Top12-Klausuraufgaben - Elektrische und magnetische Felder PDF

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Die wichtigsten Klausuraufgaben im Überblick. Für eine optimale Klausurvorbereitung...

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Klausuraufgaben mit ausführlichen Lösungen zur Prüfungsleistung

„Grundlagen der Elektrotechnik: Elektrische und magnetische Felder“

Aufgabenteil „Elektrostatik“

Aufgabe 1 – 1 – Kondensatornetzwerk Gegeben ist das Netzwerk nach Abbildung 1 (oben) mit einer Stromquelle und den zunächst ladungsfreien Kondensatoren. Für die Zustände der Schalter gilt die in Abbildung 1 (unten) abgebildete Tabelle. Es gilt: ฀฀q = 1 mA, ฀฀1 = 60 μF, ฀฀2 = 30 μF, ฀฀3 = ฀฀4 = 20 μF und ฀฀1 = ฀฀2 = 1 kΩ.

Abbildung 1: Netzwerk mit Kondensatoren (oben) und Zustandstabelle der Schalter (unten)

a)

Berechnen Sie die Spannungen ฀฀1 (฀ ฀ = 20 s) und ฀฀2 (฀ ฀ = 20 s)!

b) Berechnen Sie die Spannungen ฀฀2 (฀ ฀ = ∞), ฀฀3 (฀ ฀ = ∞) und ฀฀4 (฀ ฀ = ∞)!

c)

Berechnen Sie die in den Widerständen ฀฀1 und ฀฀2 umgesetzten Energien ฀฀1 und ฀฀2 für 0 < ฀ ฀ < ∞!

1

Lösung 1.1: In Reihe geschaltete Kondensatoren, können zu einer Gesamtkapazität zusammengefasst werden. Dazu wird folgende Berechnungsvorschrift genutzt: 1 1 =� ฀฀res ฀฀฀฀ ฀

฀

Die Gesamtkapazität ฀฀res ist kleiner als die kleinste Einzelkapazität ฀฀฀฀ . Alle Kondensatoren in einer Reihenschaltung tragen die gleiche Ladung ฀฀. Zur Bestimmung der Spannung, die an jedem in Reihe geschalteten Kondensator anliegt, gilt die kapazitive Spannungsteilerregel: ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀ ฀ ฀฀฀฀

Bei Parallelschaltungen von Kondensatoren werden diese folgendermaßen zu einer Gesamtkapazität zusammengefasst: ฀฀฀฀฀฀฀฀ = � ฀฀฀฀ ฀

฀

Da es sich um eine Parallelschaltung handelt, liegt an allen Kondensatoren die gleiche Spannung an. Die Ladung auf den einzelnen Kondensatoren lässt sich mit Hilfe der kapazitiven Ladungsteilerregel bestimmen: ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ = ฀฀฀ ฀ ฀฀฀฀

a) Aufgrund der Schalterstellungen kann das Netzwerk in verschiedene Zeitbereiche unterteilt werden. Die einzelnen Zeitbereiche werden im Folgenden untersucht.

Für ฀ ฀ < 0: Schalter ฀฀1 ist geschlossen, Schalter ฀฀2 ist geöffnet und Schalter ฀฀3 ist ebenfalls geöffnet. Dann sieht das Netzwerk wie in Abbildung 2 dargestellt aus.

Iq

Abbildung 2: Das gesamte relevante Netzwerk für t < 0

Der Strom ฀฀q fließt über den Kurzschluss und somit nicht in die Kondensatoren. Somit wird kein Kondensator aufgeladen.

2

Für 0 < ฀฀ ≤ 20 s: Schalter ฀฀1 ist jetzt geöffnet und kein Strom fließt durch den linken Leiter. Schalter ฀฀2 ist geschlossen und Schalter S3 ist geöffnet. Das relevante Netzwerk für diesen Zeitbereich ist in Abbildung 3 dargestellt.

