Portal - Solución de los ejercicios 3. PDF

Preview

Summary

PROBLEMA Nº 1 Un fabricante de automóviles sabe que la distancia que recorre un determinado modelo con un litro de gasolina sigue una distribución normal. Al tomar una muestra aleatoria de 13 automóviles fabricados, calcula dicha distancia y obtiene una media de 16 km. y una desviación típica de 5 k...

Description

PROBLEMA Nº 1 Un fabricante de automóviles sabe que la distancia que recorre un determinado modelo con un litro de gasolina sigue una distribución normal. Al tomar una muestra aleatoria de 13 automóviles fabricados, calcula dicha distancia y obtiene una media de 16 km. y una desviación típica de 5 km. Calcule los intervalos de confianza para: a) la media, al 90 y 95% de confianza b) la varianza, al 90 y 95% de confianza SOLUCIÓN: X: "Distancia (en km.) que recorre un modelo de automóviles con 1 litro de gasolina" Se sabe que X → 1

,

2

, …,

( , )

: muestra aleatoria observada de X, con

13

16

y

5

a) Intervalos de confianza para µ al 90% y al 95%: Se basan en

→ /

Para 1

0,90

2

5 13

0,95 5 13

0,05 ⇒ 5   13 

; 16 1,782

12

 16 2,179 

2

0, 05

   2 

16 2,471; 16 2,471

5   13 

; 16 2,179

1

2

1,782 (Ver tabla de la t-Student)

0, 05

0,025 ⇒

0, 025

   

  con 

,

12

16 1,782   Para 1

  

1

12

0, 025

0,975

16 3,022; 16 3,022

13,529; 18,471

0, 025

2,179

12,978; 19,022

Vemos que a mayor nivel de confianza, mayor amplitud del intervalo y, por tanto, menor precisión. 2

b) Intervalos de confianza para Se basan en

(

1) 2

al 90% y al 95%:

2

→

2 1

2

 (   

1)

2

;

2 1, 1

2

(

2

1) 2 1,

2

    

Para 1

      

0,90 : 2

2 1

1, 1

2

2 1

1,

  1 2 2 

   2

2 12

2 12

2

2

Para 1

0,95

2

2 12; 0, 95

2 12;0 , 05

0,05

 12 52 12 52  ;    21,03 5,226 

0,95

2 12; 0, 95

2 12; 0, 05

21,03 (Ver tabla)

5,226

14,265; 57,405

 12 52 12 5 2  ; 2  2   12; 0, 975 12; 0, 025 

2 12

2 12;0, 975

0,975

2 12; 0, 975

23,34

2 12

2 12; 0, 025

0,025

2 12;0, 025

4,404

2

12 52 12 52  23,34 ; 4,404   

12,853; 68,120

De nuevo vemos que a mayor nivel de confianza, mayor amplitud del intervalo y, por tanto, menor precisión.

PROBLEMA Nº 2: Se conoce que el número de minutos de anuncios que se emiten cada día en una cadena de TV sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 5 minutos. Si al realizar la media del tiempo, en minutos, de los anuncios emitidos en una semana obtiene un valor 200: a) Calcule el intervalo de confianza de la media, con niveles de confianza del 90 y 95% b) Si hubiera obtenido la media anterior durante un mes (30 días) ¿cuáles serían los intervalos de confianza del apartado (a)? SOLUCIÓN: X: “Nº de minutos de anuncios en una cadena de TV” 1

,

2

,… ,

7

: muestra aleatoria observada de X, con

,5 200 min.

a) Intervalos de confianza para µ al 90% y al 95% Se basan en   

0, 1   

, 2

2

1

  200 

0,90 0 , 05

5 /2

7

, 200

0,10 0,95

/2

2 0 , 05

5   con 7

0,05

0,95 0, 025

0,05 0,975

2 0, 025

0, 05

0,05

1,645

 5 5  ; 200 1,645  200 1,645 7 7 

1

/2

/2

0,025

196,89; 203,11

0, 025

1,96

 5 5  ; 200 1,96   200 1,96 7 7 

196,30; 203,70

0,025

b) Para 1

0,90

1

0,95

30 (un mes)

 5 5  ; 200 1,645  198,50; 201,50 200 1,645 30 30    5 5  ; 200 1,96  198,21; 201,79 200 1,96 30 30  

Si n aumenta, la amplitud del intervalo disminuye y por tanto aumenta la precisión de la estimación.

