Metodos de factorizacion mas comunes PDF

Preview

Summary

Material complementario...

Description

฀ Métodos de factorización más comunes 1) Factor común 4ax 2 12 x = 4 x(ax 3) . 4x es un divisor común de todo el polinomio condición indispensable del factor común. 2 81 (2x 9)(2x 9) observa como los dos 2) Diferencia de cuadrados 4x factores son iguales su única diferencia es que uno es diferencia y el otro sumando (recuerda tercera fórmula notable 2 2ab b2 3) Trinomio cuadrado perfecto a términos siempre son cuadrados perfectos.

(a b)2

Dos de los tres

4) Inspección: se utiliza cuando el trinomio es de la forma ax 2 bx c , si calculas su discriminante y da un cuadrado perfecto sabrás que es el método indicado. Si el discriminante da 0 tienes un trinomio cuadrado perfecto. 5) Agrupamiento: combina el método de factor común, consiste en agrupar ciertos términos del polinomio.Existen muchas formas de realizar la agrupación. 3 6) Suma y diferencia de cubos. Forma general: a

b3

Factorizar en forma completa o no un polinomio Entendamos este concepto con algunos números, después pasemos a factorizar expresiones algebraicas Si dos números se multiplican, por ejemplo 5 por 7 cuyo resultado es 35, entonces el 5 y el 7 se llaman factores o divisores del 35 factores o divisores del 24 = 2, 3, 8,12, 1, 24,4,6 2•12 = 1•24 = 3• 8 = 2•2•2•3 = 6•4 = 3•2•4 estas son algunas factorizaciones del 24, pero solo una de ellas se le llama factorización completa, pues cada uno de sus factores es un número primo, la cual es 2•2•2•3 Factoricemos expresiones algebraicas 7

5

2

1) x = x • x m+n

2) a

m

= a •a

4

o x •x

3

6

o x •x

n

2

3) 20 x = 2•2•5 •x•x 2

3

4) 6 a b = 3•2•a•a•b•b•b Un monomio puede descomponerse o factorizarse de muchas maneras, al igual que una expresión algebraica que no sea monomio. Es por eso que existen procedimientos que nos permiten descomponer en factores

determinadas expresiones algebraicas, estos procedimientos son los siguientes : FACTOR COMUN Factorización cuando los términos tienen un factor común Si en una expresión algebraica, existe un factor que es común a todos sus términos, esta se puede descomponer en el producto de dicho factor común por el polinomio que resulta de dividir cada uno de los términos de la expresión dada por ese factor común Ejercicios Resueltos: 15 x2 + 3 x 5 - 45 x 3 coeficientes

se obtiene el MCD de los 15 5

3 1

45 3 15

el 3 y el factor literal de menor 2 grado que se repita en todos los términos serán el factor común o sea 3 x . Se procede a dividir el factor común por cada término del polinomio. 2

5

=5

15 x ÷

3x ÷

15 x2 + 3 x 5 - 45 x 3 =

a-

b=

=x

3

3

45 x ÷

= 9x por lo tanto

( 5 + x3 - 9 x )

( a- b )

4a-6= 2(2a-3) 6m2 n - 9 m n2 + 3mn = 3 m n ( 2m - 3n + 1 ) Factor común binomio 2 − 1 −  − 1 =  − 12 −  el factor común es  − 1 2 − 1  − 1 − = 2 −  −1 −1 Se divide  − 1 entre todo el polinomio para encontrar el otro factor

Caso con resta invertida 3 −  −  −  = 3 −  +  −  =  − 3 +  3 −   −  + =3+ − − La resta no es conmutativa de ahí que cuando invertimos una resta debemos cambiar el signo que esta fuera del paréntesis. FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Una expresión algebraica cuyos términos sean dos cuadrados perfectos, y estén restándose estamos ante la III fórmula notable. Por lo que esta expresión se puede descomponer fácilmente en factores, buscando la raíz cuadrada de cada término y formándose una nueva expresión que contenga la suma por la diferencia de tales raíces Ejemplos resueltos 

9-m

10

5

10

9

m

2

4

 4x -9y

4x

2

5

= ( 3 + m )( 3 - m )

5

3 m

5

2

2

(2x 3 y )(2x 3 y )

=

9y

5

(3 m )(3 m )

4

2x

3y

2

(2 x

2

3 y )(2 x

2

3y )

Para identificar si una expresión es la diferencia de dos cuadrados, se deben cumplir las siguientes dos condiciones : 1) Deben existir solo dos términos y ambos al cuadrado 2) Debe haber un signo menos entre los dos términos

¿ Es 4x2 + 16 una diferencia de dos cuadrados ? R/ Si lo es, solo que debe ordenarse de manera que lo dejemos en forma de diferencia 1) 16 4

2) a

4x2 =

(4

2x ) ( 4 + 2x )

