Practica 4 Laboratorio de Análisis de Circuitos Eléctricos: Escalamiento de impedancia y de frecuencia PDF

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Manual de prácticas delLaboratorio de Análisis deCircuitos Eléctricos.Código: MADO- 64Versión: 01Página 46/Sección ISO 8.Fecha deemisión2 de febrero de 2018Facultad de IngenieríaÁrea/Departamento:Laboratorio de Circuitos EléctricosLa impresión de este documento es una copia no controladaEscalamiento...

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Manual de prácticas del Laboratorio de Análisis de Circuitos Eléctricos.

Facultad de Ingeniería

Código: MADO-64 Versión: 01 Página 46/96 Sección ISO 8.3 Fecha de 2 de febrero de 2018 emisión Área/Departamento: Laboratorio de Circuitos Eléctricos

La impresión de este documento es una copia no controlada

Escalamiento de Impedancia y de Frecuencia

N° de práctica: 04

Nombre completo del alumno

Firma

Coxtinica Clemente Noelia Yadira Tamayo Guzmán Evander N° de brigada: 1

Fecha de elaboración: 26 de julio de 2021

Grupo: 5

Objetivos



Introducción a los teoremas de escalamiento de impedancia y de frecuencia.



Familiarizar al estudiante con la aplicación en la práctica de dichos teoremas.



Estimar la importancia de tales teoremas en el diseño y síntesis de los sistemas o filtros eléctricos

Introducción El escalamiento consiste en técnicas en las cuales se modifican los componentes de un circuito para obtener la misma función de transferencia. En esta práctica se abordará el estudio del escalamiento en impedancia y frecuencia. Escalamiento en impedancia. En este caso, el objetivo es cambiar el valor de los componentes mediante un factor. Con los nuevos valores se obtiene la misma función de transferencia, en magnitud y ángulo.

C , donde ki es el factor de escalamiento. ki Escalamiento en frecuencia. De manera similar, se busca mantener la misma función de transferencia, mientras se cambia la frecuencia del sistema. Esto se logra de nueva manera con un factor de escalamiento. R′ = ki R ; L′ = ki L ; C′ =

ω1L1 = ω2 L 2 ; ω1C1 = ω2C2 , donde k f =

ω1 ω2

Los resistores no cambian la fase del sistema. Es importante recalcar que sólo e posible en funciones de transferencia de voltajes y corrientes.

EXPERIMENTO I. Construya el circuito eléctrico que se muestra en la figura 2.

Si 𝑣𝑠 (𝑡) = 𝐴𝑚 sin(1000𝜋𝑡)[𝑉 ] a) ¿Cuál es la magnitud de |𝐻(𝑗100𝜋)| =

|𝑉0 | |𝑉𝑠 |

?

Tomando el osciloscopio obtenemos los siguientes datos

El cual nos muestra datos redondeados en los valores de voltaje pp. Sin el redondeo tenemos 𝑣𝑠𝑝𝑝 = 1.98 [𝑉] y 𝑣𝑜𝑝𝑝 = 1.52 [𝑉]. Realizando la siguiente operación: |𝑉0 | |1.52| = |𝑉𝑠 | |1.98| |𝐻(𝑗100𝜋)| = 0.76767[𝑉 ]

|𝐻(𝑗100𝜋)| =

b) Mida el ángulo de desfase entre 𝑉0 y 𝑉𝑠 , es decir:

∡𝐻(𝑗1000𝜋) = ∡𝑉𝑜 − ∡𝑉𝑠 Para calcular el ángulo observamos el osciloscopio en donde tenemos:

4u mide el periodo

0.5u de desfase

Entonces realizando la siguiente operación obtenemos el ángulo de desfase 4𝑢 = 360° 0.5𝑢 = 𝜙 𝜙=

