2. am1 pochodne zast PDF

Preview

Summary

Download 2. am1 pochodne zast PDF

Description

Analiza matematyczna I

WFMiI - Matematyka Zastosowania rachunku r´ ozniczkowego ˙ funkcji jednej zmiennej

Zadanie 1 Obliczy´c nastepuj ace granice funkcji korzystajac sli to mo˙zliwe): ֒ ֒ ֒ z reguly de L’Hospitala (je´ ln x , ln(sin x)

lim x+cos x , x→∞ x−cos x

lim ln x−1 , x→1 x−1

x→0+

xx −1 , x→1 ln(x)

lim sin(x − 1) · tg πx , 2 x→1   1 lim x1 − arctg , x

 x  lim x 1 + x1 − e , x→∞   ln(x+1)x+1 − x1 , lim x2

lim

lim

x→+∞

  x − ln3 x ,

lim (π − 2x)cos x ,

− x→ π 2

1

lim [cos(sin x)] x2 ,

x→0

lim

x→∞

x arctg (x) , π

2

lim

x→0

x→0

lim

pπ

2x

x→+∞

2

lim

x→+∞

− arctg 2x,

lim (arcsin x)sin x ,

ln(x)

lim (1 + x)

x→0+

lim

,

x→0+

lim x ln(x),

1

x

x→0+

 − ctg (x) ,

lim (ex − x2 ),

x→∞ 1

1

lim (ex + x) x ,

lim (π − arcctg x) x+1 ,

x→0

 1 sin(x) x

lim

x→0−

lim+

lim x x2 −1 ,

x→1

x→0

lim x2 e−x ,

x→∞

x→−∞

x→0

2

1

lim (ctg x) ln x ,

2x lim e −1 , x→0 arctg 5x

π−2arctg x , 1 ln(1+ x )

2

π

arccos x

lim xln(x−1),

,

 x1

x→0

3

lim (cos 2x) x2 ,  1 sin(x) x lim+ . x

,

x→0

x→1+

x→0

Zadanie 2 Zbada´c przebieg zmienno´sci nastepuj acych funkcji: ֒ ֒ 2x f (x) = arctg 1+x 2,

f (x) = arcsin

f (x) = cosh(x),

f (x) = sinh(x),

f (x) =

2x 1+x2 ,

  f (x) = x · ln e + x1 ,  x f (x) = 1 + 1x ,   1−x2 f (x) = arcsin 1+x , 2

f (x) = x2 e−x ,

x , ex

Zadanie 3 Wyznaczy´c ekstrema nastepuj acych funkcji: ֒ ֒ √ 5 f (x) = xm (1 − x)n , n, m ∈ N, f (x) = x2 ,   f (x) = x2 − x − 2 ,

f (x) = ln (|x| + 1) ,

f (x) =

|x−1| , x2

1

f (x) = (x − 2) · e− x ,

f (x) = ln(cos(x)),

f (x) =

x3 , 2(x+1)2

f (x) = ln(x2 + 1),

f (x) =

x . ln x

f (x) = 1 + sgn (cos(x)) · sin(x),   2 n f (x) = 1 + x + x2! + . . . + xn! e−x , n ∈ N.

Zadanie 4 Wyznaczy´c, o ile istnieja,֒ najmniejsza֒ i najwieksz a֒ warto´s´c funkcji na wskazanym zbiorze: ֒ √ 1 f (x) = x2 , [1, ∞); f (x) = 2 − |x|, [−1, 4]; f (x) = x arcsin(x) + 1 − x2 , f (x) = |sin(x)| ,

2

f (x) = x ln(x),

R;

[1, e];

Zadanie 5 Dla x 6= 0 definiujemy f (x) = arctg

f (x) =

1 1+|x|

+

1 , 1+|x−1|

[−1, 1];

R.

x2 − 1 . 2|x|

a) Pokaza´c, ze ˙ mo˙zna przyporzadkowa´ c x = 0 tak a֒ warto´s´c, z˙ e otrzymamy funkcje֒ ciag ֒ ֒ la֒ w R. b) Obliczy´c pochodna֒ funkcji f , a nastepnie uzasadni´ c , ze ˙ ֒ ( dla x < 0 − π2 − 2arctg x f (x) = π dla x > 0. − 2 + 2arctg x Naszkicowa´c wykres funkcji f . Zadanie 6 Uzasadni´c to˙zsamo´sci: a) arctg x =

π 4

1−x 1+x

x ∈ (−1, +∞),     c) 3 arccos x = π + arccos 3x − 4x3 dla x ∈ − 21 , 12 , − arctg

dla

x dla x ∈ (−1, 1), b) arcsin x = arctg √1−x 2   2x d) 2arctg x + arcsin 1+x = π · sgn x dla |x| ≥ 1. 2

Zadanie 7 Pokaza´c, ze ˙ je´sli funkcja f : (0, +∞) → R spelnia w zbiorze (0, +∞) r´ownanie f (x) = −x · f ′ (x), to jest c postaci f (x) = x , gdzie c jest stala. ֒

2

Zadanie 8 Korzystajac sci odpowiednich funkcji udowodni´c nier´owno´sci: ֒ z twierdzenia Lagrange’a lub monotoniczno´ a) n(b − a)an−1 < bn − an < n(b − a)bn−1 dla 0 < a < b, n ∈ N; p  q  c) 1 + xp < 1 + xq dla 0 < p < q, x > 0; e)

x ln(x) x2 −1

<

1 2

dla

b) ex > ex d) ln(x) <

x > 0, x 6= 1;

f ) ln x >

dla x e

x > 1;

dla

2(x−1) x+1

x > 0, x 6= e;

dla

x > 1.

