Práctica No 2 Densidad Laboratorio de Física FQ UNAM PDF

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PRÁCTICA No. 2. RELACIÓN LINEAL. DETERMINACIÓN DE LA DENSIDAD DE UN CUERPO SÓLIDO.

Temas de inter és. 1. Relación lineal. 2. Relaciones directamente proporcionales. 3. Ajuste de tendencia lineal por el método de cuadrados mínimos. 4. Propiedades extensivas e intensivas.

Palabr as clave. Relaciones lineales. Método de cuadrados mínimos. Regresión lineal. Densidad volumétrica de masa.

Impor tancia en la química. Es relevante hacer notar que las relaciones lineales son muy útiles para encontrar características y propiedades de elementos o sustancias que no pueden ser determinadas directamente. Por ejemplo, para determinar constantes de cinética química en reacciones de primer orden, entalpías de activación, concentraciones mediante absorbancia (ley de Lambert-Beer), cantidad de hierro en sangre, elementos traza o en suelo, para cuantificar hidrocarburos, pesticidas, etc.

Objetivos.  Encontrar la relación lineal entre dos variables.  Aplicar el método de cuadrados mínimos para observar la correlación de dos variables.  Determinar la densidad de un sólido a través de dos métodos y estimar su incertidumbre, en cada método, y así determinar cuál resulta ser más confiable.  Propagación de incertidumbre.

Intr oducción. Cuando los fenómenos físicos y químicos en la naturaleza son mensurables y reproducibles, se puede llevar un registro de sus mediciones, y considerarlos como una variable. Cuando se relacionan dos variables de un mismo fenómeno, al graficarlos se encuentra el comportamiento que tiene una variable respecto a la otra de forma visual. Si los datos presentan una tendencia lineal, se dice que las variables tienen una “relación lineal”. Existe un método matemático que nos permite obtener la correlación entre las variables, llamado el “método de los cuadrados mínimos”. Con este método se obtiene una línea recta equidistante a todos los puntos experimentales, cuya ecuación es y= m mx x + b y así encontrar una relación matemática entre las variables que representan dicha correlación. En el caso particular de la densidad, ésta representa el grado de compactación de un material, es decir, la densidad nos indica que tanto material se encuentra comprimido en un espacio determinado; es la cantidad de masa por unidad de volumen, y se expresa con la letra griega rho (ρ). Recordemos pues, que siempre es posible determinar una propiedad intensiva a partir de

propiedades extensivas. La densidad es una propiedad intensiva, no depende de la cantidad de materia. Es por ello importante que para esta práctica, el estudiante investigue que es una relación lineal, el método de los cuadrados mínimos y sus ecuaciones, que es una variable (dependiente e independiente), sistema cartesiano, pendiente, ordenada al origen, estimación de la incertidumbre en el método de los cuadrados mínimos, y de preferencia, buscar ejemplos en el área física y química en donde se utilice la relación lineal, así como las diferentes formas de expresar las unidades de la densidad y su importancia en los fenómenos físicos y químicos. Material: • Balanza granataria • Vernier digital • Probeta de 20 ml • Piseta con agua • 10 canicas

Desarrollo Método 1

Método 2

Primero medimos la masa de cada una de las canicas en la balanza granataria.

Con la piseta se vierte agua en la probeta a un volumen conocido y se agrega canica por canica, midiendo el volumen de agua desplazado con cada una de ellas.

Después, con el vernier digital medimos el diámetro de cada una de las canicas. Ya teniendo el diámetro y la masa de cada una de las canicas usamos la ecuación siguiente para obtener la densidad de cada una de las canicas.

6฀฀ ฀฀= 3 ฀฀฀฀

฀฀ ฀฀= ฀฀

Resultados: Método 1 Se obtuvo la densidad de las canicas midiendo; su diámetro con un vernier digital, su masa con una balanza granataria y se hizo el cálculo de su volumen mediante la siguiente ecuación: Volumen de una esfera: 4

4

฀฀

฀ ฀ = ฀฀ (฀฀ 3 ) , si el diámetro es igual a 2 r, tendremos: ฀ ฀ = ฀฀ ( )3 = 3 3

1 ฀ ฀ = ฀฀ (฀฀3 ) 6

2

4

24

฀฀ (฀฀3 )

Una vez obtenido el volumen se hizo el cálculo de la densidad con la siguiente ecuación.