R1 Iq C1

U1

C2

U2

Abbildung 3: Das gesamte relevante Netzwerk für 0 < t ≤ 20 s

Das Netzwerk enthält die zwei in Reihe geschalteten Kondensatoren ฀฀1 und ฀฀2 . Durch beide Kondensatoren fließt der Strom ฀฀q . Der Strom lädt die Kondensatoren somit auf die Ladungen ฀฀1 bzw. ฀฀2 auf. Da es sich um eine Reihenschaltung handelt, liegt auf allen Kondensatoren die gleiche Ladung vor. Der Ladungsdurchsatz, mit dem die Kondensatoren aufgeladen werden, berechnet sich zu: ฀฀

฀฀฀฀ (฀฀) = � ฀฀(฀฀) d฀฀

20 ฀฀

฀฀0

฀ ฀ = ฀฀1 = ฀฀2 = � ฀฀฀฀ d฀฀ = 1 ฀฀฀฀ ∙ (20 s − 0 s) = 20 mC 0

Die beiden Kondensatoren sind zu Beginn ungeladen, also gilt:

฀฀1 (฀ ฀ = 0 s) = ฀฀2 (฀ ฀ = 0 s) = 0 C

฀฀1 (฀ ฀ = 20 s) = ฀฀2 (฀ ฀ = 20 s) = 0 C + 20 mC = 20 mC Die Kapazität eines Kondensators ist die Proportionalitätskonstante zwischen der Spannung und der Ladung: ฀฀ ฀฀= ฀฀

Daraus lassen sich nun die gesuchten Spannungen berechnet werden: ฀฀1 (฀ ฀ = 20 ฀฀) =

฀฀2 (฀ ฀ = 20 ฀฀) =

฀฀1 (฀ ฀ = 20 s)20 mC 1000 V = = 3 60 μF ฀฀1 ฀฀2 (฀ ฀ = 20 s)20 mC 2000 = = V 30 μF ฀฀2 3

3

b)

Für 20 s < ฀ ฀ < ∞: Schalter ฀฀1 ist geschlossen, Schalter ฀฀2 ist geöffnet und Schalter ฀฀3 ist geschlossen. Das resultierende Netzwerk ist in Abbildung 4 dargestellt.

M Uges

C2

C3

U3

C4

U4

Abbildung 4: Das gesamte relevante Netzwerk für ฀฀ → ∞

Man erkennt hier, dass nach sehr langer Zeit (für ฀฀ → ∞) alle Ausgleichsvorgänge abgeschlossen sein müssen und kein Strom im Netzwerk fließt. Sobald kein Strom mehr fließt, kann über ohmschen Widerständen keine Spannung mehr abfallen. Daraus folgt, dass Widerstände im Netzwerk beim Aufstellen einer Maschengleichung nicht betrachtet werden müssen.

Der Kondensator ฀฀2 ist durch die Stromquelle zuvor aufgeladen worden. Die Spannung ฀฀2 (฀ ฀ = 20 ฀฀) und die Ladung ฀฀2 (฀ ฀ = 20 ฀฀ ) wurden in Aufgabenteil a) berechnet. Die Kondensatoren ฀฀3 und ฀฀4 sind in Reihe geschaltet und parallel zu ฀฀2 geschaltet (Parallelschaltung aufgrund der Bezugsrichtung der Spannungen). Die Ladung innerhalb des Netzwerks muss aufgrund des Ladungserhaltungssatzes gleichbleiben. Die Gesamtladung ฀฀ges im Netzwerk für ฀฀ → ∞ ist somit:

฀฀ges = ฀฀2 (฀ ฀ = 20 ฀฀) = ฀฀ges ∙ ฀฀ges = 20 mC

Mit den anfangs erwähnten Berechnungsvorschriften kann nun die Gesamtkapazität ฀฀ges des Netzwerks berechnet werden 1 1 −1 1 −1 1 ฀฀ges = ฀฀2 + � + � = 30 μF + � � = 30 μF + 10 μF = 40 μF + 20 μF 20 μF ฀฀3 ฀฀4 ฀฀ges =

