Pochodne PDF

Preview

Summary

Download Pochodne PDF

Description

Matematyka -Pochodne Różniczkowalność funkcji Niech y=f(x) będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu x0 * Mówimy, że f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy istnieje taka stała A, że dla każdego przyrostu argumentu f ( x0  x)  f ( x0 )  Ax  o( x ) gdzie o jest wielkością nieskończenie małą Np. f (x )  x 3 f (x 0   x )  (x 0   x ) 3 Wtedy wyrażenie * przyjmuje postać

f (x 0 )  x 0

3

3 3 2 3 f ( x0   x)  f ( x0 )  ( x0  x )3  x0  x0  3x0 x  3x0 (x ) 2  (x )3  x 0 

3 x0 2  x  3 x0 2 x  ( x)3 Ax we wzorze * oznaczamy wzorem df ( x 0 , x) i nazywamy różniczką funkcji f(x) w

punkcie x0 odpowiadającą przyrostowi argumentu x Często oznacza się również df ( x 0 ) df dy Z przykładu powyższego wynika, że dla f(x)=x3 różniczka tej funkcji w punkcie x0 to 2 df 3x 0 x Natomiast w interpretacji geometrycznej:

 

Funkcja y=f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0 tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie pochodną Jeżeli mamy do czynienia z funkcją większej ilości zmiennych np. 3 to mówimy wtedy o tzw różniczce zupełnej funkcji

Np. u  f ( x, y, z ) wtedy wzór na różniczkę zupełną ma postać f f f z x  y  x y z

y' 3 x2 

dy dx

y  x3 u u x3 y 4 ux '  3x 2 y 4 x u 3 3 uy '   4 x y y Różniczka funkcji znajduje zastosowanie w przypadku, gdy wielkości pochodzące z pomiarów nie są dokładne a podane są z pewnym błędem bezwzględnym wtedy błąd bezwzględny wielkości wyliczonej można wyznaczyć za pomocą różniczki zupełnej funkcji Błąd bezwzględny a a  a~ a

Błąd względny  a  ~ a

a

Błąd względny %  a %  ~ 100% a Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej Jeżeli funkcja różniczkowalna y=f(x) ma funkcję odwrotną x  ( y ) to pochodna tej funkcji dx 1  to dy dy dx

x' 

1 y'

Przykład: dana jest funkcja y=tgx funkcja do niej odwrotna to x=arctgy 1 cos 2 x cos 2 x 1 1 1 1 1       y'  2 x'  x ' 2 2 2 2 1 y' sin x 1  y 2 1 cos x  sin x cos x 1 y  1 cos 2 x cos 2 x Mając na uwadze fakt, że pochodna funkcji złożonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej wzory 1-17 przyjmują postać

y C y [ f ( x)] n

y ' 0

1 y f ( x) a y f ( x) y  sin f ( x )

y'  n[ f ( x)] n  1 f ' ( x) 1 y'  f ' ( x) 2 f (x ) 1 y ' f ' (x ) [ f ( x)] 2  a f ' (x ) y ' [ f ( x)] 2 y ' cos f ( x ) f ' (x )

y  cos f ( x)

y'  sin f ( x) f ' ( x)

y

f ( x)

y arccos f ( x)

y' 

y ctgf ( x ) y ln f ( x) y log a f ( x) y  a f ( x) y  e f ( x) y arcsin f ( x )

1 y' 2 f ' (x ) cos f ( x) 1 y' 2 f ' (x ) sin f (x ) 1 y'  f ' (x ) f (x ) 1 y'  f ' ( x) f ( x ) ln a y' a f ( x) ln a  f ' ( x) y'  e f ( x) f ' ( x) 1 y'  f ' ( x) 1 f (x )2

1

f ' (x ) 1  f ( x) 2 1 y' f ' (x ) 1  [ f ( x)] 2

y arctgf ( x )

y x7 y  7x

y tgf ( x )

y  arcctgf ( x)

y' 

 1 f ' (x ) 1  [ f (x )] 2

y  xx ln y x ln x

y ' 7 x 6 y ' 7x ln 7

ex ln x  y y '  e x ln x ( x ln x )' e x ln x (ln x  x

1 )  x x (ln x  1) x

Jest to metoda pochodnej logarytmicznej y [ f ( x)] g ( x ) ln y  g ( x) ln f ( x) e g (x ) ln f (x )  y y ' e g ( x ) ln f ( x ) [g (x ) ln f (x )]' [ f ( x)] g ( x )[ g ' ( x) ln f ( x)  g ( x) y f

g

 y'  f g [ g ' ln f  g

f ' (x ) ] f ( x)

f' ] f

y (sin x ) cos x ln y cos x ln(sin x)

Przykład:

y e cos x ln sin x y ' e cos x ln sin x (cos x ln sin x )' (sin x ) cos x [  sin x ln sin x  cos x  (sin x )cos x [cos xctgx  sin x ln sin x]

1 cos x ]  sin x...