฀฀

฀฀ =฀ ฀

=

฀฀ 1 ฀฀฀฀3 6

=

6 ฀฀

por lo tanto:

฀฀ ฀฀3

฀฀=

6 ฀฀

฀฀ ฀฀3

Con esta ecuación vemos que la densidad de las canicas solo depende de su masa y del diámetro. Los datos obtenidos de cada una de las 10 canicas son:

Canica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MEDIA S UA UB Uc

Diámetro Masa Densidad ฀฀ � 3� (cm) (g) ฀฀฀฀ 1.664 5.71 1.555 4.63 1.613 4.93 1.641 5.48 1.541 4.80 1.608 5.14 1.523 4.34 1.665 5.70 1.580 4.94 1.583 4.78

0.001

0.01

-------------------

La masa se midió con una balanza granataria con una resolución de 0.01 g, como la balanza tiene una escala vernier, su incertidumbre tipo “B” es igual a su resolución, o sea 0.01 g. El diámetro de las canicas se obtuvo con un medidor Vernier digital, cuya resolución es de 0.001 cm, como es de suponer tiene una escala vernier, por lo que su incertidumbre tipo “B” es igual a su resolución o sea 0.001 cm.

INDICACIONES: Obtener con los datos del diámetro (hasta milésimas) y la masa (hasta centésimas) los valores de la media o promedio, desviación estándar (hasta milésimas),Inc. Tipo “A” (UA) y la Inc. Tipo “C” (Uc) de cada uno de ellos, la Inc. Tipo “B” ya es un dato dado por los aparatos que se utilizaron. Cada una de estas incertidumbres hasta milésimas. Los valores de densidad (฀฀) deben de informarse hasta centésimas, al igual que su media. Su desviación estándar hasta milésimas. Ya conociendo los valores de cada una de estas variables, procedemos a obtener la Incertidumbre combinada de la densidad, la cual es una medida indirecta y procede de dos medidas directas, la masa y el diámetro.

6 ฀฀ ฀฀ ฀฀3

฀ ฀ = ฀฀( ฀฀, ฀฀ ) = Incertidumbre combinada de la densidad.

฀฀฀฀

Uc2(฀฀) = ( )2 ฀฀฀฀2 + ( ฀฀฀฀

฀฀฀฀

(1) 6 ฀฀1−1

฀฀฀฀

(−3) 6 ฀฀ ฀฀(−3−1)

= ฀฀฀฀ ฀฀฀฀

=

=

฀฀฀฀3

6

฀

฀฀ Valores de cada variable:

฀฀฀฀ 2

฀฀฀฀3

฀

฀฀

฀฀฀฀ 2 ) ฀฀฀฀

฀฀฀฀

=

฀

−18 ฀฀ ฀฀−4 −18 ฀฀ = ฀฀฀฀4 ฀

−฀฀฀฀฀฀ ฀ ฀ ฀฀ ฀ ฀ ฀ ฀ = � ฀฀ � ฀฀฀฀ + � ฀ ฀ � ฀฀฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀฀฀฀

฀฀ colocar el valor de la media de los diámetros. ฀฀ colocar el valor de la media de las masas. ฀฀฀฀ colocar el valor de la Inc. Combinada (Uc) de las masas. ฀฀฀฀ colocar el valor de la Inc. Combinada (Uc) de los diámetros.

EJEMPLO DE INFORME DE LA DENSIDAD: Uc = 0.0722 g/cm3 Valor de la Densidad = 2.44 g/cm3 La incertidumbre se debe informar con solo una cifra significativa, quedando Uc = 0.07 g/cm3 . Este valor está hasta centésimas, por lo tanto el valor de la densidad también se debe informar hasta centésimas. El informe final queda:

฀฀ ⁄ −฀฀. ฀฀฀฀ ) � ฀ ฀ = ( ฀฀. ฀฀฀฀ + ฀฀฀฀฀฀

De esta forma deben de informar su resultado de densidad. Método 2.