PROBLEMA Nº 3 Un laboratorio de ingeniería genética está experimentando en un nuevo tipo de semilla y desea conocer su rendimiento del que se conoce que sigue una distribución normal. Para ello ha sembrado 10 parcelas de tierra con 1 kg. de semilla de la nueva variante, obteniendo los siguientes rendimientos: 28 29

30 38

34 20

25 31

27 32

Con un nivel de confianza del 95 y 99%, calcule los intervalos de confianza de la media (en kg.) y varianza del rendimiento. SOLUCIÓN:

,

X: “Rendimiento de cierto tipo de semilla” 10

Muestra con

∑ ∑

294 ⇒ 2

8864 ⇒

2

294 29,4 10 1 ∑ 2 1

⇒

2

1 8864 10 29,42 9

24,4848

4,95

Intervalos de confianza para µ:

  

, 2

2

  

 29,4 

4,95 /2

10

; 29,4

/2

0,025 0,025 ⇒ 0, 025 2,262 9 0, 025 2  4,95 4,95 ; 29,4 2,262 25,86; 32,94   29,4 2,262 10 10  

Para 1

0,95

Para 1

0,99

 29,4 3,250 

2 4,95 10

0,005 ; 29,4 3,250

9

0, 005

4,95   10 

0,005 ⇒

0, 005

24,31; 34,49

3,250

4,95   10

2

Intervalos de confianza para

2

Para 1  2  1   2  1 

 (   

0,95 :  2  1 1, 1 2 2   2  1,  2 2 

2

;

2 1, 1

2 9

0,99 :  2  1 1, 1 2 2   2  1,  2 2 

2 9; 0, 975

2 9; 0, 025

0,975

0,025

 9 4,95 2 9 4,952  ;   2,700   19,02

2 9

2 9

2

 2 2  9 4,95 9 4,95 ; 2  2  9, 1 2 9, 2 

 1) 2  2   1, 2 

(

2

2 9

2

Para 1  2  1   2  1 

1)

2 9 ;0, 995

2 9; 0, 005

0,995

0,005

 9 4,95 2 9 4,952  ;   1,735   23,59

2 9; 0, 975

2 9; 0, 025

    

19,02

2,700

11,59; 81,68

2 9 ;0, 995

2 9; 0, 005

23,59

1,735

9,35; 127,10

PROBLEMA Nº 4 Se sospecha que el porcentaje de productos defectuosos elaborado por una empresa es muy alto. Para analizar la calidad de su producción se ha elegido 100 productos al azar, de los cuales 12 son defectuosos. a) Proporcione un intervalo de confianza para el porcentaje de productos que elabora la empresa que son defectuosos (al 90% de confianza). b) Si se toma una muestra de 250 productos, de los cuales 30 son defectuosos, calcule el intervalo de confianza para el citado porcentaje, al 90% de confianza. c) ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación sea inferior al 1%? SOLUCIÓN: Intervalo de confianza para la proporción (n grande):  ˆ  1

a)

0,90;

100;

0,10;

ˆ

12 100

2

ˆ (1

ˆ)

;

ˆ (1

ˆ

2

2

0,05;

1,645 2

0,12

 0,12 0,88 0,12 0,88  ; 0,12 1,645 0,12 1,645  100 100   b)

250;

ˆ

30 250

ˆ)   

0,066; 0,173

6,6%; 17,3%

0,086; 0,154

8,6%; 15,4%

0,12

 0,12 0,88  0,12 0,88 ; 0,12 1,645 0,12 1,645  250  250 

Como el tamaño muestral es mayor, el intervalo tiene menor amplitud y la estimación es más precisa. c) El error cometido en la estimación de p es:

ˆ1 ˆ /2

La expresión ˆ 1 ˆ es máxima cuando ˆ 0,5 de modo que para que el error máximo cometido sea inferior a 0,01 el tamaño de la muestra debe ser el primer número natural que cumpla:

0,01 1,645 0,5 0,5 Es decir:

0,012

1,6452

0,5 0,5

De donde:

1,6452 0,5 0,5 0,012

6765,0625 ⇒ Tamaño muestral 6766

PROBLEMA Nº 5 Se afirma que una de las piezas de un motor, producidas por una Compañía, tiene un diámetro cuya varianza no es mayor que 0,0002 (las mediciones de los diámetros van expresadas en cm.). Una muestra aleatoria simple de 10 piezas reveló una varianza muestral de 0,0003. Suponiendo que el diámetro de las piezas está normalmente distribuido, ¿sería razonable sospechar que la afirmación anterior es falsa con un nivel de significación del 5%? SOLUCIÓN: X: “Diámetro (cm) de una de las piezas de un motor” Muestra de tamaño Afirmación: 0 1

2

:

2

0,0002

:

2

0,0002

10;

0,05 2

1 exp

2 2 1

2 0

9 0,0003 13,5 0,0002

Región crítica:

Como

0,0003;

no es mayor que 0,0002

Estadístico de prueba:

exp

2

2 exp

. .