฀฀ges 20 mC = 500 V = ฀฀ges 40 μF

Mit Hilfe der Masche M wird die Maschengleichung aufgestellt: Die Spannung ฀฀2 (฀฀ → ∞) entspricht ฀฀ges :

M:

฀฀ges = ฀฀3 + ฀฀4

฀฀2 (฀฀ → ∞) = ฀฀ges = 500 V

Da beide Kondensatoren die gleiche Kapazität besitzen, liegt an den beiden die gleiche Spannung an: ฀฀3 = ฀฀4

฀฀฀฀฀฀฀฀ = 2 ∙ ฀฀3

฀฀3 (฀฀ → ∞) =

฀฀4 (฀฀ → ∞) =

4

฀฀ges = 250 V 2

฀฀ges = 250 V 2

c)

Im dritten Aufgabenteil sollen die umgesetzten Energien in beiden Widerständen ฀฀1 und ฀฀2 berechnen werden.

Für ฀฀1 : Der Strom ฀฀q fließt durch ฀฀1 für 20 s zum Zeitraum 0 < ฀฀ ≤ 20 s. Zu allen anderen Zeitpunkten fließt kein Strom durch ฀฀1 . Die Energie berechnet sich zu: ฀฀2

฀ ฀ = � ฀฀d฀฀

Die elektrische Leistung berechnet sich folgendermaßen:

Mit dem Ohm’schen Gesetz

berechnet sich die Leistung an einem Widerstand zu: 20 ฀฀

฀฀1 = �

0

฀฀1

฀ ฀ = ฀฀ ∙ ฀฀

฀ ฀ = ฀฀ ∙ ฀฀

฀ ฀ = ฀฀ 2 ∙ ฀฀

฀฀�2 ฀฀ d฀฀= (1 mA)2 ∙ 1 kΩ ∙ (20 s − 0) = 0,02 J

=฀฀฀฀ 2฀฀1

Für ฀฀2 : Im Widerstand ฀฀2 fließt ein Strom von ฀ ฀ = 20 s bis ฀฀ → ∞ aufgrund des Ladungsausgleiches der Kondensatoren. Dieser Strom ist nicht konstant und ist mit den bisher gelehrten Inhalten nicht analytisch zu bestimmen. Der Alternativweg zur Bestimmung der umgesetzten Energie ist die Nutzung des Energieerhaltungssatzes. Dazu wird die Gesamtenergie der Kondensatoren zum Zeitpunkt ฀ ฀ = 20 s und zum Zeitpunkt ฀฀ → ∞ betrachtet und die Differenz gebildet. Die Differenz der Energie muss im Widerstand ฀฀2 umgesetzt worden sein.

Der Energieinhalt eines Kondensators kann folgendermaßen bestimmt werden: 1 ฀ ฀ = ฀฀ ∙ ฀฀ 2

฀ ฀ = ฀฀ ∙ ฀฀

1 ฀ ฀ = ฀฀ ∙ ฀฀ 2 2

Zum Zeitpunkt ฀ ฀ = 20 s ist nur der Kondensator ฀฀2 geladen: ฀฀2,vor =

2000 2 20 1 1 2 ∙ ฀฀2 ∙ �฀฀2 (฀ ฀ = 20 s)� = ∙ 30 μF ∙ � V� = J 2 2 3 3

Zum Zeitpunkt ฀฀ → ∞ sind alle Kondensatoren geladen. Anstatt die Energie jedes Kondensators zu berechnen und einzeln zu addieren, kann die Energie ฀฀2,nach auch über die Gesamtspannung ฀฀ges berechnet werden: ฀฀2,nach =