0.5𝑢(360°) 4𝑢

𝜙 = 45° c) Si se desea que las resistencias de circuito eléctrico de la figura 2 tengan un valor de 10𝑘Ω . Determine el valor que deben tener las capacitancias para que la función de transferencia no se modifique. Para calcular el valor de la capacitancia, primero calculamos el factor de escalamiento de la siguiente manera, tomando en cuenta que 𝑅𝑖 = 1𝑘Ω y 𝑅𝑓 = 10𝑘Ω, aplicando la siguiente expresión: 𝑅𝑓 10𝑘Ω 𝑘𝑧 = = ⟹ 𝑘𝑧 = 10 𝑅𝑖 1𝑘Ω 𝐶

Ahora sustituimos el factor calculado en la siguiente expresión 𝐶𝑓 = 𝑘 𝑖 𝑧

𝐶1 =

0.1 [𝜇𝐹] 10

𝐶1 = 0.01 [𝜇𝐹]

𝐶2 =

0.1 [𝜇𝐹] 10

𝐶2 = 0.01 [𝜇𝐹]

Es así que el circuito original presenta la siguiente modificación

Podemos ver que el escalamiento no modifica las señales como se muestra en el osciloscopio. Experimento 1.a

Experimento 1.b

EXPERIMENTO II. Construya el circuito eléctrico que se muestra en la figura 3.

a) Determine los valores de las capacitancias de 𝐶1 y 𝐶2 para que |𝑉 | cuando 𝑣𝑠 (𝑡) = 𝐴𝑚 sin(2000𝜋𝑡)[𝑉], la magnitud de |𝐻(𝑗2000𝜋)| = |𝑉0| y el 𝑠

ángulo de desfase ∡𝐻(𝑗2000𝜋) = ∡𝑉𝑜 − ∡𝑉 sean iguales a los que se tienen en el experimento I. Lo primero que debemos hacer es calcular 𝜔1 y 𝜔2 , de la siguiente manera. Experimento 1

𝑣𝑠 (𝑡) = 𝐴𝑚 sin(1000𝜋𝑡)[𝑉 ] 𝜔1 𝜔1 1000𝜋 𝑓1 = = = 500 2𝜋 2𝜋

Experimento 2

𝑣𝑠 (𝑡) = 𝐴𝑚 sin(2000𝜋𝑡)[𝑉] 𝜔2 𝜔2 2000𝜋 = 1000 𝑓2 = = 2𝜋 2𝜋 Después calculamos el factor de escalamiento, considerando que 𝜔𝑓 = 1000 y 𝜔𝑓 = 500, de la siguiente manera. 𝜔𝑓 1000 = ⟹ 𝑘𝜔 = 2 𝑘𝜔 = 500 𝜔𝑖 𝐶 Ahora sustituimos el factor calculado en la siguiente expresión 𝐶𝑓 = 𝑘 𝑖 𝜔

𝐶1 =

0.1 [𝜇𝐹] 2

𝐶1 = 0.05 [𝜇𝐹]

𝐶2 =

0.1 [𝜇𝐹] 2

𝐶2 = 0.05 [𝜇𝐹]

Es así que el circuito original presenta la siguiente modificación en el Experimento II

Podemos ver que el escalamiento no modifica las señales como se muestra en el osciloscopio. Experimento I

Experimento II

EXPERIMENTO III. Construya el circuito eléctrico que se muestra en la figura 4.

Donde 𝑣𝑜 (𝑡) = 𝐴𝑚 sin(500𝜋𝑡)[𝑉] a) Si 𝐶1 = 𝐶2 = 0.02 [𝜇𝐹] ¿Cuáles son los valores de las resistencias 𝑅1 y 𝑅2 para que |𝐻(𝑗500𝜋)| y ∡𝐻(𝑗500𝜋) sean idénticos a los que se tienen en el experimento? Para calcular la resistencia, consideramos los siguientes datos y expresiones: 𝐶𝑖 … (1) 𝐶 = 𝑓 𝜔𝑖 = 500; este resultado se 𝐶𝑖 = 0.1 [𝜇𝐹] 𝐾𝜔 𝐾𝑧 obtuvo en el Experimento II 𝐶𝑓 = 0.02 [𝜇𝐹] 𝑅𝑓 = 𝐾𝑧 𝑅𝑖 … (2) 𝜔𝑓 𝑅𝑖 = 1𝑘Ω … (3) 𝐾𝜔 = 𝜔𝑖 Utilizamos la ecuación (1), sin embargo hay un dato faltante para aplicar la expresión, siendo este 𝐾𝜔 , es por ello que calculamos la variable con la expresión (3) de la siguiente manera Experimento 3