2 9;0, 95

. . se acepta

;

0

16,92;

0,0002

,

PROBLEMA Nº 6 Para unas pruebas sanitarias, se miden los contenidos de nicotina de dos marcas independientes de cigarrillos. Se supone que el contenido en nicotina en ambas marcas sigue una distribución normal con desviaciones típicas 0,12 y 0,14 miligramos, respectivamente. Elegidas al azar dos muestras, una de cada marca, de tamaños 50 y 40, se obtiene que el contenido medio de nicotina es de 2,61 para la primera marca, y de 2,38 para la segunda. ¿Habría motivos para sostener que la primera marca tiene más de 0,2 miligramos de nicotina que la segunda a un nivel de significación del 5%? SOLUCIÓN: X: “Contenido en nicotina (mg) de la 1ª marca” Y: “Contenido en nicotina (mg) de la 2ª marca”

; 0,12 ; 0,14

Dos poblaciones normales con desviaciones típicas conocidas. 50;

2,61

40;

2,38

¿

0,2 a un nivel de significación 0

:

0,2

frente a

Estadístico de prueba:

2,61 2,38 0,2 exp

2

0,12 50

2

0,14 40

exp

0,03 0,0279

1

:

0,2 con 0

2

0,05?

2

0,05

0, 1

1,07553

Región crítica:

R.C. Como

1,645;

. . se acepta 0 y no podemos sostener que la primera marca tiene más de 0,2 mg de nicotina que la segunda. exp

PROBLEMA Nº 7 En un periódico se ha publicado que la cuota de mercado de una conocida cadena de restaurantes de comida rápida no supera el 30% de la clientela total de los restaurantes del mismo tipo. Sin embargo, el director de dicha cadena no está de acuerdo con esa afirmación. Para cerciorarse, se decidió realizar una encuesta entre 400 consumidores de comida rápida y se obtuvo que 140 eran clientes habituales de esa cadena. Utilizando los datos de esta encuesta y al 5% de significación, ¿debe aceptar el director los datos del periódico? SOLUCIÓN: : proporción poblacional de clientes de la cadena entre clientes totales del mismo tipo de restaurantes. 0

:

0,3

(Afirmación del periódico)

1

:

0,3

(Afirmación del director de la cadena)

400;

∑

140

⇒

ˆ

140 400

0,35

0,05

ˆ exp 0

0,35 0,3

0

1

Región Crítica: Como cierto.

exp

0,3 0,7 400

0

2,182

. .

2,182

1,645;

. . se rechaza

0

y por tanto el director de la cadena está en lo

PROBLEMA Nº 8 Una compañía aseguradora selecciona entre sus clientes una muestra aleatoria de varones y otra de mujeres, y hace un recuento del número de ellos que han presentado alguna reclamación a lo largo de estos tres últimos años, obteniendo los siguientes resultados:

Nº de personas en la muestra

Nº de personas que han presentado reclamación

Varones

400

76

Mujeres

900

90

a) Utilizando un nivel de significación del 5%, efectúa un contraste para determinar si el porcentaje de reclamaciones es diferente entre varones y mujeres. b) Construya un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de proporciones entre las dos poblaciones. SOLUCIÓN: a) Contraste de hipótesis: : proporción de reclamaciones de hombres : proporción de reclamaciones de mujeres 0

:

0

1

:

0 ˆ

ˆ

0, 1

exp

siendo ˆ

ˆ ˆ 76  0,19  400  90 900; ˆ 0,10  900  76 90 166 0,1277   400 900 1300 400;

ˆ

ˆ

0,19 0,10 exp

400 900 0,1277 0,8723 400 900

. .

; 1,96

4,49

1,96;

. . se rechaza

Como exp mujeres.

0

de que reclamen en igual proporción hombres y

b) Intervalo de confianza:

  ˆ 

ˆ

ˆ 1

ˆ 1

ˆ

/2

 0,19 0,81  0,19 0,10 1,96 400 

ˆ

;

ˆ

/2

 ⋯ 

 0,10 0,90 ; 0,19 0,10 1,96 ⋯ 900 

0,09 1,96 0,0220; 0,09 1,96 0,0220 0,04688; 0,13312

ˆ

4,7%; 13,3%

0,09 0,04312; 0,09 0,04312...