1 1 ∙ ฀฀ges ∙ ฀฀ges 2 = ∙ 40 μF ∙ (500 V)2 = 5 J 2 2

Durch den Energieerhaltungssatz berechnet sich ฀฀2 nun zu:

฀฀2 = ฀฀2,vor − ฀฀2,nach =

20 5 �J J − 5 J = J = 1, 6 3 3

5

Aufgabe 1 – 2 – Ladungsanordnung Gegeben ist die Anordnung einer Punktladung und zweier Linienladungen jeweils der Länge b gemäß Abbildung 5. Im ฀฀ gesamten Raum gilt: ฀ ฀ = ฀฀0 . Es gilt außerdem: ฀ ฀ = . Die Größen ฀฀ und ฀฀ sind gegeben. Hinweis: ∫

฀฀d฀฀

3

(฀฀฀฀2 +฀฀ 2 )� 2

=

฀฀

฀฀

฀฀฀฀�฀฀฀฀2 +฀฀ 2

Abbildung 5: Ladungsanordnung

a)

� im Punkt P(0,b,0) in Abhängigkeit von den Bestimmen Sie die y-Komponente der elektrischen Feldstärke ฀฀ gegebenen Größen!

� im Punkt P(0,b,0)! b) Bestimmen Sie die x-Komponente und die z-Komponente der elektrischen Feldstärke ฀฀ Begründen Sie ihre Antwort! c)

Bestimmen Sie die Kraft ฀฀ auf die Punktladung ฀฀ in Abhängigkeit von den gegebenen Größen!

6

Lösung 1.2: In der Aufgabenstellung ist nach der elektrischen Feldstärke im Punkt P gefragt. Dabei haben wir eine Ladungsanordnung aus zwei Linienladungen ฀฀ und einer Punktladung ฀฀ vorliegen. Bei Ladungsanordnungen sollte vor der Berechnung der geforderten Feldstärken geprüft werden, ob Symmetrien vorliegen, die die Aufgabe und den Rechenaufwand vereinfachen. Dazu wird überlegt, welche einzelnen E-Felder von den Ladungsträgern erzeugt werden. Das elektrische Feld berechnet sich allgemein nach dem Coulomb-Integral: �฀฀ � =

฀฀฀฀ 1 � 2 ฀฀ 4฀ ฀ ฀฀ ฀

฀

Der Einheitsvektor ฀฀ zeigt von der Ladung zum Aufpunkt P und besitzt die Länge 1. Es empfiehlt sich die Rechnung mit dem Abstandsvektor: ฀฀ =

Das Coulomb-Integral lässt sich dann beschreiben durch:

฀฀ ฀฀ = |฀฀ | ฀฀

�� = ฀฀

4฀ ฀ 1

฀

�

฀฀฀฀ ฀฀ ฀฀ 3 ฀

a) Elektrische Felder sind superpositionierbar. Dazu wird die Summe der einzelnen elektrischen Flussdichten der Linienladungen gebildet: �� ฀฀l + �฀฀฀฀r = ฀฀ Für die rechte Linienladung ist der Abstandsvektor:

Für die linke Linienladung ist der Abstandsvektor:

d฀฀ 1 ฀฀ �+ 4฀฀฀l฀ ฀฀฀฀r3

1 d฀฀ � 4฀ ฀ ฀฀฀฀l 3 ฀

฀

฀

฀

฀฀฀฀r

−฀฀ ฀฀฀฀r = � ฀฀ � ฀ ฀

฀฀฀฀r = �2฀฀ 2 + ฀฀ 2 ฀฀ ฀฀฀฀l = � ฀฀ � −฀฀

฀฀฀฀l = �2฀฀ 2 + ฀฀ 2

In der Aufgabenstellung ist nach der y-Komponente der elektrischen Feldstärke im Punkt P gefragt. Die Linienladungen besitzen die gleiche Länge und dieselbe Linienladungsdichte. Dabei sind sie symmetrisch zur y-Achse angeordnet. Beide Linienladungsdichten werden somit den gleichen Beitrag zur y-Komponente liefern. Somit wird nur die rechte Linienladung betrachtet und mit 2 multipliziert. Somit gilt: 1 d฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀,฀ ฀ = 2฀฀฀฀฀฀,฀ ฀ = 2 ∙ � 4฀ ฀ ฀฀฀฀r3 ฀