Tenemos que 𝐾𝜔 es

𝑣𝑜 (𝑡) = 𝐴𝑚 sin(500𝜋𝑡)[𝑉] 𝜔 𝜔 500𝜋 = = 250 𝜔f = 2𝜋 2𝜋

250 𝜔𝑓 = ⟹ 𝐾𝜔 = 0.5 𝜔𝑖 500 Una vez que tenemos 𝐾𝜔 , tomamos la expresión (1), despejando a 𝐾𝑧 y sustituyendo los valores correspondientes. 0.1 [𝜇𝐹] 𝐶𝑖 𝐶𝑖 = ⟹ 𝐾𝑧 = 𝐶𝑓 = 𝐶𝑓 𝐾𝜔 (0.02 [𝜇𝐹])(0.5) 𝐾𝜔 𝐾𝑧 𝐾𝜔 =

𝐾𝑧 = 10 Finalmente tomamos la ecuación 2 y sustituimos con los valores correspondientes. 𝑅𝑓 = 𝐾𝑧 𝑅𝑖 = (10)(1𝑘Ω) ⟹ 𝑅𝑓 = 10𝑘Ω

Es así que el circuito original presenta la siguiente modificación en el Experimento III

Podemos ver que el escalamiento no modifica las señales como se muestra en el osciloscopio.

Experimento I

Experimento III

CONCLUSIONES Coxtinica Clemente Noelia Yadira En la práctica se pudo observar la utilidad del escalamiento de impedancia y frecuencia, la cual nos ayuda a escalar los valores de un circuito (en este caso valores enteros) ya sea de valores pequeños o grandes esto con la finalidad de conseguir algunos recursos fácilmente de manera comercial por ejemplo. A través de los ejercicios se pudo notar la relación de los valores que en algunos casos son proporcionales a su cambio esto puede variar, ya que podemos tener un valor pequeño que al modificar (según lo que se solicite) puede aumentar o disminuir su valor aplicando las ecuaciones que se observaron en la práctica.

Tamayo Guzmán Evander Al término de la práctica fue posible comprobar y comprender los teoremas de escalamiento en impedancia y en frecuencia. Mediante el simulador Multisim fue posible observar el impacto de estas técnicas de manera práctica y gráfica. También se pudo comparar el trabajo de la práctica con su equivalente teórico. Fue posible comprender la importancia de los teoremas en el ámbito del diseño y planeación de los circuitos. Estas técnicas con una herramienta importante, al diseñar, construir o modificar un circuito.

Cuestionario previo 1. Demuestre la ecuación (13).

y(t) = | H( j ω) | sin(ωt + ∢H( j ω)) x (t ) = sin(ω t ) y(t) = H(ωj )x (t) . . . (1) Transformando x (t):

1 jωt −jωt (e − e ) . . . (2) 2j Sustituyendo (2) en (1): x (t ) = sin(ω t ) =

y(t) = M( jω)

y(t) =

1 jωt e − e −jωt) ] [ 2j (

H(−jω) −jωt H( jω) jωt (e ) − (e ) . . . (3) 2j 2j

Respuesta en frecuencia:

H ( jω) = | H ( jω) | e j∢( jω) . . . (4) Sustituyendo (4) en (3):

y(t) =

| H( jω) | −j∢( jω) | H( jω) | j∢( jω) jωt −jωt (e ) (e ) − (e ) (e ) 2j 2j

y(t) =

H( jω) | j[ωt+∢( jω)] − e −j[ωt+∢( jω)]) (e 2j

Utilizando la relación de Euler:

y(t) = | H( j ω) | sin(ωt + ∢( j ω)) , donde : H( jω) = H(−jω) ⇒ par ∢( jω) = − ∢(−jω) ⇒ impar

