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Potential und Potentialfunktion magnetischer Felder Zusammenfassung...

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Potential und Potentialfunktion magnetischer Felder Magnetische Felder existieren innerhalb und außerhalb stromdurchflossener Leiter sowie in der Umgebung von Permanentmagneten und zeitlich sich än-dernden elektrischen Feldern (Magnetfeld einer Verschiebungsstromdichte D ). Wir wollen hier den Begriff magnetisches Potential zunächst am Beispiel gleichstromerregter magnetostatischer Felder erläutern, so genanntes magne-tisches ˙

Skalarpotential ϕm .

Magnetisches Skalarpotential ϕm Ähnlich wie im elektrostatischen Feld wegen der Wirbelfreiheit rot E = 0 die Feldstärke E(r) mit einer skalaren Potentialfunktion ϕ(r) verknüpft ist (siehe Kapitel 4), kann man auch für wirbelfreie Gebiete magnetostatischer Felder H(r), in denen also rot H = 0 gilt, ein magnetisches Skalarpotential ϕm(r) de-finieren,

∫

ϕm(r) = − H(r) ⋅ dr + ϕm0 .

(5-1)

Das magnetische Skalarpotential besitzt die Dimension Ampere. In formaler Analogie zum elektrischen Feld berechnet sich dann die magne-tische Feldstärke als Gradient dieses Skalarpotentials.

H = − grad ϕm .

(5-2)

Das negative Vorzeichen ist willkürlich gewählt und dient lediglich zur Be-tonung der Analogie (siehe auch 4.1). Ein typisches Beispiel für ein wirbelfreies magnetostatisches Feld ist das Feld H(r) in der Umgebung eines gleichstromdurchflossenen Leiters, Bild 5.1.

Bild 5.1: Magnetostatisches Wirbelfeld H(r) in der Umgebung eines gleichstrom-durchflossenen Leiters. Im Definitionsbereich von H(r) (Menge der unabhängigen Variablen r, für die H(r) definiert ist, hier die Umgebung des Leiters), siehe auch Ka-pitel 7, gilt rot H( r ) = 0 , weil sich dort keine Ströme I bzw. Stromdichten J befinden.

Wegen rot H(r) = 0 und weil die Differentiation eines Skalarfelds ϕm(r) nach der Rechenvorschrift "grad" (siehe 4.1) und anschließend die Differentiation nach der Rechenvorschrift "rot" (siehe 3.3.1) mathematisch formal stets den Wert Null ergibt, das heißt rot grad ϕm = 0 , können wir Gleichung (5-2) for-mal herleiten. Wir stellen einen funktionellen Zusammenhang zwischen H(r) und ϕm(r) her, indem wir beide Gleichungen subtrahieren und erhalten rot H(r) − rot grad ϕm (r) = 0

(5-3)

bzw. rot ( H(r) − grad ϕm (r)) = 0 .

(5-4)

Die Anwendung des in Kapitel 7 erklärten Operators rot −1 auf Gleichung (5-4) ergibt

H(r) = grad ϕm(r) .

(5-5)

Das aus Analogiegründen zu E(r) = −grad ϕ(r ) häufig anzutreffende negative Vorzeichen auf der rechten Gleichungsseite können wir per definitionem hinzufügen. Zur Veranschaulichung des magnetischen Skalarpotentials berechnen wir ϕm(r) in der Umgebung eines stromführenden Leiters, Bild 5.2.

Bild 5.2: Stromdurchflossener Leiter mit senkrechter Sperrfläche zur Erzwingung der Eindeutigkeit des magnetischen Skalarpotentials.

In Zylinderkoordinaten wird ϕm(r) = ϕm (r, φ, z) und wegen der Rotations-symmetrie und der unendlichen Ausdehnung in z-Richtung ϕm(r) = ϕm (φ) . Wir ermitteln zunächst die magnetische Feldstärke in der Umgebung des Lei-ters durch Auswertung des Integrals der Wirbelstärke (siehe 3.1.2) längs ei-nes Umlaufs bzw. Umfangs 2 πr ,

∫ H ⋅ dr = H 2πr = I

.

(5-6)

Da H nur eine Komponente in Φ–Richtung hat, erhalten wir Hφ(r) = 2π

I r

.

(5-7)

Hieraus folgt mit (5-5) und A3

H = − grad ϕm = −

1 ∂ϕ m I r ∂φ aφ = 2π r aφ

(5-8)

bzw. −

∂ϕ m ∂φ

=2

I π

und nach Integration mit ∫∴ ∂φ

ϕm(φ) = − 2

I

πφ (5-9)

, wobei die Integrationskonstante identisch Null angenommen wird.

