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Problemas de ejercicios 3...

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2354. Estadística para la Empresa II Grado en Administración y Dirección de Empresas Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa Universidad de Murcia Curso 2020/2021

Relación de problemas 3 Estimación puntual 1.-

Un estudio urbanístico afirma que el tamaño de las ciudades con más de 200.000 habitantes tiene 5a la siguiente función de densidad (en millones de habitantes): f(x)  si x>0,2 (0 en el resto).  5x a 1

El coeficiente a es una constante positiva básica para el cálculo de la concentración de la población en los municipios. Para su estimación se observa el tamaño de siete ciudades: 320.000, 540.000, 1.380.000, 710.000, 840.000, 2.730.000 y 450.000. Obtenga el estimador máximoverosímil y la estimación de acuerdo con la muestra seleccionada. 2.-

a) Demuestre que la media muestral es siempre un estimador insesgado de la media poblacional y que si la muestra es aleatoria simple, también es un estimador consistente. b) Demuestre que si se trabaja con mm.aa.ss., la cuasivarianza muestral es un estimador insesgado de la varianza poblacional pero que la varianza muestral sólo lo es asintóticamente. c) Demuestre que la cuasivarianza y la varianza muestrales son consistentes cuando la distribución poblacional es la normal.

3.-

Suponga una población N(,). Compruebe que si  es conocida, entonces X es el EMV de . Demuestre cuánto vale su esperanza y su varianza. Localice en la tabla correspondiente, la cota FCR para los estimadores insesgados de  en esta población. ¿Razone qué propiedades deseables en un estimador tiene la media muestral en este caso?

4.-

Suponga una población N(,). Compruebe que si  es un parámetro conocido, entonces

 X   

2

es el EMV de 2. Repita todo lo realizado en el problema anterior, pero aplicado n ahora a este otro problema de estimación. i

5.-

Una encuesta de n individuos elegidos al azar, pretende estimar la probabilidad de que una persona tenga una visión pesimista del futuro. A los individuos escogidos se les pregunta si su visión del futuro tiene tal cariz o no. ¿Con qué tipo de v.a. modelizaría los datos así recogidos? a) Demuestre que el estimador máximo-verosímil de la probabilidad a estimar, obtenido a partir de esa muestra, es la media muestral. Razone porqué, en esta población, ese estimador también coincide con la frecuencia empírica o tanto por uno de individuos en la encuesta que afirman tener una visión pesimista del futuro. b) Demuestre que el estimador obtenido es EIMVU. c) Finalmente estime la probabilidad descrita si en una muestra de 500 personas, 130 afirman sentirse pesimistas.

6.-

Considere una población B m,p  con m fija y conocida. Halle el estimador máximo verosímil de p para una m.a.s. de tamaño n. ¿Es el EMV eficiente para estimar el parámetro p?

7.-

El número de pedidos diarios recibidos en un almacén sigue una distribución de Poisson de parámetro .

RELACIÓN 3: ESTIMACIÓN

PUNTUAL

 1

2354. Estadística para la Empresa II. Grado en ADE. Curso 2020/21 Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa Universidad de Murcia

a) En 15 días escogidos aleatoriamente, los pedidos realizados fueron: 5, 5, 11, 2, 9, 7, 7, 6, 10, 8, 6, 7, 5, 7, 10. Obtenga la estimación máximo-verosímil de  en esa muestra. b) ¿Es ˆ MV un estimador de  insesgado y consistente? Explique intuitivamente qué conllevan esas propiedades para las estimaciones que se obtengan con ese estimador. c) ¿Es ˆMV eficiente? ¿Por qué es bueno que sea eficiente? d) ¿Puede obtener una distribución asintótica para puedan ser utilizados para ello. 8.-

ˆMV ? Enuncie diferentes resultados que

Un comerciante de electrodomésticos, antes de la posible ampliación de su establecimiento en una determinada zona, quiere estudiar la posibilidad de ventas que tienen sus artículos. Supuesto que las ventas semanales siguen una distribución normal, conteste a las siguientes cuestiones. a) Durante 5 semanas analiza las ventas realizadas por su comercio, llegando a los siguientes resultados en cientos de euros: 350, 270, 300, 330, 250. Obtenga las estimaciones por máxima verosimilitud de  y . b) Enuncie las propiedades asintóticas que poseen los estimadores de  y 2 utilizados en el apartado anterior por el hecho de ser e.m.v. Para cada una de las propiedades asintóticas que enuncie, determine si existe su contrapartida en muestra pequeña y si el estimador correspondiente también la cumple.

9.-

El tiempo de permanencia (en minutos) en un aparcamiento de 10 coches tomados al azar un día entre semana ha sido: 66, 10, 83, 32, 52, 45, 51, 87, 53, 21. Sabiendo que la estancia en el parking sigue una distribución exponencial de parámetro λ: a) Obtenga el estimador máximo-verosímil de λ, así como la estimación correspondiente a la realización muestral disponible. b) Usando los resultados del apartado anterior: b1) ¿Cuál será la probabilidad de que un coche esté más de una hora aparcado? b2) La gerencia del parking ha calculado que el beneficio que obtiene por cada minuto que un coche permanece aparcado es de 0,20€. ¿Cuál es el beneficio que puede esperar obtener por cada coche que use el aparcamiento? c) Sea T 

n 1 n 1 2 un estimador de . Si se sabe que T es EIMVU con varianza  , n 2 nX X i

entonces ¿es cierto que T es también un estimador eficiente?