2. Demuestre que si la función transferencia de una red eléctrica es la razón de una corriente de rama y una corriente de una fuente independiente de entrada, al multiplicar todas las resistencias y las inductancias por una constante k y al dividir todas las capacitancias por la misma constante, tal función de transferencia no se modifica. Divisor de corriente I1 =

Ie(ZC2 + ZR2 + ZL2) ZC2 + ZR2 + ZL2 + ZC1 + ZR2 + ZL2

Función de transferencia de corrientes:

I1 Ie

=

ZC2 + ZR2 + ZL2 j ; donde: ZC = − ; ZL = jωL y ZR = R ZC2 + ZR2 + ZL2 + ZC1 + ZR1 + ZL1 ωL j

R2 + jωL 2 − ωC I1 2 = j Ie R2 + R1 + jωL1 + jωL 2 − ωC − 2

j ωC1

Con una constante ki :

Divisor de corriente I1 =

Ie(ZC2 + ZR2 + ZL2) ZC2 + ZR2 + ZL2 + ZC1 + ZR2 + ZL2

jk i ZC2 + ZR2 + ZL2 I1 = ; donde ZC = − ; ZL = jωki L y ZR = ki R ZC2 + ZR2 + ZL2 + ZC1 + ZR1 + ZL1 Ie ωL jk

ki R2 + jω ki L 2 − ωCi

I1 2 = jk j Ie ki R2 + ki R1 + jωki L1 + jωki L 2 − ωCi − ωC 2

1

Factorizando:

ki [R2 + jωL 2 − ωC ] I1 2 = j j Ie ki [R2 + R1 + jωL 2 + jωL1 − ωC − ωC ] 2 1 j

j

R2 + jωL 2 − ωC I1 2 = j Ie R2 + R1 + jωL 2 + jωL1 − ωC − 2

j ωC1

Se puede observar que ambas funciones son iguales. 3. ¿Qué sucede si la salida es una corriente eléctrica y la entrada es un voltaje?.

Por ley de Ohm:

I1 =

Ve ZR1 + ZL1 + ZC1

1 I1 j = ; donde ZR = R ; ZL = jωL y ZC = − ωC Ve ZR1 + ZL1 + ZC1

1 I1 = Ve R1 + jωL1 −

j ωC1

Con una constante ki : Por ley de Ohm:

I1 =

I1 Ve

=

Ve ZR1 + ZL1 + ZC1

jk 1 ; donde ZR = Rki ; ZL = jωki L y ZC = − i ZR1 + ZL1 + ZC1 ωC

1 I1 = Ve R1ki + jωki L1 − 1 I1 = Ve ki [R1 + jωL1 −

jki ωC1

j ωC1 ]

En este caso las funciones de transferencia no son iguales. Este caso solo se da cuando se trata de funciones de transferencia de voltajes y corrientes. Mientras que para las funciones de impedancia y admitancia la constante kipermanece.

1 [Hz ]. π Si se desea que el filtro eléctrico presente las mismas características de magnitud y 10 fase a la frecuencia central de f0 = [K Hz ] y con C = 10ηF. Determine los π nuevos valores de R y L que se deben emplear.

4. En la figura 5, se presenta un filtro paso banda, con frecuencia central f0 =

Primero se calcula la constante k f para modificar la frecuencia:

kf =

1/π 1 f = ⇒ k f = f′ 10/ π x103 10x10−3

C′ = k f C =

1 1 ⇒ C′ = 25 [μF ] 10x103 ( 4 )

Ahora para determinar la constante para obtener el capacitor deseado:

C′ =

25x10−6 C C = ⇒ ∴ ki = 2.5x103 ⇒ C′ 10x10−9 ki

Valores de R′ y L′:

R′ = ki R = (2.5x103)(6/10) ⇒ R′ = 1.5 [k Ω] L′ = ki k f L = (2.5x103)

1 (1) ⇒ L′ = 250 [m H ] (10x103 )...