Beispielsweise besitzt auf der Sperrfläche durch die Bezugsebene φ= 0 den Wert Null, beim ϕm (φ) Fortschreiten um π/2 in der Ebene φ = π/2 den Wert I/4.

Wie im elektrostatischen Feld kann in Gleichung (5-1) ein ortsunabhängiges Bezugspotential ϕm0 willkürlich gewählt werden, jedoch ist beim magne-tostatischen Feld damit Eindeutigkeit noch nicht gewährleistet. Während im

elektrostatischen Feld magnetostatischen

Feld

immer gilt (Wegunabhängigkeit), gilt im ∫ E ⋅ dr = 0

beim

etwaigen

Umschließen

eines

stromführenden Leiters je nach Anzahl N der Umläufe ∫ H ⋅ dr = N I . Bei der Ermittlung der magnetischen Potentialdifferenz bzw. magnetischen Spannung zwischen zwei Punkten P(r1) und P(r2) mit der vom elektrostatischen Feld geläufigen Gleichung (siehe auch 4.2),

darf daher der Integrationsweg den Stromleiter nicht umschließen, da sonst die Voraussetzung "wirbelfreies Gebiet" nicht mehr erfüllt wäre, das heißt ∫ H ⋅ dr ≠ 0, und damit ϕ m nicht mehr eindeutig wäre. Die magnetische Span-nung Um12 = ϕm12 = ϕm1 − ϕm2 ist nur dann wegunabhängig, wenn durch die in Bild 5.2 eingeführte Sperrfläche dafür gesorgt wird, dass der Integrationsweg keinen Strom umschließen kann.

Die Integration längs des geschlossenen, fett gezeichneten und bepfeilten Wegs 1,2,3,1 in Bild 5.2 ergibt dank der Sperrfläche Wirbelfreiheit,

∫

H(r) ⋅ dr = 0 .

(5-11)

1,2,3,1

Die Integration längs eines den Strom umschließenden Wegs von 1 nach 2 ergibt die magnetische Spannung 2

∫1H(r) ⋅ dr = I

,

(5-12)

sofern 1 und 2 infinitesimal dicht nebeneinanderliegen. Wohlgemerkt handelt es sich beim magnetischen Skalarpotential nur um ei-nen mathematischen Formalismus ohne physikalischen Hintergrund. Die Gleichungen (5-2) und (5-5) implizieren formal die Existenz magnetischer Ladungen auf beiden Seiten der Sperrfläche und damit auch die formale Existenz eines "Quellenfeldes" HQ (r) , von dem wir bereits wissen, dass es physikalisch nicht existiert. Es macht daher auch keinen Sinn allein wegen der Existenz von (5-2) bzw. (5-5) nach physikalisch realen "magnetischen Ladungen" suchen zu wollen.

Eine typische Fragestellung, die mit dem magnetischen Skalarpotential gelöst werden kann, ist die Berechnung der Schirmwirkung ferromagnetischer Hül-len (beispielsweise Schirmgehäuse aus Stahl) gegen magnetische Gleichfel-der.

Potentialgleichung des magnetischen Skalarpotentials In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sich für das magnetische Ska-larpotential eine Potentialgleichung Δϕm = 0 in gleicher Weise herleiten lässt, wie Δϕ = 0 für das Skalarpotential eines elektrostatischen Felds. Generell gilt für Magnetfelder gemäß Abschnitt 3.3.4 div B = 0 .

(5-13)

Mit der Materialgleichung B = μH und H = −grad ϕm wird hieraus div μH = 0

div grad ϕm = 0

bzw.

.

(5-14)

Beispielsweise erhält man für ein Skalarfeld ϕm(x, y, z) in einem kartesischen Koordinatensystem als Ergebnis der Gradientenbildung zunächst grad ϕm (x, y, z) =

∂ϕm

ax+

∂ϕm

∂x

ay +

∂ϕm

∂y

az

(5-15)

∂z

Ermittelt man anschließend von diesem Vektorfeld die Divergenz nach der Rechenvorschrift von 3.3.4, ergibt sich schließlich die mit ϕ = 0 aus 4.4.1 formal übereinstimmende skalare Potentialgleichung 2

div grad ϕm =

∂ ϕm

2

2

∂ ϕ m ∂ ϕm + + 2 2 2 ∂x ∂y ∂z

=0 ,

(5-16)

abgekürzt, ϕm = 0 .