16 b4 = ( a 2 + 4b2 ) ( a2

4b2 ) = (a

2

2

4b )(a 2b)(a 2b)

4 6 3) 49 x 9 x = para que la factorización sea completa saquemos a factor 4 común el x x4 ( 49 9x2 ) dentro del paréntesis queda una diferencia de cuadrados 4 = x ( 7 3x )( 7 + 3x )

4) 4 (m 2)

2

4

(m 2)

2

(2 m 2)(2 m 2) m(4 m)

POR FORMULA NOTABLE Se puede factorizar por fórmula notable cuando: 1- Existe un trinomio cuadrado perfecto 2- Hay diferencia de dos cuadrados TRINOMIO CUADRADO PERFECTO El cuadrado de un binomio es un trinomio, tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos ejemplos : ( y + 3) 2 = y 2 + 6y + 9 2 2 ( y - 3 ) = y - 6y + 9 ¿ Como identificar cuando un trinomio es un cuadrado perfecto ? Dos de sus términos son cuadrados perfectos observe el 9 y el y2 2 el 9 y el y deben ser positivos  el 6y es la multiplicación de de 3y por 2 ( doble producto del primer termino por el segundo )



¿ Será x2 + 8x + 16 un trinomio cuadrado ? 2

Hay dos términos al cuadrado que son el x y el 16 por lo que 16 4 2  x y el 16 son positivos  8x es el doble producto de 4x 

x

2

x

,

entonces x2 + 8x + 16 es el resultado del binomio ( x + 4)(x + 4 ) o ( x + 4 ) 2 2

¿ Será x + 6x + 11 ? el resultado del cuadrado de un binomio 2  Solo tiene un termino al cuadrado el x , el 11 no es un cuadrado  Por lo tanto no puede factorizarse por fórmula notable

2

factorizar

16 a - 56 ab + 49 b

4a

2

7b

2• 4a• 7b = 56 ab Entonces el trinomio dado, factorizado es igual a ( 4 a a 7b)

7 b )2 = ( 4 a

7b)(4

Ejemplos resueltos 2

 x + 6x + 9 =

x

( x + 3) ( x+ 3 ) = ( x + 3 )

2

3 2• x• 3

2

2

4

2 2

 1 - 16 a x + 64 a x = ( 1 - 8 ax )

1

8ax

2

2• 1• 8ax2 = 16 ax 2

2

2

 27 m + 72mn + 48 n En este trinomio el 27 y el 48 no son cuadrados perfectos, entonces debemos buscar un factor común de los coeficientes 27, 72 y 48 27, 72 y 48 3 9 24 16

3( 9 m2 + 24 mn + 16n 2 ) Está factorizado pero no completamente, porque el polinomio dentro del paréntesis es un trinomio cuadrado

3m

4n 2•3m•4n = 24mn

El polinomio factorizado completamente es 3 ( 3m + 4n )2 Inspección o tanteo Factorizar el trinomio3 + 8 + 4

   

Polinomio factorizado

+   

+4   

factores  +  + 

3 + 8 + 4 = 3 + 2 + 2

Explicación del método 1) ordenamos el polinomio en forma descendente o ascendente. 2) en forma vertical buscamos dos valores que multiplicados entre si nos den 3 ,en este caso son 3 y  para un termino y para el otro 2 y 2,que sería 4. 3) luego multiplicamos en cruz 3 ∗ 2 y  ∗ 2 ambos resultados se suman y nos dan el valor del centro en este caso 8 4) los factores se encuentran en forma horizontal es decir (3x+2) y (x+2) Nota: si la suma no da el valor del centro no aplica este método.

AGRUPAMIENTO La idea principal, es separar el polinomio en grupos de términos, que posean factores comunes entre ellos. Veamos. Factorizar de forma completa la expresión 6 y

6y

2

(6 y

2

3 y 2py p

3 y 2py p = 2

3 y ) (2py p)

agrupamos términos que poseen factores

comunes.

3 y(2y 1) p(2 y 1) que (2y 1)

se obtiene el factor común de cada grupo note es un divisor común de todo el polinomio y por ende factor común Resultado de la factorización.

(2y 1)(3 y p)

Caso particular de agrupamiento. (conocido como 3 y 1). Este método se aplica necesariamente cuando el método de agrupamiento tradicional no funciona. Consiste en agrupar tres términos que formen un trinomio cuadrado perefecto y dejar el cuarto término solo. Veamos Factorizar =

   

( x 1) 2

y2 =

aplicamos el método de diferencia de cuadrados

Combinación de métodos.Se resuelven con ayuda del docente. 2 − 1 − 3 − 1 = 6 − 1 − 54 =  − 5 − 6 =

Suma o resta de cubos Suma : si tenemos a Resta : si tenemos

3

b

3

entonces factorizando obtenemos entonces factorizando obtenemos...