10.-

Sea X    a,p  2 y X1,..., Xn una muestra aleatoria simple de tamaño n extraída de esa población. Conteste las siguientes preguntas, demostrando siempre su respuesta: a) Obtenga el estimador máximo-verosímil del parámetro a. b) Obtenga el estimador máximo-verosímil de 1/a. ¿Es consistente? ¿Es EIMVU?

11.-

Se analizan dos variables normales X e Y con medias distintas, X y Y respectivamente, y con la misma varianza, 2. Se toman sendas muestras aleatorias simples independientes entre sí, las dos de igual tamaño, X1,...,Xn e Y1,...,Yn. Con el fin de estimar la varianza poblacional se proponen los siguientes estimadores alternativos: Sc2  S2cY  (Xi  X)2  (Yi  Y)2 T1  X y T2  2 2n  1 Indique si cada uno de ellos es insesgado y cuál de los dos tiene menor varianza.

RELACIÓN 3: ESTIMACIÓN PUNTUAL  2

2354. Estadística para la Empresa II. Grado en ADE. Curso 2020/21 Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa Universidad de Murcia

Soluciones 1.-

aˆ 

n y la estimación con esta muestra (realización muestral del estimador) es 0,7352.  ln xi  nln 5

5.- El modelo de v.a. adecuado para la población es el de una b(p), siendo p la probabilidad de que una persona sea pesimista ante el futuro. b) El estimador es EIMVU porque es insesgado y su varianza es igual a la cota FCR para los

estimadores insesgados de p (ambas valen p(1p)/n). c) Dada la muestra disponible, el valor estimado para p es 130/500=0,26, esto es, se estima que hay un 26% de personas pesimistas en la población analizada. n

6.-

pˆ 

X i 1

nm

i



X . Sí, es eficiente (es insesgado y su varianza coincide con la cota de FCR para m

estimadores insesgados de p). 7.- a) ˆMV  X y la estimación máximo-verosímil de  es 7.

b) Sí.

c) El estimador es

eficiente porque es insesgado y su varianza coincide con la cota FCR para estimadores insesgados de .  d) Se distribuye asintóticamente N  , 

  . Esta distribución asintótica se deriva tanto de la n 

aplicación del Teorema Central del Límite a la media muestral como de las propiedades de cualquier e.m.v.

ˆ  X , ˆ = S y las estimaciones máximo-verosímiles son ˆ  300 y ˆ  36,88 8.- a)  b) Las propiedades asintóticas de los estimadores máximo-verosímiles, aplicadas al estimador de la



ˆ  X , indican que éste se distribuiría asintóticamente N , media, 



cota FCR=  2 n . El Lema de

Fisher-Cochran afirma que esa es la distribución para cualquier tamaño de muestra cuando la población es normal. En el caso del estimador de la varianza, ˆ2 =S2, la distribución asintótica correspondiente sería



2

N ,

4



cotaFCR=2 n , mientras que el Lema de Fisher-Cochran afirma que

nS 2 ~  2n 1 lo que 2

4 2  2 (n  1) 2 2(n  1) E  n2 1  implicaría que E(S 2 )  E   n2 1   y que Var(S 2 )  . 2 n n  n  n





Como conclusión, la media muestral como estimador de la media de una población “normal” es e.i.m.v.u., consistente y normal –o sea, notablemente más de lo que se puede decir en general de cualquier e.m.v –, mientras que la varianza muestral es asintóticamente insesgada, asintóticamente normal, consistente y sólo ‘asintóticamente’ eficiente –esto es, las propiedades generales que cualquier e.m.v. siempre cumple en cualquier población–.

RELACIÓN 3: ESTIMACIÓN PUNTUAL  3

2354. Estadística para la Empresa II. Grado en ADE. Curso 2020/21 Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa Universidad de Murcia

9.- a) ˆ MV  1 X y la estimación sería 0,02. b2) 0,3012 b2) 10€ c) No, porque su varianza no coincide con la cota FCR. Un estimador puede ser e.i.m.v.u. sin ser eficiente (recuerde que si se verifican las condiciones del teorema de la cota de FCR, la varianza de cualquier estimador insesgado, y en particular del e.i.m.v.u. si existe, será mayor o igual que la cota de FCR).

10.- a) El estimador máximo-verosímil de a es

2 . X

b) El estimador máximo-verosímil de 1/a es

X . Este estimador es consistente y EIMVU (por ser 2

eficiente).

 2 11.- T1 es insesgado y T2 lo es asintóticamente  E  T1      1 4 Además, V(T1)>V(T2)  V T1     n1 

V T2  

E  T2  

2n  2 2   . 2n  1 

4 n  1 

 4  . 2n  1  2

RELACIÓN 3: ESTIMACIÓN PUNTUAL  4...