(AM1) Análisis Matemático I PDF

Preview

Summary

1 VALORES Valor Absoluto O de un es el Real considerado con el signo positivo. Intervalos Conjuntos de o puntos que verifican distintas desigualdades. Intervalos Cerrados a x b Intervalos Abiertos b) a x b Intervalos Abiertos por Derecha b) a x b Intervalos Abiertos por Izquierda a x b Longitud de u...

Description

ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 VALORES NUMÉRICOS Valor Absoluto

O módulo de un número, es el número Real considerado con el signo positivo.

Intervalos

Conjuntos de números o puntos ‘x’ que verifican distintas desigualdades. Clasificación:    

Intervalos Cerrados [a; b] = a ≤ x ≤ b Intervalos Abiertos (a; b) = a < x < b Intervalos Abiertos por Derecha [a; b) = a ≤ x < b Intervalos Abiertos por Izquierda (a; b] = a < x ≤ b

Longitud de un Intervalo: b – a Entornos

Entorno en un punto ‘a’ Conjuntos de puntos ‘x’ que pasa por una semi amplitud ‘E’ tal que |x – a | < E.

E (a, E) = {x/ a – E < x < a + E}

Entorno Reducido: Conjunto de puntos ‘x’ que pasan por una semi amplitud E cumpliendo que |x-a| < h o sea a – h < x < a + h, excluyendo el punto ‘a’. E*(a, h) = {x/ x ≠ a ^ a – h < x < a + h}

KOPPITO

1

LIMITES Limite Funcional

Permite apreciar de qué manera los valores de una función F(x) se aproxima a un número real determinado cuando los puntos del dominio se acercan a un punto ‘a’ que pertenece o no al dominio. Definición Una función y = F(x) tiende al límite ‘L’ cuando ‘x’ tiende al valor ‘a’. Si el valor absoluto de la diferencia entre F(x) – L puede hacerse tan pequeño como se quiera en las proximidades del punto x = a.

lim (𝐹(𝑥) = 𝐿) ↔ |𝐹(𝑥) − 𝐿| < 𝐸

𝑥→ 𝑎

Limites Laterales

Los valores de ‘x’ pueden tender al valor ‘a’ en forma creciente o decreciente denotándolos como límite izquierdo o derecho. Si ambos límites son iguales se los denomina como Limite de la Función. Notaciones

KOPPITO

lim (𝐹(𝑥) = 𝐿)



Limite Lateral Izquierdo:



Limite Lateral Derecho:

𝑥→ 𝑎−

lim (𝐹(𝑥) = 𝐿)

𝑥→ 𝑎+

2

Casos Especiales

lim (𝐹(𝑥) = ∞)

1) El valor del límite puede valer infinito. 𝑥→𝑎

lim (𝐹 (𝑥) = 𝐿)

2) La variable ‘x’ puede tender a infinito. 𝑥→∞ Propiedades de los limites

1) El límite de la suma algebraica de un número finito de funciones de la misma variable es igual a la suma de los límites de las funciones.

lim (𝑦 + 𝑧 + 𝑤) = lim 𝑦 + lim 𝑧 + lim 𝑤

2)

3)

4)

5)

𝒙→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

El límite del producto de un número finito de funciones es igual al producto de los límites de las funciones.

lim (𝑦. 𝑧. 𝑤) = lim 𝑦 . lim 𝑧. lim 𝑤

𝒙→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

lim 𝑦 𝑦 lim ( ) = 𝑥 → 𝑎 𝑥→𝑎 𝑧 lim 𝑧

𝑥→𝑎

El límite de un cociente de funciones es igual al límite de los mismos. 𝑥→𝑎

El límite de la suma de una constante y una función es igual a la suma de la constante más la función.

lim (𝑦(𝑥) + 𝐶) = lim ( 𝑦(𝑥) ) + 𝐶

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

El límite del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la función.

lim (𝑦(𝑥). 𝐶) = lim ( 𝑦(𝑥) ). 𝐶

𝑥→𝑎

KOPPITO

𝑥→𝑎

3

Límite de la función potencial

Sea y = xm donde m es entero:

1er Caso (x →

∞):

a) m > 0

lim (𝑥 𝑚 ) = ( lim 𝑥)𝑚 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

lim (𝑥 𝑚 ) = ( lim 𝑥)𝑚 = ∞

𝑥→∞

b) m < 0

𝑥→∞

lim (𝑥 𝑚 ) = ( lim 𝑥)𝑚 = 𝑥→∞

𝑥→∞

2do Caso (x → 0): a) m > 0

lim (𝑥 𝑚 ) = 0

𝑥→0 b) m < 0

Limites Notables

1)

lim

𝑥→0

lim (𝑥 𝑚 ) =

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥

=1

1

0

1 = 0 ∞𝑚

= ∞

Demostración:

lim 1 = 1

𝑥→0

lim cos(𝑥) = 1

𝑥→0

|𝑠𝑒𝑛(𝑥)| =1 𝑥→0 |𝑥|

.·.

lim

KOPPITO

4

2)

lim

𝑥→0

𝑡𝑔(𝑥) 𝑥

=1

Demostración:

cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) lim 𝑡𝑔(𝑥) = lim 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = lim 𝑥 . cos(𝑥) = 𝑥 𝑥 𝑥→0 𝑥→0 1 𝑥 → 0 1 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 1 lim = . lim = lim . 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 → 0 cos(𝑥) 𝑥 cos(𝑥) 𝑥 1 1 . lim = 1.1 = 1 𝑥 → 0 cos(𝑥) CONTINUIDAD Continuidad en un punto

Una función F(x) es continua en un punto X0 , cuando dado un número positivo ‘D’, por pequeño que sea este, es posible encontrar otro número positivo ‘E’, tal que para cualquier valor de ‘x’ comprendido en (X 0 – E; X0 + E), se verifica que el valor absoluto de la diferencia entre y = F(x) y y = F(x0) sea menor que D.

lim 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥0 ) = 𝐹( lim 𝑥)

Si una función y = F(x) es continua se verifica que: 𝑥→0

Discontinuidades

𝑥→0

Limites Laterales Iguales Primera Especie Limites Laterales Distintos Finitas

𝐹 𝑥0 ≠ lim 𝐹(𝑥) 𝑥→𝑥0

𝐹 𝑥0 = 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Falta el limite lateral izquierdo

Segunda Especia

Falta el limite lateral derecho Faltan ambos limites

KOPPITO

5

Ambos limites laterales son positivos Abos limites laterales son negativos Primera Especie Un limite es positivo y otro negativo Uno es igual a infinito y el otro es una constante

Infinitas

Falta el limite lateral izquierdo

Segunda Especia

Falta el limite lateral derecho El valor de F(x) varía entre infinito

DERIVADAS Derivada en un punto

La derivada en un punto x – x0 de una función F(x) es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) 𝛥𝑦 = lim 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥→0 𝛥𝑥 𝛥𝑥

𝐹 ′ (𝑥) = lim Función Derivada

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función, según cambie el valor de su variable independiente. Una función es derivable en un punto cuando admite en él una derivada única y finita. Función Derivable → Es continua

KOPPITO

6

Cálculo de Derivadas

1.

2.

3.

La derivada de una constante es nula.

𝛥𝑦 𝐹(𝑥) = 𝐶 ↔ 𝛥𝑥 = 𝛥𝑦 = 0 ↔ 𝛥𝑥 = 0 ↔ 𝑡𝑔(𝛼) = 0 La derivada de la variable independiente

𝛥𝑦 =1 𝛥𝑥 →0 𝛥𝑥

𝐹(𝑥) = 𝑥 ↔ 𝛥𝑥 = 𝛥𝑦 ↔ 𝐹′ (𝑥) = lim

La derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.

𝐹(𝑥) = 𝐶. 𝐺(𝑥)

𝐶. 𝐺 (𝛥𝑥 + 𝑥 ) − 𝐶. 𝐺(𝑥) 𝛥𝑥 →0 𝛥𝑥

𝐹 ′ (𝑥) = lim

𝐹 ′ (𝑥) = lim

𝛥𝑥 →0

𝐶. (𝐺(𝛥𝑥 + 𝑥 ) − 𝐺(𝑥)) 𝛥𝑥

𝐹 ′ (𝑥) = lim 𝐶 . lim 𝛥𝑥 →0

4.

5.

6.

KOPPITO

𝛥𝑥 →0

𝐺(𝛥𝑥 + 𝑥 ) − 𝐺 (𝑥) 𝛥𝑥

𝐹 ′ (𝑥) = 𝐶 . 𝐺′(𝑥)

La derivada de la función inversa de una función es igual a la recíproca de la derivada de la función.

