASA C++ PDF

Preview

Summary

MAKALAH PENYELESAIAN SUATU PERSAMAAN UNTUK MENCARI AKAR DENGAN BANTUAN PROGRAM KOMPUTER MENGGUNAKAN BAHASA C++ Untuk Memenuhi Tugas Matakuliah Pengantar Ilmu Komputer Dosen Pengampu: Juhari,M.Si Disusun oleh: Mohamad Febry Andrean (18610103) JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITA...

Description

MAKALAH PENYELESAIAN SUATU PERSAMAAN UNTUK MENCARI AKAR DENGAN BANTUAN PROGRAM KOMPUTER MENGGUNAKAN BAHASA C++ Untuk Memenuhi Tugas Matakuliah Pengantar Ilmu Komputer Dosen Pengampu: Juhari,M.Si

Disusun oleh: Mohamad Febry Andrean (18610103)

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2019

Daftar Isi

BAB I ......................................................................................................................... PENDAHULUAN .................................................................................................... A. Latar Belakang .............................................................................................. B. Rumusan Masalah ........................................................................................ C. Tujuan Pemrograman .................................................................................. BAB II ....................................................................................................................... PEMBAHASAN ....................................................................................................... 2.1. Metode Newton-Raphson 2.2. Metode Biseksi ( Bagi Dua ) 2.3. Metode Secant 2.4. Metode Regulasi False BAB III...................................................................................................................... DAFTAR PUSTAKA ...............................................................................................

BAB 1 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Teknik untuk menyelesainakn permasalahan – permasalahan yang di rumuskan secara matematik dengan caraa operasi hitung (arithmetic) yang dinamakan metode numerik. Berbagai permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan dan teknologi dapat digambarkan dalam bentuk persamaan matematik. Apabila persamaan tersebut mempunyai bentuk sederhana, penyelesaiannya dapat dilakukan secara analitis, sehingga penyelesaiannya dilakukan secara numerik. Hasil dari penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitik atau eksak. Karena merupakan nilai pendekatan, maka terdapat kesalahan terhadap nilai eksak. Nilai kesalahan tersebut harus cukup kecil terhadap tingkat kesalahan yang ditetapkan. Dalam metode terdapat beberapa bentuk proses hitungan atau algoritma untuk menyelesaikan suatu tipe persamaan matematik. Hitungan numerik dapat dilakukan dengan dengan menggunakan salah satu dari bentuk proses hitungan yang paling efisien yang memerlukan waktu hitungan paling cepat. Operasi hitungan dilakukan iterasi dalam jumalah yang sangat banyak dan berulang – ulang. Oleh karena itu perlu bantuan komputer untuk menyelesaikan operasi hitungan tersebut. Tanpa bantuan komputer metode numerik tidak banyak memberikan mafaat. Metode numerik sudah cukup lama dikembangkan, namun pemakiannya dalam permasalahan yang ada di berbagai bidang belum meluas. Hal ini disebabkan karena pada masa lalu alat hitung yang berupa komputer belum banyak digunakan secara meluas. Beberapa tahun terakhir ini perkembangan kemampuan komputer sangat pesat dan harganya pun semakin terjangkau, sehingga terjadi peningkatan pemakaian metode numerik untuk menyelesaikan permasalahan. Saat ini metode numerik telah berkembang dengan pesat dan merupakan alat yang sangat ampuh untuk menyelesaikan permasalhan dalam berbagai bidang. Metode numerik mampu menyelesaikan suatu sistem persamaan yang besar, tidak linier dan sangat kompleks yang tidak mungkin diselesaikan secara analitis. Meskipun metode numerik banyak dikembangkan oleh para ahli matematika, tetapi ilmu tersebut bukan hanya milik mereka. Ilmu metode numerik adalah milik semua ahli dari berbagai bidang, seperti bidang teknik (sipil, mesin, elektro, kimia, aeronotika, dan sebagainya), kedokteran, ekonomi, sosial, dan ilmu bidang lainnya. Berbagai

masalah yang ada dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan dapat digambarkan dalam bentuk matematik berbagai fenomena yang berpengaruh. Misalnya gerak air dan polutan di saluran, sungai dan laut, aliran udara, perambatan panas, defeleksi suatu plat dan balok, dan sebagainya dapat digambarkan dalam bentuk matematik. Biasanya fenomena yang berpengaruh itu sangat banyak dan sangat kompleks, dan fenomena yang kurang berpengaruh dapat di abaikan. Meskipun telah dilakukan secara analitis. Untuk itu maka diperlukan metode numerik untuk menyelesaikan persamaan tersebut. B. Rumusan Masalah 1. Bagaimana penyelesaian untuk mencari akar suatu fungsi f(x) dengan metode Newton-Raphson ?