(5-17)

Für die Berechnung magnetischer Felder außerhalb von Stromleitern können daher die gleichen Methoden angewandt werden wie für elektrische Quellen-felder. Nach Integration von ϕm = 0, das heißt Lösen der Potentialgleichung für die vorliegenden Randbedingungen (die sich in der Regel von denen elektrostatischer Feldprobleme unterscheiden), gewinnt man gemäß (5-5) die magnetische Feldstärke durch Differentiation des Skalarpotentials.

Magnetisches Vektorpotential A Wie bereits erwähnt, versagt das magnetische Skalarpotential im Innern stromführender Leiter, beispielsweise bei der Berechnung von Abschirmun-gen gegen magnetische Wirbelfelder, ferner aber auch bei der Behandlung von Wellenproblemen, in denen die magnetische Wirkung von Verschie-bungsströmen außerhalb stromführender Leiter nicht vernachlässigt werden kann (siehe 7.1). Erfreulicherweise lässt sich neben dem magnetischen Ska-larpotential ϕm(r) ein magnetisches Vektorpotential A(r) definieren, das auch in stromführenden Gebieten anwendbar ist. (Ab hier kann A zwei Bedeutungen haben, Vektorpotential einerseits und Flächenvektor andererseits, die zu-treffende Interpretation geht aus dem Kontext hervor. Diese Überschneidung wird in der Feldtheorie bewusst in Kauf genommen).

Aufgrund der Quellenfreiheit magnetischer Wirbelfelder gilt div B = 0. Ferner ergibt die Differentiation gemäß div und rot sequentiell auf ein beliebiges Vektorfeld A angewandt mathematisch formal immer Null, das heißt, div rot A = 0 , (siehe auch A 3). Um einen funktionalen Zusammenhang zwi-schen den beiden Funktionen B(r) und A(r) herzustellen, subtrahieren wir beide Gleichungen (siehe auch 4.4) und erhalten

div B − div rot A = 0

(5-18)

bzw. div(B − rot A) = 0

Die Anwendung des in Kapitel 7 erklärten Operators div B = rot A

bzw.

. −1

(5-19)

führt auf

rot A = B .

(5-20)

Die magnetische Flussdichte B ist mit anderen Worten die Wirbeldichte von A. Das Wirbelfeld A nennt man magnetisches Vektorpotential. Die Differentialoperation div rot A = 0 leuchtet nicht nur formal, sondern auch anschaulich ein. Die Wirbeldichten rot A des magnetischen Vektorpo-tentials sind die Flussdichtelinien B des betrachteten magnetischen Feldes, von denen wir aus 3.3.4 wissen, dass sie in sich geschlossene Linien sind, Bild 5.3.

Bild 5.3: Veranschaulichung des Vektorpotentials A als Wirbelfeld mit der Wirbel-dichte rot A = B. Das Vektorfeld A ist B rechtswendig zugeordnet (Rechte-Hand-Regel ).

Bereits in 2.2 wurde festgestellt, dass die Wirbel bzw. Wirbeldichten von Wirbelfeldern ebenfalls geschlossene Röhren oder Linien sind, deren Diver-genz bekanntlich Null ist. Mit dieser Annahme nimmt die Divergenz der Wirbeldichte rot A des Wirbelfelds A wegen div B = 0 den Wert Null an, das heißt div rot A = div B = 0 . Das magnetische Vektorpotential A eines magne-tischen Wirbelfelds ist ebenfalls ein Wirbelfeld, seine Wirbel sind Flusslinien beziehungsweise –röhren, seine Wirbeldichten Flussdichtelinien B. Die Wir-belstärke des Vektorpotentials berechnet sich zu

∫

C

A ⋅ dr = φ

,

(5-21)

seine Wirbeldichte gemäß (5-20) zu rot A = B .

(5-22)

Um das Verständnis der rechten Seiten zu erleichtern, erinnern wir uns an das Induktionsgesetz in Integral- und Differentialform, (3.1.1, 3.3.1), E ⋅ dr = − d φ

∫

dt

bzw.

rot E = − ∂B

,

(5-23)

∂t

das man auch aus vorstehenden Gleichungen durch Differentiation nach der Zeit und Berücksichtigung des Zusammenhangs ∂A / ∂t = −EW (siehe 6.2.1) herleiten kann.

Auch beim magnetischen Vektorpotential stellt sich wieder die Frage nach seiner Eindeutigkeit. Ähnlich wie im elektrostatischen Feld verschiedene Skalarpotentialfunktionen ϕ(r) auf das gleiche Vektorfeld E(r) führen, * E(r) = −grad ϕ(r) = −grad (ϕ(r) + ϕ0 ) : = −grad ϕ (r)

,

(5-24)

existieren beim magnetischen Feld verschiedene Vektorpotentialfunktionen A(r), die auf das gleiche Feld der magnetischen Flussdichte B(r) führen, * B(r) = rot A(r) = rot (A(r) + A0 ) : = rot A (r)

,

(5-25)

weil auch hier bei der Differentiation ein ortsunabhängiger Anteil A0 ver-schwindet.