𝑄(𝑥) = 𝐹−1 (𝑥) ↔ 𝑄 ′ (𝑥) =

1 𝐹′(𝑥)

La derivada de la suma algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma de las derivadas de las mismas.

𝑦 = 𝑈 (𝑥) + 𝑉(𝑥) [(𝛥𝑢 + 𝑢) − 𝑢] + [(𝛥𝑣 + 𝑣) − 𝑣] 𝑦 ′ = lim 𝛥𝑥 →0 𝛥𝑥 (𝛥𝑣 + 𝑣) − 𝑣 (𝛥𝑢 ) + 𝑢 − 𝑢 𝑦 ′ = lim + lim 𝛥𝑥 →0 𝛥𝑥 →0 𝛥𝑥 𝛥𝑥 ′ ′ (𝑥) ′ (𝑥) 𝑦 =𝑈 +𝑉

La derivada de un producto de dos funciones es igual a la suma de la derivada del primer factor por el segundo sin derivar más el primero sin derivar por el segundo derivado.

7

Derivadas de funciones elementales

𝛥𝑦

Función Logarítmica

𝛥𝑥

=

𝑦 ′ = 𝑈(𝑥) . 𝑉(𝑥) 𝑦 = 𝑈 ′ (𝑥). 𝑉(𝑥) + 𝑈 (𝑥). 𝑉(𝑥)

log 𝑎 (𝑥 + 𝛥𝑥) − log 𝑎 𝑥 𝛥𝑥

𝑥 + 𝛥𝑥 log 𝑎 ( 𝑥 ) = 𝛥𝑥 𝛥𝑥 𝛥𝑦

𝛥𝑦 𝛥𝑥 1 𝑥 . . log 𝑎 (1 + = ) 𝛥𝑥 𝑥 𝛥𝑥 𝑥 𝑥

𝛥𝑦 1 𝛥𝑥 𝛥𝑥 = . log 𝑎 (1 + ) 𝑥 𝛥𝑥 𝑥

𝑥

𝛥𝑥 𝛥𝑥 𝛥𝑦 1 lim = lim . lim (log 𝑎 (1 + ) ) 𝛥𝑥 →0 𝛥𝑥 𝛥𝑥 →0 𝑥 𝛥𝑥 →0 𝑥 𝑥

𝛥𝑥 𝛥𝑥 1 𝑦 ′ = . log 𝑎 ( lim (1 + ) ) 𝑥 →0 𝑥 𝑥

𝑦′ =

1 . log 𝑎 𝑒 𝑥

𝑦 = 𝑥𝑚 ln 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥 𝑚 ) 𝑦′ 1 =𝑚. 𝑥 𝑦 1 𝑦′ = 𝑚 . 𝑦 𝑥 1 𝑦′ = 𝑚 . . 𝑥 𝑚 𝑥 𝑦 ′ = 𝑚 . 𝑥 𝑚−1 Función Potencial

KOPPITO

8

𝑦 = 𝑎𝑥 𝑙𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛(𝑎 𝑥 ) 𝑙𝑛(𝑦) = 𝑥 𝑙𝑛(𝑎) 𝑦′ = 𝑙𝑛(𝑎) 𝑦 𝑦 ′ = 𝑙𝑛(𝑎). 𝑦 𝑦 ′ = 𝑙𝑛(𝑎). 𝑎 𝑥 Función Exponencial

𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦´ = lim 𝛥𝑥 →0 𝛥𝑥 (𝑥). 𝑠𝑒𝑛 cos(𝛥𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝛥𝑥). cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 ′ = lim 𝛥𝑥 →0 𝛥𝑥 (cos ( )) cos(𝑥). 𝑠𝑒𝑛(𝛥𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 𝛥𝑥 − 1 𝑦 ′ = lim + lim 𝛥𝑥 →0 𝛥𝑥 →0 𝛥𝑥 𝛥𝑥 𝑦 ′ = lim 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 0 + lim cos(𝑥) . 1 = cos(𝑥) Función Seno

𝛥𝑥 →0 Función Coseno

𝛥𝑥 →0

𝑦 = cos(𝑥) 𝜋 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 ( − 𝑥) 2 𝜋 ′ 𝑦 = cos ( − 𝑥) . (−1) 2 𝑦 ′ = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) cos(𝑥) . cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) 2 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) 1 ′ 𝑦 = = 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) Función Tangente

𝑦 = tan(𝑥) =

KOPPITO

9

DIFERENCIAL Diferencial de una función

El diferencial de una función F(x) = y se define como dy. La misma es igual a la derivada de la función F(x) por el incremento Δx de la variable.