7

฀

฀฀฀฀฀฀ ∙ ฀฀฀฀

Die Symmetrie soll mit Hilfe von Abbildung 6 verdeutlicht werden. Wird jeder Punkt einer Linienladung einzeln betrachtet, so gibt es einen Spiegelpunkt auf der anderen Linienladung symmetrisch zum Ursprung. In der Abbildung ist als Beispiel der äußerste Punkt der Linienladung gewählt worden und die Abstandvektoren durch die einzelnen x-, y- und z-Komponenten dargestellt. Die y-Komponente ist dabei für beide Linienladung von Betrag und Ausrichtung gleich groß. Somit kann die zuvor berechnete Vereinfachung zur Bestimmung der elektrischen Flussdichte durch die Linienladungen genutzt werden. y

P

b

-b

λ

-b

b

X

λ

b

z

Q

-b

Abbildung 6: Abstandvektoren zwischen Linienladungen und Aufpunkt

Bei einer Linienladung gilt im Coulomb-Integral:

d฀ ฀ = ฀฀d฀฀

Die Linienladung λ über seine gesamte Länge entlang des Wegelements d฀฀ integriert. Da die Linienladungen in z-Richtung ausgerichtet sind, gilt: d฀ ฀ = d฀฀

Die zuvor berechnete Vereinfachung lässt sich nun ausdrücken als:

−฀฀ 2 ฀฀d฀฀ ฀฀d฀฀ 1 � ∙ ฀฀฀ ฀ = � � ฀฀฀฀฀฀฀฀,฀ ฀ = 2฀฀฀฀฀฀,฀ ฀ = 2 � 3 ฀฀ 4฀ ฀ �√2฀฀ 2 + ฀฀ 2 � 4฀ ฀ (√2฀฀ 2 + ฀฀ 2 )3 ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀

∙ ฀฀

Nun gilt es noch die Integralgrenzen festzulegen. Das Wegelement ist positiv definiert worden. Es wird somit über die gesamte Linienladung in positive z-Richtung, also von –b bis 0, integriert: 0

฀฀d฀฀ 2 � ฀฀฀฀฀฀฀฀,฀ ฀ = ∙ ฀฀ 4฀ ฀ (√2฀฀ 2 + ฀฀ 2 )3 ฀฀฀฀฀฀฀฀,฀

−฀฀

฀

0

฀฀ ฀฀ d฀฀ = � 2฀ ฀ (√2฀฀ 2 + ฀฀ 2 )3 −฀฀

8

Nun kann der in der Aufgabenstellung gegebene Integrationshinweis genutzt werden: ฀฀d฀฀ ฀฀ 2 � (฀฀฀฀2 + ฀฀ 2 )3 2 ฀฀฀฀ √฀฀฀฀ + ฀฀ 2 = �

mit

฀฀= � ฀฀, ฀ ฀ = � 2, ฀ ฀ = � ฀฀

Nach Integration erhält man:

0 ฀฀ ฀฀ � ฀฀฀฀฀฀฀฀,฀ ฀ = ∙ � 2฀ ฀ 2฀฀ ∙ √2฀฀ 2 + ฀฀ 2 −฀฀

0 −฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ − ฀฀฀฀฀฀฀฀,฀ ฀ = ∙ � � ∙� 2 �= 2฀ ฀ 2฀฀ ∙ √2฀฀ 2 + 02 2฀฀ ∙ �2฀฀ 2 + (−฀฀)2 2฀ ฀ 2฀฀ ∙ √3 ฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀,฀ ฀ = 4 ∙ √3 ∙ ฀฀฀฀

