Practica MAS - Resolución de ejercicios de problemas de M.A.S PDF

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLOFacultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería MecatrónicaFísica II – PRÁCTICA M.ADOCENTE:Vásquez Diaz José NolbertoINTEGRANTES:Asmat Córdova Fernando JoséTrujillo, Perú2021PRÁCTICA DE PROBLEMAS1. Un péndulo de longitud L y masa M tiene un resorte con constante de fuerza...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecatrónica Física II – PRÁCTICA M.A.S

DOCENTE:

Vásquez Diaz José Nolberto INTEGRANTES:

Asmat Córdova Fernando José

Trujillo, Perú 2021

Física II

PRÁCTICA DE PROBLEMAS 1. Un péndulo de longitud L y masa M tiene un resorte con constante de fuerza k conectado a él a una distancia h bajo su punto de suspensión (figura). Encuentre la frecuencia de vibración del sistema para pequeños valores de la amplitud (θ pequeño). Suponga que la barra de suspensión vertical de longitud L es rígida, pero ignore su masa.

Solución: Haciendo el diagrama de cuerpo libre:

Sabemos que:

𝜃

∑ 𝜏 = 𝐼𝛼

∑ 𝜏 = 𝑀𝐿2 𝛼

𝜃

∑ 𝜏 = 𝑀𝐿2 (−𝜔2 𝜃)

−𝑀𝑔𝐿 sen 𝜃 − 𝑘𝑥ℎ cos 𝜃 = 𝑀𝐿2 (−𝜔2 𝜃) 𝑀𝑔𝐿 sen 𝜃 + 𝑘𝑥ℎ cos 𝜃 = 𝑀𝐿2 𝜔2 𝜃

𝜃

Cuando el ángulo tiene un tamaño muy pequeño sen 𝜃 = 𝜃 ,

cos 𝜃 = 1 ,

𝑥 = ℎ𝜃

𝑀𝑔

𝐾𝑥

𝐾𝑥 cos 𝜃 𝑀𝑔 sen 𝜃 ocurre:

𝑀𝑔𝐿(𝜃) + 𝑘(ℎ𝜃)ℎ(1) = 𝑀𝐿2 𝜔2 𝜃 𝑀𝑔𝐿𝜃 + 𝑘ℎ2 𝜃 = 𝑀𝐿2 𝜔2 𝜃 𝑀𝑔𝐿 + 𝑘ℎ2 = 𝜔2 𝑀𝐿2

José Herrera Hurtado

1

Física II

𝜔=√

𝑀𝑔𝐿 +2𝑘ℎ2 𝑀𝐿

2𝜋𝑓 = √

𝑓=

𝑀𝑔𝐿 + 𝑘ℎ2 𝑀𝐿2

1 𝑀𝑔𝐿 + 𝑘ℎ2 √ 𝑀𝐿2 2𝜋

2. Un extremo de un resorte ligero, con constante de fuerza de k = 100 N/m, se une a una pared vertical. Una cuerda ligera se amarra al otro extremo del resorte horizontal, como se ve en la figura. La cuerda cambia de horizontal a vertical conforme pasa sobre una polea sólida de masa M con forma de un disco sólido de radio R = 2 cm. La polea es libre de girar sobre un eje fijo uniforme. La sección vertical de la cuerda sostiene un objeto de masa m = 200 g. La cuerda no se desliza en su contacto con la polea. El objeto se jala hacia abajo una pequeña distancia y se libera. (a) ¿Cuál es la frecuencia angular v de oscilación del objeto en términos de la masa M? (b) ¿Cuál es el mayor valor posible de la frecuencia angular de oscilación del objeto? (c) ¿Cuál es el mayor valor posible de la frecuencia angular de oscilación del objeto si se duplica el radio de la polea a R = 4 cm

Solución:

(a) ¿Cuál es la frecuencia angular v de oscilación del objeto en términos de la masa M?

T T

𝑘𝑥

Aplicando segunda ley de newton:

mg

𝑑2 𝑥 𝑚𝑔 − 𝑇 = 𝑚 𝑑𝑡

𝑚(𝑔 −

𝑑2𝑥 )= 𝑇 𝑑𝑡

Aplicando dinámica rotacional a la polea: José Herrera Hurtado

2

Física II

∑𝜏 = 𝐼

𝑑2𝜃

−𝑘𝑥𝑅 + 𝑇𝑅 = (

Remplazando:

−𝑘𝑥𝑅 + 𝑚 (𝑔 −

𝑑2 𝑥

𝑑𝑡

𝑀𝑅 2

𝑑2 𝜃 ) 𝑑𝑡 2

𝑑2 𝑥 1 𝑀𝑅 2 ) )( )𝑅 = ( 2 𝑑𝑡 𝑅 𝑑𝑡

−𝑘𝑥 + 𝑚 (𝑔 −

𝑑2 𝑥 𝑀 𝑑2 𝑥 ) = ( )( ) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡

−𝑘𝑥 + 𝑚𝑔 − 𝑚

𝑀 𝑑2 𝑥 𝑑2 𝑥 = ( )( ) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡

𝑚𝑔 − 𝑘𝑥 = (

𝑑2𝑥 𝑀 + 𝑚) ( ) 2 𝑑𝑡

Llegando a que la ecuación de la oscilación es: 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡

=−

2𝑘

𝑀+2𝑚

𝑥 + 𝑚𝑔, Donde 𝑀+2𝑚 es 𝜔2 2𝑘

𝜔=√

𝑓=

2𝑘 𝑀 + 2𝑚

1 2𝑘 √ ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 = 0.2𝑘𝑔 𝑦 𝑘 = 100𝑁/𝑚 2𝜋 𝑀 + 2𝑚 𝑓=

200 1 √ 2𝜋 𝑀 + 0.4

(b) ¿Cuál es el mayor valor posible de la frecuencia angular de oscilación del objeto? Cuando la masa M de la polea es despreciable. 𝑓=

200 1 √ 0.4 2𝜋

José Herrera Hurtado

= 35.12 Hz

3

Física II

(c) ¿Cuál es el mayor valor posible de la frecuencia angular de oscilación del objeto si se duplica el radio de la polea a R = 4 cm? Es el mismo, pues la frecuencia angular no depende del radio.

3. Un gran bloque P unido a un resorte ideal realiza movimiento armónico simple horizontal mientras se desliza a través de una superficie sin fricción, con una frecuencia f = 1.50 Hz. El bloque B descansa sobre él, como se muestra en la figura, y el coeficiente de fricción estática entre los dos es µs = 0.600. ¿Qué amplitud máxima de oscilación puede tener el sistema si el bloque B no se desliza?

Solución:

Dinámica en B:

𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝐵

𝑓𝑟

𝜇𝑠 𝑁 = 𝑚𝑎𝐵

𝜇𝑠 𝑚𝐵 𝑔 = 𝑚𝐵 𝑎𝐵 𝜇𝑠 𝑔 = 𝑎𝐵

Ahora para el sistema de bloques que se mueven con movimiento armónico simple: 𝑎𝑃 = 𝑎𝐵

𝑎 𝑃 = 𝐴𝜔 2

𝜇𝑠 𝑔 = 𝐴𝜔2

𝜇𝑠 𝑔 = 𝐴(2𝜋𝑓) 𝜇𝑠 𝑔 = 𝐴4𝜋2 𝑓 𝐴=

José Herrera Hurtado

𝜇𝑠 𝑔

4𝜋2 𝑓

2

2

2

4

𝑘𝑥

Física II

4. Un tablón horizontal de masa m y longitud L se pivotea en un extremo. El otro

extremo del tablón está sostenido por un resorte con constante de fuerza k (figura). El tablón se desplaza un ángulo pequeño θ desde su posición de equilibrio horizontal y se libera. Encuentre la frecuencia angular con la que el tablón se mueve con movimiento armónico simple.

Solución:

Por el gráfico:

En el momento de equilibrio

𝑥 = 𝑥1 + 𝐿 sen 𝜃 𝑥 − 𝐿 sen 𝜃 = 𝑥1 ∑𝜏 = 0

𝐹−𝑊 =0 𝑚𝑔𝐿 =0 𝑘𝑥𝐿 − 2 Sabemos que:

∑ 𝜏 = 𝐼𝛼

𝐹 − 𝑊 = 𝐼𝛼

Reemplazando:

𝑘𝑥1 𝐿 −

𝑚𝑔𝐿

= 𝐼𝛼

2

𝑚𝑔𝐿 = 𝐼𝛼 2 𝑚𝑔𝐿 = 𝐼𝛼 𝑘𝑥𝐿 − 𝑘𝐿2 sen 𝜃 − 2 Cuando el ángulo es muy pequeño: 𝑘(𝑥 − 𝐿 sen 𝜃)𝐿 −

sen 𝜃 = 𝜃

Como: José Herrera Hurtado

𝑘𝑥𝐿 − 𝑘𝐿2 𝜃 −

2

𝑚𝑔𝐿

= 𝐼𝛼 5

Física II

Entonces:

𝑘𝑥𝐿 −

𝑚𝑔𝐿

=0 2 𝑘𝐿2 𝜃 = 𝐼𝛼

En una barra larga delgada con un eje de rotación en un extremo: 𝐼=

−𝑘𝐿2 𝜃 =

𝑘=

1 𝑚𝐿2 3

1 𝑚𝐿2 (−𝜔2 𝜃) 3 1 𝑚(𝜔2 ) 3

𝜔=√

3𝑘 𝑚

5. Un objeto unido a un resorte vibra con movimiento armónico simple según lo descrito por la figura P15.64. Para este movimiento, encuentre: (a) la amplitud. (b) El periodo. (c) la frecuencia angular. (d) la rapidez máxima. (e) la aceleración máxima. (f) Una ecuación para su posición x en función del tiempo:

Solución:

(a) la amplitud. Se observa en el gráfico que A = 2cm (b) El periodo. Se observa en el gráfico que T = 4 s (c) la frecuencia angular. José Herrera Hurtado

6

Física II

Del periodo, 𝜔 =

2𝜋 𝑇

(d) la rapidez máxima.

, 𝜔=

2𝜋 4

=

𝜋 2

La rapidez máxima es: 𝑉 = 𝐴𝜔 =

(e) la aceleración máxima.

rad/s 2 𝜋 100 2

La aceleración máxima es: 𝑎 = 𝐴𝜔2 =

= 100 𝑚/𝑠 𝜋

( )2 = 200 𝑚/𝑠 2 100 2 2

𝜋

𝜋2

(f) Una ecuación para su posición x en función del tiempo.

La ecuación del movimiento es: 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙); x-> 0, t-> 0 𝜋 𝑥(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠( 𝑡) 2

6. Una bola pequeña de masa M está unida al extremo de una barra uniforme de igual masa M y longitud L que está articulada en la parte superior (figura). Determine las tensiones en la barra (a) En el pivote. (b) En el punto P cuando el sistema es estacionario. (c) Calcule el periodo de oscilación para pequeños desplazamientos desde el equilibrio. (d) Determine este periodo para L = 2.00 m

Solución: a) Tanto la barra como la bola tienen masa M, entonces la tensión en el pivote será: 𝐹𝑇 = 𝑀𝑔 + 𝑀𝑔 = 2𝑀𝑔

b) La masa de la barra es proporcional a su longitud, entonces el punto P está soportando un peso de

𝑦𝑀 𝐿

𝑔

𝐹𝑇 = 𝑀𝑔 +

𝑦𝑀 𝑦 𝑔 = 𝑀𝑔 (1 + ) 𝐿 𝐿

c) Para hallar el periodo de oscilación debemos darnos cuenta que se trata de un péndulo físico, luego: José Herrera Hurtado

7

Física II

𝑇=

2𝜋 𝜔

𝐼 𝑚𝑔𝑑 = 2𝜋√

𝐼 𝜔=√ 𝑚𝑔𝑑

El momento de inercia respecto al pivote será (𝐼 = ∑ 𝑚𝑖 𝑅𝑖2) 𝐼 = 𝐼𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 + 𝑀𝐿2

1 4𝑀𝐿2 𝐼 = 𝑀𝐿2 + 𝑀𝐿2 = 3 3 Tomamos el nivel de referencia desde el pivote y hallamos el centro de masa del sistema:

Finalmente:

𝑦𝐶𝑀 =

∑ 𝑚𝑖 𝑦𝑖 ∑ 𝑚𝑖

𝑀𝐿 + 𝑀𝐿 𝑦𝐶𝑀 = 2 2𝑀 3𝐿 𝑦𝐶𝑀 = 4 𝑇 = 2𝜋√

8𝐿 4𝑀𝐿2 = 2𝜋√ 3(2)𝑀𝑔3𝐿 9𝑔 4

𝑇=

d) Determine este periodo para L = 2.00 m 𝑇=

4𝜋 2𝐿 √ 3 𝑔

4𝜋 2(2) √ ≅ 2,68 𝑠 3 9,8

7. Una barra rígida muy ligera con una longitud de 0.500 m se extiende recta desde un extremo de una regleta. La combinación se suspende de un pivote en el extremo superior de la barra, como se muestra en la figura. Luego la combinación se jala un ángulo pequeño y se libera. (a) Determine el periodo de oscilación del sistema. (b) ¿En qué porcentaje difiere el periodo del periodo de un péndulo simple de 1 m de largo

José Herrera Hurtado

8

Física II

Solución:

a) Sabemos que: 𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝑑 2 = 𝐼=

1

12

Entonces:

1 𝑀𝐿2 + 𝑀𝑑 2 12

𝑀(1)2 + 𝑀(1)2

𝐼=

13 𝑀 12

𝑇 = 2𝜋√

𝑇 = 2𝜋√

𝑇 = 2𝜋√

𝐼 𝑀𝑔𝑑

13𝑀 12𝑀𝑔𝑑

13 12𝑔(1)

𝑇 = 2.09 𝑠

b) Para un péndulo simple de L=1 m

𝑇 = 2𝜋√

𝐿 𝑔

1 9.8 𝑇 = 2.01 𝑠

𝑇 = 2𝜋√ Luego: 𝑒% =

2.01 − 2.09 = 3.08% 2.01

8. Una masa se encuentra en reposo, sobre una superficie horizontal sin fricción, unida a un extremo de un resorte; el otro extremo está fijo a una pared. Se requieren 3.6 J de trabajo para comprimir el resorte 0.13 m. Si la masa se libera del reposo con el resorte comprimido, experimenta una aceleración máxima de 15 m/s2. Encuentre el valor de: a) La constante del resorte. b) La masa.