Función Creciente o Decreciente

Analizamos que puede ocurrir a la izquierda y a la derecha del punto P, cuando la variable crece y decrece.

𝑑𝑦 = 𝑦 ′ . 𝛥𝑥

Signo Δx = Signo Δy → Función Creciente Signo Δx ≠ Signo Δy → Función Decreciente

KOPPITO

10

TEOREMAS DE LAS FUNCIONES DERIVABLES Teorema de Rolle

Se analiza analíticamente a izquierda y derecha de E Izquierda F (e) > F (e - h) F (e-h) – F (e) < 0

𝑭 (𝒆 − 𝒉) − 𝑭 (𝒄) −𝒉 F’(x) izquierda F (e + h) F (e + h) – F(e) < 0

𝑭 (𝒆 + 𝒉) − 𝑭 (𝒄) 𝒉 F’(x) derecha 0, dividiendo por b –a: 𝑚

𝑘=

KOPPITO

𝑏

∫𝑎 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝑏−𝑎

𝑎

≤

𝑏

∫𝑎 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝑏−𝑎

≤𝑀

es un número entre m y M → ∃c ϵ (a, b) / F(c) = k

15

Teorema fundamental del cálculo integral

Relaciona la integral definida con la integral indefinida. 𝑥

Si f es continua en [a, b], la función F(x) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 es derivable y su derivada F’(x0) en cualquier punto x0 ϵ [a, b] es f(x0). Esto significa que la derivada de la función integral es igual al valor que toma la función integrando en el extremo x0: F’(x0) = f(x0) Demostración Usamos la definición de derivada. Calculamos el cociente incremental

0 𝐹(𝑥) − 𝐹 (𝑥0 ) ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 − ∫𝑎 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑛 𝑎 < 𝑥0 < 𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥0

𝑥

𝑥

Por propiedad aditiva de la integral definida 𝑥

𝑥0

𝑥

𝑥

𝑥0

𝑥

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 → ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 − ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑎

𝑎

𝑥0

𝐹(𝑥) − 𝐹 (𝑥0 ) 𝑥 − 𝑥0

Por teorema medio del cálculo integral ∃𝑐 ∈ (𝑥0 , 𝑥) ⁄𝑓(𝑐) =

𝑥

=

𝑎

𝑎

𝑥

∫𝑥0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 − 𝑥0

𝑥0

𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑥0 ) 1 = 𝑓(𝑐), 𝑐𝑜𝑛 𝑥0 < 𝑐 < 𝑥 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 → 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 𝑥0

Calculamos ahora la derivada de F(x)

𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑥0 ) = lim 𝑓(𝑐) = lim 𝑓(𝑥) 𝑥 → 𝑥0 𝑥 → 𝑥0 𝑥 − 𝑥0

𝐹 ′ (𝑥0 ) = lim

𝑥 → 𝑥0

Cuando x → x0 , c→ x0. Como f es continua en [a, b] el

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓 (𝑥0 ) → 𝐹 ′ (𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0 )

𝑥 → 𝑥0

Regla de Barrow

Si f(x) es continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x), entonces: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐺 (𝑏) − 𝐺(𝑎) 𝑎

Demostración

Por ser G(x) una primitiva de f(x), ∀x: G’(x) = f(x). Si F(x) es la función integral, 𝑎

𝐹(𝑎) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 0, 𝑎

𝑏

𝐹(𝑏) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑎

Además, F’(x) = f(x), por lo tanto F(x) y G(x) son dos primitivos de f(x) y por una propiedad de las funciones primitivas difieren en una constante, es decir que ∃k / F(x) = G(x) + k. Como F(a) = 0, G(a) + k = 0 → k = -G(a). Por lo tanto: 𝑏

𝐹(𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐺 (𝑏) + 𝑘 = 𝐺 (𝑏) − 𝐺(𝑎) 𝑎

Para calcular la integral definida entre a y b basta con encontrar una primitiva cualquiera de f y restar los valores que toma en los extremos del intervalo.

KOPPITO

16...