Die y-Komponente der elektrischen Flussdichte durch beide Linienladungen wurde nun bestimmt. Um die elektrische Feldstärke aus der elektrischen Flussdichte zu berechnen, gilt folgender Zusammenhang: � = ฀฀

�� � ฀฀ ฀฀ = ฀฀0 ฀฀฀ ฀ ฀ ฀

Laut Aufgabenstellung beträgt die Permittivität im gesamten Raum ฀ ฀ = ฀฀0 . Somit berechnet sich die elektrische Feldstärke im Punkt P, erzeugt durch die beiden Linienladungen, zu:

Mit der gegebenen Linienladung ฀ ฀ =฀฀ ergibt sich: ฀฀

฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀,฀ ฀ = 4 ∙ √3 ∙ ฀฀0 ฀฀฀฀

฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀,฀ ฀ = 4 ∙ √3 ∙ ฀฀0 ฀฀฀฀ 2

Nachdem die y-Komponente der elektrischen Feldstärke durch beide Linienladungen bestimmt wurde, muss nun die elektrische Feldstärke durch die Punktladung ฀฀ berechnet werden. Eine Punktladung erzeugt ein Radialfeld nach der Gleichung: ฀฀ �฀฀ � ฀ ฀ = ∙ ฀฀ 4฀฀฀฀ 2

Auch bei dieser Gleichung wird der Einheitsvektor ฀฀ durch den Abstandsvektor ฀฀ ersetzt: Mit:

฀฀ �� ฀ ฀ = ฀฀ ∙ ฀฀ 4฀฀฀฀ 3 0 ฀฀ = � 2฀฀� 0

฀ ฀ = 2฀฀

Die elektrische Flussdichte im Punkt P durch die Punktladung hervorgerufen ergibt sich somit zu: ฀฀ ∙ 2฀฀ ฀฀ ��฀ ฀ = ∙ ฀฀฀฀ ∙ ฀฀ = ฀฀ 4฀฀(2฀฀)3 ฀ ฀ 16฀฀฀฀ 2

9

Daraus folgt die elektrische Feldstärke:

฀฀�

฀ ฀

฀฀ = 16 ∙ ฀฀0 ฀฀฀฀ 2 ∙ ฀฀฀฀

฀฀฀฀,฀ ฀ =

฀฀ 16 ∙ ฀฀0 ฀฀฀฀ 2

Die resultierende elektrische Feldstärke im Punkt P erhält man durch Überlagerung der berechneten elektrischen Feldstärken: ฀฀P,฀ ฀ = ฀฀฀฀฀฀฀฀,฀ ฀ + ฀฀฀฀,฀฀

฀฀ ฀฀ ฀฀P,฀ ฀ = + 2 2 16 ∙ ฀฀ 4 ∙ √3 ∙ ฀฀0 ฀฀฀฀ 0 ฀฀฀฀ 1 ฀฀ 1 ฀฀P,฀ ฀ = � + �∙ 2 ฀฀ 0 ฀฀฀฀ 4 ∙ √3 16

b) Die Punktladung erzeugt wie bereits berechnet nur eine y-Komponente des elektrischen Feldes. Durch die Symmetrie der beiden Linienladungen besitzen diese ebenfalls keine x- bzw. z-Komponente. Zu erkennen ist dies auch in Abbildung 6 durch die jeweils einander entgegenwirkenden Vektoren in x- und –z-Richtung. Somit gilt: ฀฀P,฀ ฀ = ฀฀P,฀ ฀ = 0

c) Die Kraft auf eine Punktladung im elektrischen Feld berechnet sich mit der Coulombkraft:  ฀฀ = ฀฀ ∙ �฀฀