2. Bagaimana penyelesaian untuk mencari akar suatu fungsi f(x) dengan metode Biseksi ( Bagi Dua ) ?

3. Bagaimana penyelesaian untuk mencari akar suatu fungsi f(x) dengan metode Secant ?

4. Bagaimana penyelesaian untuk mencari akar suatu fungsi f(x) dengan metode Regulasi False ?

C. Tujuan Pemrograman Mempermudah dalam pencarian akar suatu fungsi 𝑓(𝑥) dengan 4 metode yaitu

Metode Newton-Raphson, Metode Biseksi ( Bagi Dua ), Metode Secant, dan Metode

Regulasi False. Operasi hitungan untuk mencari akar suatu fungsi 𝑓(𝑥) dilakukan iterasi dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang – ulang. Oleh karena itu perlu bantuan komputer untuk menyelesaikan operasi hitungan.

BAB II PEMBAHASAN 2.1. Metode Newton-Raphson Metode pencarian akar suatu fungsi 𝑓(𝑥) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi

𝑓(𝑥) mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah dari metode bagi dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya. Menentukan 𝑥0 sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis l) yang

menyinggung titik 𝑓(𝑥0 ). Hal ini berakibat garis l memotong sumbu x di titik 𝑥1. Setelah itu

diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang 𝑥1 dianggap sebagai titik awalnya. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan 𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3, . . . 𝑥𝑛 dengan 𝑥𝑛 yang diperoleh

adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya.

Akan ditentukan rumus Metode Newton-Rapshon dengan menurunkan persamaan garis 𝑙 ∶ 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )

𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓 ′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0 )

𝑥1 adalah perpotongan garis l dengan sumbu-x

0 − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓 ′(𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 )

𝑦 = 0 dan 𝑥 = 𝑥0 maka koordinat titik (𝑥1, 0) −

𝑓(𝑥0) = (𝑥1 − 𝑥0 ) 𝑓 ′(𝑥0 ) 𝑥1 = 𝑥0 −

𝑥2 = 𝑥1 − .

𝑓(𝑥0) 𝑓 ′(𝑥0 ) 𝑓(𝑥1 ) 𝑓 ′(𝑥1)

. . 𝑓(𝑥

)

𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 − 𝑓 ′(𝑥𝑛−1 ) untuk n = 1, 2, 3, … 𝑛−1

Contoh : Tentukan akar dari persamaan 4𝑥 3 − 15𝑥 2 + 17𝑥 − 6 = 0 menggunakan Metode NewtonRaphson.

Penyelesaian : 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 − 15𝑥 2 + 17𝑥 − 6 𝑓(𝑥) = 12𝑥 2 − 30𝑥 + 17

iterasi 1 :

ambil titik awal 𝑥0 = 3

𝑓(3) = 4(3)3 − 15(3)2 + 17(3) − 6 = 18 𝑓 ′ (𝑥) = 12(3)2 − 30(3) + 17 = 35 𝑥1 = 3 −

18 = 2.48571 35

iterasi 2 : 𝑓(2.48571) = 4(2.48571)3 − 15(2.48571)2 + 17(2.48571) − 6 = 5.01019 𝑓 ′ (2.48571) = 12(2.48571)2 − 30(2.48571) + 17 = 16.57388 𝑥2 = 2.48571 −

5.01019 = 2.18342 16.57388

iterasi 3 : 𝑓(2.18342) = 4(2.18342)3 − 15(2.18342)2 + 17(2.18342) − 6 = 1.24457 𝑓 ′ (2.18342) = 12(2.18342)2 − 30(2.18342) + 17 = 8.70527 𝑥3 = 2.18342 −