Es tritt aber nicht nur ein etwa konstantes, überlagertes Vektorpotential A0 nicht in Erscheinung, sondern auch ein etwaiges aus einem Skalarfeld abge-leitetes Vektorpotential AQ (r) = grad Ω(r) , da die Differentialoperationen rot und grad sequentiell auf eine beliebige skalare Potentialfunktion ange-wandt immer Null ergeben, rot grad Ω(r) = rot AQ (r) = 0 .

(5-26)

Es gilt also ** B(r) = rot A(r) = rot(A(r) + grad Ω(r)) : = rot A (r) .

(5-27)

Im allgemeinen Fall kann sich eine vektorielle Potentialfunktion A(r) in der Tat aus einem Wirbelfeld AW(r) und einem Quellenfeld AQ (r) = grad Ω(r) zusammensetzen (siehe 2.3), A(r) = A W (r) + AQ (r) = A W (r) + grad Ω(r)

.

(5-28)

Gehen wir hier davon aus, dass das magnetische Vektorpotential A(r) des magnetischen Wirbelfelds ein reines Wirbelfeld sein soll, Bild 5.1, können wir div A = 0 setzen (so genannte Coulomb-Eichung). Das heißt, es gibt kein Vektorfeld A Q(r) mit Quellencharakter, m.a.W. grad Ω(r) = 0 . Die Festle-

gung div A = 0 wird üblicherweise für statische und quasistatische Magnetfel-der benutzt, bei zeitlich schnell veränderlichen Feldern werden wir diese Wahl überdenken (siehe Kapitel 6). Abschließend befassen wir uns noch mit der Ermittlung des magnetischen Vektorpotentials aus einer gegebenen Strom- bzw. Stromdichteverteilung. Ähnlich wie im elektrischen Feld die Potentialfunktion einer Linienladung berechnet wurde, indem man zunächst den Beitrag eines infinitesimalen Li-nienelements dL bzw. einer Punktladung dQ ermittelte (siehe Gleichung (429) in 4.3 und 2.2), berechnet man im magnetischen Feld einer strom-führenden Leiterschleife zunächst den Beitrag dA(r) eines infinitesimalen Stromfadenelements dLq, Bild 5.4.

Bild 5.4: Berechnung des magnetischen Vektorpotentials einer Stromschleife. r: Feld-Ortsvektor; rq: Wirbelelement-Ortsvektor bzw. Integrationsvariable.

Das Vektorpotential des Leiterelements d L q im Punkt P(r) berechnet sich zu

dA(r) =

μ0IdLq 4π |r − rq |

.

(5-29)

Hier liegt die Versuchung nahe, eine Analogie zwischen dem Produkt Id L q und dem Produkt ρLdL q herzustellen. Der Vergleich hinkt insofern, als man sich eine infinitesimale Ladung dQ mit etwas gutem Willen sehr wohl vor-stellen kann, ein autarkes infinitesimales Stromelement jedoch nicht, da Ströme nur in geschlossenen Stromkreisen fließen (div JL = 0). Obige Glei-chung erscheint daher erst dann physikalisch plausibel, wenn man über ei-

nen geschlossenen Integrationsweg integriert, das heißt, die Beiträge aller Elemente dLq aufsummiert,

μ0IdLq

A(r) =

∫ q 4π |r − rq |.

(5-30)

L

Jetzt erhält auch eine Analogiebetrachtung mit dem Skalarpotential einer Li-nienladung eher Sinn,

ρ Ld L q ϕ(r) = L 4πε |r − r |

∫

q

q

.

(5-31)

Für flächenhaft verteilte Ströme (Strombeläge), gekennzeichnet durch ihre Flächenstromdichte K(rq), definiert man infinitesimale Flächenstrompro-dukte K(rq) dA q, für räumliche Stromverteilungen JL(rq) infinitesimale Volu-menstromprodukte JL(rq) dVq, wobei die Länge dLq des Stromelements je-weils in dA q bzw. dVq implizit enthalten ist,

μ 0 K(rq )dA q 4π |r − r |

∫

A(r) = A q

q

,

(5-32)

.