Die y-Komponente der elektrischen Feldstärke ฀฀฀฀฀฀฀฀,฀฀ im Punkt P hervorgerufen durch die beiden Linienladungen wurde bereits in Aufgabenteil a) bestimmt: ฀฀ ฀฀฀฀฀฀฀฀,฀฀ (P) = 4 ∙ √3 ∙ ฀฀0 ฀฀฀฀ 2

0 Die Punktladung Q liegt allerdings bei P฀ ฀ = �−฀฀�. Da die gleiche Symmetrie und der betragsmäßig gleiche Abstand 0 vorliegt, nur in entgegengesetzte Richtung, ändert sich lediglich das Vorzeichen: ฀฀฀฀฀฀฀฀,฀฀ �P ฀฀ � = −

Die Kraft auf die Punktladung ergibt sich somit zu: ฀฀ = ฀฀ ∙ �−

฀฀

฀฀

4 ∙ √3 ∙ ฀฀0 ฀฀฀฀ 2

฀฀ 2 ∙ �−฀฀฀฀ � ∙ ฀฀฀฀ � = ฀฀0 4฀฀฀฀ 2 √3 ฀฀0 4฀฀฀฀ 2 √3

Da sowohl die Punktladung als auch die Linienladungen positiv sind, stoßen diese sich folglich ab.

10

Aufgabe 1 – 3 – Permittivitätsgrenzschicht Die Anordnung nach Abbildung 7 besteht aus zwei Gebieten unterschiedlicher Permittivität. Die elektrische Feldstärke im �1 = ฀฀0 ∙ ฀฀฀฀ . Die geometrische Größe a, sowie ฀฀0 sind gegeben. Es gilt: ฀฀1 = 2฀฀2 . Gebiet 1 beträgt ฀฀

Abbildung 7: Permittivitätsgrenzschicht

Abbildung 8: Lösungsfeld

a)

2 im Gebiet 2 in Abhängigkeit von den gegebenen Bestimmen Sie mathematisch die elektrische Feldstärke �฀฀ Größen!

b) Skizzieren Sie das Feldbild im Lösungsfeld in Abbildung 8! Verwenden Sie als Maßstab 1฀฀0 = � 4 Kästchen!

c)

Bestimmen Sie die Spannung ฀฀12 zwischen den Punkten ฀฀1 und ฀฀2 in Abhängigkeit von den gegebenen Größen!

11

Lösung 1.3: An ladungsfreien Grenzflächen unterschiedlicher Permittivität brechen sich elektrische Felder nach dem Brechungsgesetz: tan ฀฀1

tan ฀฀2

฀฀1 =฀฀2

Die Normalkomponente der elektrischen Flussdichte an ladungsfreien Grenzflächen ändert sich dabei nicht: ฀฀฀฀1 = ฀฀฀฀2

Dasselbe gilt für die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes an der Grenzfläche: ฀฀฀฀1 = ฀฀฀฀2

a)

Die Normalkomponente ist dabei senkrecht zur Grenzfläche zwischen beiden Stoffen definiert und die Tangentialkomponente parallel zur Grenzfläche. In Abbildung 9 werden die Normal- und Tangentialrichtungen durch die Einheitsvektoren ฀฀฀฀ und ฀฀฀฀ definiert. �1 in positive x-Richtung gegeben. Sie sollte in zwei Komponenten zerlegt werden, eine Die elektrische Feldstärke ฀฀ Normalkomponente ฀฀฀฀1 und eine Tangentialkomponente ฀฀฀฀1 : ฀฀฀฀1 = ฀฀0 ∙ cos 45° =

฀฀0

√2

฀฀0 ฀฀฀฀1 = ฀฀0 ∙ sin 45° = √2

Da die Tangentialkomponente des E-Feldes auf die beiden Seiten der Grenzfläche gleich groß ist, gilt: ฀฀0 ฀฀฀฀2 = ฀฀฀฀1 = √2