1.24457 = 2.04045 8.70527

iterasi 4 : 𝑓(2.04045) = 4(2.04045)3 − 15(2.04045)2 + 17(2.04045) − 6 = 0.21727

𝑓 ′ (2.04045) = 12(2.04045)2 − 30(2.04045) + 17 = 5.747778 𝑥4 = 2.04045 −

0.21726 = 2.00265 5.74778

iterasi 5 : 𝑓(2.00265) = 4(2.00265)3 − 15(2.00265)2 + 17(2.00265) − 6 = 0.01334 𝑓 ′ (2.00265) = 12(2.00265)2 − 30(2.00265) + 17 = 5.04787 𝑥5 = 2.00265 −

0.01334 = 2.00001 5.04787

iterasi 6 : 𝑓(2.00001) = 4(2.00001)3 − 15(2.00001)2 + 17(2.00001) − 6 = 0.00005 𝑓 ′ (2.00001) = 12(2.00001)2 − 30(2.00001) + 17 = 5.00023 𝑥6 = 2.00001 −

0.00006 = 2.00000 5.00023

iterasi 7 : 𝑓(2) = 4(2)3 − 15(2)2 + 17(2) − 6 = 0

jika disajikan dalam tabel, maka seperti tabel dibawah ini. 𝑛

𝑥𝑛

𝑓(𝑥𝑛 )

𝑓′(𝑥𝑛 )

1

2.48571

5.01019

16.57388

2

2.18342

1.24457

8.70527

3

2.04045

0.21726

5.74778

4

2.00265

0.01334

5.04787

0

3

18

35

5

2.00001

0.00006

5.00023

6

2.00000

0.00000

5.00000

karena pada iterasi ketujuh 𝑓(𝑥6) = 0maka akar dari persamaan tersebut adalah 𝑥 = 2

2.2. Metode Biseksi ( Bagi Dua )

Merupakan salah satu metode tertutup untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier atau disebut juga metode pembagian interval yang di gunakan untuk mencari akar-akar persamaan non linier melalui proses iterasi dengan prinsip utama sebagai berikut : a) Menggunakan 2 buah nilai awal untuk mngurang salah satu atau lebih akar persamaan non linier. b) Nilai akarnya diduga melalui nilai tengah antara 2 nilai awal yang ada 𝑓(𝑥1) ∙ 𝑓(𝑥2 ) < 0 Algoritma Metode Biseksi

𝑥3 =

𝑥1 + 𝑥2 2

1. Definisi fungsi 𝑓(𝑥)yang akan di cari akarnya 2. Tentukan nilai a dan nilai b

3. Tentukan toleransi error (𝑒)dan bata iterasi maksimum(𝑛) 4. Hitung 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏)

5. Jika 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) > 0 , maka proses dihentikan karena tidak memiliki akar, jika tidak lanjut ke langkah selanjutnya.

6. Hitung 𝑥 =

𝑎+𝑏

7. Hitung 𝑓(𝑥)

2

8. Bila 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑥) < 0, maka 𝑏 = 𝑥dan 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑥) , bila tidak 𝑎 = 𝑥 dan 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑥)

9. Jika |𝑏 − 𝑎| < 𝑒 atau 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑠𝑖 > 𝑛 , maka proses dihentikan.

2.3. Metode Secant

Metode perbaikan dari metode newton-raphson dan metode regulasi false dimana kemiringan 2 titik dinyatakn secara diskrit, dengan mengambil banyak garis lurus yang melalui saru titik.

𝑓 ′ (𝑥) = (𝑓(𝑥𝑛 ) −

𝑓(𝑥𝑛 − 1) ) 𝑦𝑛 − 𝑥𝑛−1

𝑥𝑛 + 1 = 𝑥𝑛 − ((𝑓(𝑥𝑛 ) ∙ (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 − 1))/(𝑓(𝑥𝑛 ) − 𝑓(𝑥𝑛 − 1))

Metode ini bertujuan untuk menyelesaikan masalah yang terdapat pada metode Newton-Raphson ysng terkadang sulit mendapatkan turunan pertama yaitu 𝑓′(𝑥). Algoritma Metode Secant

1. Definisi fungsi 𝑓(𝑥)

2. Definisi toleransi error 𝑒 dan iterasi maksumum (𝑛)

3. Subsitusi 2 nilai pendekatan awal yang diantaranya terdapat akar 𝑥0 dan 𝑥1 4. Hitung 𝑓(𝑥0 ) dan 𝑓(𝑥1) sebagai 𝑦0 dan 𝑦1

5. Untuk iterasi 𝐼 = 1 sampai dengan atau |𝑓(𝑥𝑛 )|

𝑥𝑛 + 1 = 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 (

𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 − 1 ) 𝑦𝑛 − 𝑦𝑛 − 1

2.4. Metode Regulasi False Metode regulasi false adalah algoritma pencarian akar yang menggabungkan ciri-ciri dari metode bagi-dua dan metode sekan.