Por medio de la probeta con agua a un nivel conocido, obtener el volumen de cada canica el cual estará determinado por el volumen de agua desplazada al ir colocando cada una de las canicas. Ya teniendo el volumen de cada una de las canicas colocar dos columnas más a la tabla, una de ellas contendrá las masas acumuladas y la otra los volúmenes acumulados.

Canica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

masa (g) 5.71 4.63 4.93 5.48 4.80 5.14 4.34 5.70 4.94 4.78

Volumen (฀฀฀฀3 ) 2.5 2.5 1.5 2.5 2.0 1.5 1.5 1.5 2.0 2.0

“Y” Masa acumulada (g) 5.71 10.34 15.27 20.75 25.55 30.69 35.03 40.73 45.67 50.45

“X” Volumen acumulado (฀฀฀฀3 ) 2.5 5.0 6.5 9.0 11.0 12.5 14.0 15.5 17.5 19.5

Para lograr obtener los valores de las columnas de masa acumulada y volumen acumulado, hay que hacer lo siguiente: MASA ACUMULADA: El 1° dato, dado que no tenemos una canica anterior será la masa de la canica uno (5.71 g). El 2° dato será la suma de las masas de la canica (1) más la masa de la canica (2). El 3° dato es la suma del dato anterior más la masa de la canica (3) y así sucesivamente hasta llegar a la canica 10.

VOLIMEN ACUMULADO: Una vez terminada la columna de las masas acumuladas hacer el mismo procedimiento con los volúmenes. Ya teniendo ambas columnas realizar el método de los cuadrados mínimos para los datos de estas dos columnas de datos acumulados. Los datos de “Y” (ordenadas) son las masas acumuladas. Los datos de “X” (abscisas) son los volúmenes acumulados. CANICA

MASA ACUM. (g)(Y)

1 2 3 Etc.

5.71 10.34 15.27

Volumen (cm3) (X) 2.5 5.0 6.5

Etc.

Etc.

(X * Y)

(X2)

(Y’)

Con estos datos aplicar las ecuaciones para m y b. Llenar la última columna de la tabla (Y’).

Con los datos de las Y corregidas (Y’) y los Esta gráfica es solo un ejemplo. datos de las X experimentales (X), realizar una gráfica de Y’ vs. X (masa (g) vs. V (cm3)). ฀฀ =

฀฀

(V)

฀ ฀ = ฀฀ ฀฀ + ฀฀ De acuerdo a esta ecuación, el valor de la pendiente es el valor de la densidad de las canicas (vidrio).

Ya teniendo los valores de m y de b, solo resta obtener los valores de sus respectivas incertidumbres (Sm y Sb). Usar las ecuaciones del documento ECUACIONES PARA EL CALCULO DE LAS

INCERTIDUMBRES DE m Y DE b.

Teniendo ya los tres valores anteriores informarlos con sus respectivas unidades. Con el valor de m y Sm informar el valor de la densidad. Recuerden que Sm es la incertidumbre de m, y si m es igual a la densidad (฀฀), entonces Sm es igual a la Incertidumbre de la densidad. Ejemplo para el informe de la densidad (Método 2): ฀ ฀ = 2.479 ฀฀/฀฀฀฀3 ฀฀฀฀ = 0.643 ฀฀/฀฀฀฀3 Dado que debemos de informar la incertidumbre con solo una cifra significativa, Sm quedará así: ฀฀฀฀ = 0.6 ฀฀/฀฀฀฀3 Si la incertidumbre solo tiene décimas, el valor de la densidad lo debemos de redondear a décimas, quedando el resultado del informe de la densidad de la siguiente manera.

CUESTIONARIO.

฀ ฀ = ( 2.5 +⁄ − ฀฀. ฀฀ )฀฀/฀฀฀฀฀฀

 ¿Cuál es el sentido físico de la pendiente y la ordenada al origen en los gráficos de masa como función del volumen y del volumen como función de la masa?  ¿La recta obtenida por el método de cuadrados mínimos pasa por el origen? Si, no, ¿por qué?  De los métodos empleados, ¿cuál es el más confiable? ¿Por qué?

ENVIAR EL INFORME EL VIERNES 20 DE NOVIEMBRE DEL 2020....