Auch die Normalkomponente des D-Feldes ist in beiden Stoffen gleich groß. Das D-Feld berechnet sich zu: � = ฀฀฀฀ � ฀฀

Somit ergibt sich: ฀฀฀฀2

฀฀฀฀1 = ฀฀฀฀2 ฀฀1 ∙ ฀฀฀฀1 = ฀฀2 ∙ ฀฀฀฀2 ฀฀1 2 ∙ ฀฀2 ฀฀0 = ∙ ฀฀฀฀1 = ∙ = √2 ∙ ฀฀0 ฀฀2 √2 ฀฀2

Die gesamte elektrische Feldstärke im Gebiet 2 ergibt sich somit zu:

�2 = ฀฀฀฀2 ∙ ฀฀฀ ฀ + ฀฀฀฀2 ∙ ฀฀฀฀ ฀฀

Das elektrische Feld ist nun für die Normal- und Tangentialkomponente bestimmt. In der Aufgabenstellung ist jedoch ein �2 in Abhängigkeit von der x- und y-Komponente anzugeben wird Koordinatensystem gegeben. Um ฀฀ Koordinatentransformation durchgeführt: 1 1 ฀ ฀ − ∙ ฀฀฀฀ = ฀฀฀ ฀ = |฀฀฀฀ | ∙ cos 45° ∙ ฀฀฀ ฀ − |฀฀฀฀ | ∙ sin 45° ∙ ฀฀฀ ∙฀ ฀฀ √2 √2 1 1 ฀฀฀ ฀ = |฀฀฀฀ | ∙ cos 45° ∙ ฀฀฀ ฀ + |฀฀฀฀ | ∙ sin 45° ∙ ฀฀฀ ฀ ∙ = ฀฀฀ ฀ + ∙ ฀฀฀฀ √2 √2

12

�2 zu bestimmen: Mit Hilfe dieser Transformation ist es nun möglich die elektrische Feldstärke ฀฀ � ฀฀ ฀฀0 ฀฀0∙ ฀฀฀ ฀ + ฀฀0 ∙ ฀฀฀ ฀ + ฀฀0 ∙ ฀฀฀฀ 2 = ฀฀฀฀2 ∙ ฀฀฀ ฀ + ฀฀฀฀2 ∙3฀฀฀ ฀ =∙ ฀฀  −2 �฀฀ 2 = ∙ ฀฀20 ∙ ฀฀฀฀ ฀฀ + ∙1฀฀0 ∙ ฀฀฀฀ 2

2

b) Aus Aufgabenteil a) sind die Normal- und Tangentialkomponenten der beiden elektrischen Felder bekannt und können in entsprechende Vektoren über den Umrechnungsfaktor 1฀฀0 = � 4 Kästchen bestimmt werden: ฀฀฀฀1 =

฀฀0

√2 ฀฀0

(= � 2.83 Kästchen)

(= � 2,83 Kästchen) √2 ฀฀0 ฀฀฀฀2 = (= � 2.83 Kästchen) √2 ฀฀฀฀2 = √2 ∙ ฀฀0 (= � 5,66 Kästchen) ฀฀฀฀1 =

�2 zu erhalten, werden die beiden Vektor ฀฀ � ฀฀2 und �฀฀฀฀2 vektoriell addiert. Abbildung 9 zeigt die gesamte Lösung Um den Vektor ฀฀ mit allen berechneten Vektoren und den entsprechenden Vektoradditionen:

45°

ε1

45°

E1

ε2

y x Abbildung 9: Feldbild an Grenzfläche

c) Im elektrostatischen Feld ist die Spannung U zwischen zwei Punkten nicht wegabhängig, sondern hängt nur von der Lage des Anfangs- und Endpunkts ab. Somit berechnet sich die Spannung zu: ฀฀12 = � ฀฀� d฀฀ ฀฀12

Aus der Definiti...