Gambar 2.4.1(Grafik Metode Regulasi False)

Seperti metode

bagi-dua,

metode

regula

falsi

dimulai

dengan

dua

titik

awal 𝑎0dan 𝑏0 sedemikian sehingga 𝑓(𝑎0 ) dan 𝑓(𝑏0 ) berlawanan tanda. Berdasarkan teorema

nilai antara, ini berarti fungsi 𝑓 memiliki akar dalam selang (𝑎0 , 𝑏0 ). Metode ini kemudian berlanjut dengan menghasilkan berturut-turut selang (𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 ) yang semuanya berisi akar 𝑓.

Pada iterasi ke- 𝑘, bilangan dihitung. Seperti yang diterangkan di bawah, 𝑐𝑘 adalah akar dari garis sekan melalui (𝑎𝑘 , 𝑓(𝑎𝑘 )) dan (𝑏𝑘 , 𝑓(𝑏𝑘 )). Jika 𝑓(𝑎𝑘 ) dan 𝑓(𝑐𝑘 ) memiliki tanda yang sama, maka kita menetapkan 𝑎𝑘 + 1 = 𝑐𝑘 dan 𝑏𝑘 + 1 = 𝑏𝑘 Jika tidak, kita menetapkan

𝑎𝑘 + 1 = 𝑏𝑘 dan 𝑏𝑘 + 1 = 𝑐𝑘 . Proses ini diteruskan hingga akar dihampiri dengan cukup baik.

Rumus di atas juga digunakan pada metode sekan, namun metode sekan selalu

mempertahankan

dua

titik

terakhir

yang

dihitung,

sementara

metode

regula

falsi

mempertahankan dua titik yang pasti mengapit akar. Di sisi lain, satu-satunya perbedaan antara metode regula falsi dan metode bagi-dua adalah yang terakhir menggunakan 𝑐𝑘 = (𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 )/2 Algoritma Metode Regulasi False 1. Tentukan interval (𝑥0 , 𝑥1 ) yang memuat akar

2. Tentukan titik 𝑥2 dengan menarik garis lurus dari titik (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) ke titik (𝑥1, 𝑓(𝑥1 )) titik 𝑥2 adalah titik potong garis dengan sumbu 𝑥. 𝑥2 =

3. Bila =

(𝑥0 ∙ 𝑓(𝑥1 )) − (𝑥0 ∙ 𝑓(𝑥1 )) 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 )

a. 𝑓(𝑥0) ∙ 𝑓(𝑥2 ) < 0 Maka akar pada (𝑥0, 𝑥2 ), 𝑥2 = 𝑥1 b. 𝑓(𝑥0) ∙ 𝑓(𝑥2 ) = 0 maka nilai akar samadengan 𝑥2 c.

𝑓(𝑥0) ∙ 𝑓(𝑥2 ) > 0 Maka akar pada (𝑥2, 𝑥1 ), 𝑥2 = 𝑥0

4. Pengulangan / iterasi mencari 𝑥2 dan interval baru dilakukan berdasarkan nilai toleransi | |

(𝑥2 −𝑥)1 𝑥1

| atau |

5. Kelemahan :

𝑥2 −𝑥0 𝑥0

|

Hanya salah satu ujung titik interval ( 𝑥0atau 𝑥1 ) yang bergerak menuju akar dan yang lain selalu tetap untuk setiap iterasi (𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 bersifat mutlak).

Program 2.0.

Program dari 4 Metode Numerik #include // library gae fungsi print mbek scan #include #include // gae operasi matematik pow(pangkat) #include // gae fungsi abs (absolute)

#include using namespace std; float fx(float x); // input f(x) mengatur tipe data output dari funsi fx(x dengan tipe float) float dx(float x); // input f'(x) void garis() { cout...