Korzystajac owno´sci ustali´c, kt´ora z liczb jest jest wi ֒eksza: ֒ z udowodnionych nier´ eπ

πe,

czy

2

√ 2

czy

e.

Zadanie 9 Korzystajac sci ´sredniej, udowodni´c nier´owno´sci: ֒ z twierdzenia Cauchy’ego o warto´ a) 1 −

x2 2

< cos(x),

c) cos(x) < 1 −

2

x 2!

x 6= 0; +

4

x 4!

,

b) x −

x 6= 0;

x3 6

< sin(x),

d) sin(x) < x −

3

x 3!

x > 0; +

5

x 5!

,

x > 0.

Zadanie 10 Wykaza´c, ze ˙ r´ownanie: a) x13 + 7x3 − 5 = 0,

b) 3x + 4x = 5x

ma dokladnie jeden pierwiastek rzeczywisty.

Zadanie 11 Zakladamy, ze ˙ funkcja f ∈ C ([a, b]) jest r´ozniczkowalna ˙ w przedziale (a, b). Udowodni´c, ze ˙ je´sli f (a) = f (b) = 0, to dla dowolnej liczby α ∈ R istnieje w przedziale (a, b) pierwiastek r´ownania: αf (x) + f ′ (x) = 0. Zadanie 12 Zakladamy, ze ˙ funkcja f ∈ C ([a, b]), a > 0, jest r´oz˙ niczkowalna w (a, b) oraz spe lnia warunek: f 2 (b) − f 2 (a) = b2 − a2 .

Wykaza´c, ze ˙ istnieje punkt x0 ∈ (a, b) bed pierwiastkiem r´ownania: f ′ (x)f (x) = x. ֒ ֒ acy Zadanie 13 Obw´od osiowego przekroju walca r´owny jest 6a. Jaka jest najwieksza mo˙zliwa objeto´ c takiego walca? ֒ ֒ s´ Zadanie 14 Na paraboli y = x2 wyznaczy´c punkt polo˙zony najbli˙zej prostej y = 2x − 4.   2 −6t s´c inflacji w pewnym pa´nstwie w 2014r. okre´slona byla w przybli˙zeniu wzorem p(t) = 20 1 + t 500 Zadanie 15 Predko´ ֒ procent na rok, gdzie t oznacza czas mierzony w miesiacach od poczatku roku. W kt´orych miesi acach inflacja malala? ֒ ֒ ֒ Zadanie 16 Korzystajac ow na pochodne obliczy´c sume: ֒ z odpowiednich wzor´ ֒ n X kx ke , x ∈ R. k=0

Zadanie 17 Napisa´c r´ownania prostych stycznych i normalnych do wykres´ow nast epuj acych funkcji w podanych punktach: ֒ ֒   2 √ 2x x a) f (x) = , x0 = 1. , x0 = 2; b) f (x) = arcsin 1 + x2 1 + x2 1 . Wyznaczy´c r´ownanie stycznej do wykresu funkcji f Zadanie 18  jest funkcja f : R \ {0} → R o wzorze x 7→ x2  Dana 1 w punkcie − 2 , 4 i obliczy´c pole powierzchni tr´ojkata utworzonego przez t a֒ styczna֒ i osie ukladu wsp´olrzednych. ֒ ֒

Zadanie 19

a) Wyznaczy´c katy pod jakimi przecinaja֒ sie֒ wykresy funkcji: ֒ √ (i) f (x) = x2 , g(x) = 3 x; x > 0; (ii) l(x) = 4 − x; h(x) = 4 − 12 x2 ; x > 0. prostym? b) Dla jakich warto´sci parametru k ∈ R wykresy funkcji f (x) = ekx i g(x) = e−x przecinaja֒ sie֒ pod katem ֒ Zadanie 20 Korzystajac c z dokladno´scia֒ do jednej tysi ecznej: ֒ ze wzoru Taylora obliczy´ ֒     11 1 2 , ln , e , tg (1). sin 2 10 Zadanie 21 Przybli˙zy´c wielomianem (odpowiedniego stopnia) z dokladno´scia֒ do jednej tysiecznej nastepuj ace funkcje ֒ ֒ ֒ na podanych przedzialach:     π  1 1 1 1 ,2 ; e) ,π ; c) ex , [0, 3]; d) ln(x), , − , . a) sin(x), [−1, 1]; b) cos(x), 2 2 2 2 1−x...