Solución: P.E José Her

m

𝑥=0

9

Física II

1 2 𝑘𝑥 = 3,6 2 7,2 𝑁 𝑘= = 426 𝑚 2 0,13 Si la masa se libera desde ese punto, ósea 𝐴 = 0,13 𝑚. Luego:

Para comprimir el resorte 0,13 m se requiere 3,6 J de trabajo, es decir:

𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2 𝐴 =

𝑚=

𝑚=

𝑘𝐴 𝑎𝑚𝑎𝑥

𝑘

𝑚

𝐴

426(0,13) = 3,69 𝑘𝑔 15

9. La agente Arlene inventó el siguiente método para medir la velocidad de salida de un rifle (figura). Ella dispara una bala hacia un bloque de madera de 4.648 kg que descansa sobre una superficie lisa y está unido a un resorte de constante k = 142.7 N/m. La bala, cuya masa es de 7.870 g, permanece incrustada en el bloque de madera. También mide la distancia máxima que el bloque comprime el resorte y obtiene el valor 9.460 cm. ¿Cuál es la rapidez v de la bala?

Solución: Como no hay fricción estamos ante un sistema aislado, por lo tanto, podemos aplicar

conservación del momento lineal. Sea 𝜇 la velocidad del bloque con la bala después del

impacto:

𝑚𝑣 = (𝑀 + 𝑚)𝜇 𝑣=

(𝑀 + 𝑚 )𝜇 𝑚

Podemos deducir el valor de la velocidad 𝜇 con la ecuación del movimiento, sin embargo,

se halla de manera más sencilla aplicando la conservación de la energía: ∆𝐸𝑀 = 0

José Herrera Hurtado

10

Física II 1 1 (𝑀 + 𝑚)𝜇2 = 𝑘𝐴2 2 2

𝜇=√

Reemplazamos:

𝑣= 𝑣=

𝑘𝐴2

𝑀+𝑚

𝑘 = 𝐴√ 𝑀 + 𝑚

𝑘 (𝑀 + 𝑚)𝐴√𝑀 + 𝑚

𝑣=

𝑚

𝐴 √𝑘(𝑚 + 𝑀) 𝑚

0,0946 √142,7(4,65587) = 309,83 𝑚/𝑠 0,00787

10. Un bloque de 0.835 kg oscila en el extremo de un resorte cuya constante de resorte es k = 41 N/m. La masa se mueve en un fluido que ofrece una fuerza de resistencia F = bv, donde b = 0.662 N. s/m. a) ¿Cuál es el periodo del movimiento? b) ¿Cuál es el decremento fraccional en amplitud por ciclo? c) Escriba el desplazamiento en función del tiempo, si en t = 0, x = 0, y en t = 1 s, x = 0.120 m Solución:

a) ¿Cuál es el periodo del movimiento?

𝑑2𝑥 𝑑𝑥 −𝑘𝑥 − 𝑏 = 𝑚 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑏 𝑘 𝜔 =√ −( ) 2𝑚 𝑚

𝜔=√

2

41 0.662 2 ) −( (0.835) 1.67

𝜔 = 6.99 𝑇=

𝑟𝑎𝑑 𝑠

2𝜋 𝑠 7

b) ¿Cuál es el decremento fraccional en amplitud por ciclo? 2𝑚𝑡

José Herrera Hurtado

𝐴(𝑡) = 𝐴𝑜 𝑒 −

𝑏

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Física II

𝐴(𝑡) 𝐴𝑜

= 𝑒−

1.67 𝑡 0.662

c) Escriba el desplazamiento en función del tiempo, si en t = 0, x = 0, y en t = 1 s, x = 0.120 m. Para t=1s

0.662

𝑥(1) = 𝐴𝑜 𝑒 − 1.67 𝑐𝑜𝑠(7) = 0.120

Reemplazando queda:

𝐴𝑜 = 0.24 𝑚

0.662𝑡

𝑥(𝑡) = (0.24)𝑒 − 1.67 𝑐𝑜𝑠(7𝑡)

José Herrera Hurtado

12...