(5-33)

und

μ 0 J (rq )dVq 4π |r − r |

∫

A(r) = V q

q

Schließlich ist darauf hinzuweisen, dass beim Linienintegral in (5-30) der Vektorcharakter des Integranden in dLq zum Ausdruck gebracht wird, da der Strom seiner Natur nach ein Fluss, das heisst ein Skalar ist. In einem kartesischen Koordinatensystem berechnen sich die drei Kompo-nenten des magnetischen Vektorpotentials zu

Insgesamt sind also drei skalare Integrale auszuwerten. Die Gleichungen (5-30) bis (5-34) nennt man Poisson-Integrale (vergleiche Kapitel 4.4.3) bzw. Lösungen der vektoriellen Poisson-Gleichung A = J (sie-he Kapitel 5.4).

Die direkte Beziehung zwischen der magnetischen Feldstärke H(r) und der räumlichen Wirbeldichte J(r),

H(r) =

1

rot A(r) = rot μ

J(rq )

∫q

dV

4π |r − rq |

V

(5-35) ,

q

stellt eine verallgemeinerte Form des Biot-Savartschen Gesetzes dar, das den Zusammenhang zwischen H(r) und einem Stromfaden I eines geschlossenen Stromkreises beschreibt,

1 H(r) = μ rot A(r) = Cq

∫

I dL

q

× (r − r )

4π |r − r | q

3

q

=

∫Cq

I dL q × ar − r 4π |r − r |2 q

q

. (5-36)

wobei ar − rq den Einheitsvektor (r −rq )/| r −rq | darstellt (siehe auch Kapitel 1). Wegen der Herleitung von (5-36) wird auf Standardtextbücher verwiesen.

Potentialgleichung des magnetischen Vektorpotentials Neben der im vorigen Kapitel angedeuteten Berechnung des magnetischen Vektorpotentials aus einer gegebenen Strom- bzw. Stromdichteverteilung, lässt sich die vektorielle Potentialfunktion A(r) auch als Lösung einer vekto-riellen Potentialgleichung darstellen. Die Wirbeldichte des magnetischen Wirbelfelds ergibt sich gemäß 3.3.2. zu rot H = J .

(5-37)

Drückt man in dieser Gleichung H durch das magnetische Vektorpotential aus,

B = μH = rot A

bzw.

1rot A μ

H=

,

(5-38)

so erhält man rot rot A = μJ .

(5-39)

Bei der klassischen Herleitung der Potentialgleichung muss der Leser beweis-los akzeptieren, dass die zweimalige sequentielle Anwendung der Differen-tiationsregel rot auf ein beliebiges Vektorfeld X(x,y,z) zum gleichen Ausdruck führt wie die Differenz der Divergenzbildung mit anschließender Gradien-tenermittlung und der Anwendung des Laplace-Operators. Es gilt allgemein in einem kartesischen Koordinatensystem die Vektoridentität (A 3)

rot rot X = grad div X −

X .

(5-40)

Mit diesem Wissen kann man für (5-39) schreiben

grad div A −

A = μJ .

(5-41)

Unter der bereits im vorigen Abschnitt gemachten Voraussetzung, dass die Wirbel eines Wirbelfelds selbst wieder geschlossene Linien sind und etwaige Quellen, die einen zusätzlichen Beitrag zum magnetischen Vektorpotential leisten könnten, nicht vorhanden sind, gilt div A = 0 . Damit vereinfacht sich aber obige Gleichung zur Poisson-Vektorpotentialgleichung des magneti-schen Vektorpotentials

A = −μJ .

(5-42)

Allgemein führt die Anwendung des Laplace-Operators auf ein Vektorfeld wieder auf ein Vektorfeld. Der Leser erkennt die formale Analogie zwischen (5-42) und der skalaren Potentialgleichung des skalaren Potentials eines quellenbehafteten elektri-schen Felds (Poisson-Gleichung, siehe Kapitel 4.4.2)

ρ ε

Δϕ= −

.

(5-43)

Die Vektordifferentialgleichung A = –μJ lässt sich in drei einfache, skalare Potentialgleichungen für je eine der drei Koordinaten zerlegen, A x = −μJx A y = −μJy Az = −μJz

.

(5-44)

Jede der drei Gleichungen stellt formal eine skalare Poisson-Gleichung dar. Für nichtkartesische Koordinaten ist eine Zerlegung auch möglich, jedoch aufwändiger (siehe A 3). Beschränken wir uns auf eine zweidimensionale Geometrie, das heißt, ein ebenes Problem, beispielsweise einen in z-Richtung unendlich ausgedehnten Stromleiter, reduziert sich die Potentialgleichung des magnetischen Vektor-potentials auf die Komponente A z. Für ein kartesisches Koordinatensystem erhalten wir beispielsweise

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